高中數(shù)學(xué)北師大版必修復(fù)數(shù)3復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的幾何意義

3.1復(fù)數(shù)的三角表示式

3.2復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的幾何意義課標(biāo)闡釋

1.通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥建筑表皮設(shè)計(jì)是地產(chǎn)黃金十年期間的熱門(mén)領(lǐng)域.在眾多新建筑和國(guó)際設(shè)計(jì)競(jìng)賽中,建筑表皮設(shè)計(jì)或是成為建筑方案的特點(diǎn)之一,或是成為建筑師的創(chuàng)意核心.建筑表皮設(shè)計(jì)古已有之,并不是近年涌現(xiàn)的新生事物.從古代宗教建筑的立面裝飾處理到密斯設(shè)計(jì)的玻璃幕墻立面都屬于建筑表皮設(shè)計(jì).20世紀(jì)后半葉,現(xiàn)代建筑的一元化局面遭遇挑戰(zhàn),建筑表皮開(kāi)始呈現(xiàn)多元化傾向.那么,復(fù)數(shù)有哪些表現(xiàn)形式呢?除了坐標(biāo)表示,還有什么表示方法呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、復(fù)數(shù)的三角表示式

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥于是,任何復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示為z=r(cosθ+isinθ),其中這個(gè)式子稱(chēng)為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式.為了與三角形式區(qū)分,a+bi稱(chēng)為復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)形式.當(dāng)z=r(cosθ+isinθ)≠0時(shí),z的輻角有無(wú)窮多個(gè)值,這些值相差2π的整數(shù)倍.為確定起見(jiàn),將滿足條件0≤θ<2π的輻角值,稱(chēng)為輻角的主值,記作argz,即0≤argz<2π.每一個(gè)非零復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.顯然當(dāng)a>0時(shí),arga=0,arg(-a)=π,arg(ai)如果z=0,那么與它對(duì)應(yīng)的向量

縮成一個(gè)點(diǎn)(零向量),它的方向是任意的,所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析(1)復(fù)數(shù)的三角形式的特征:①模r≥0.②括號(hào)內(nèi)需滿足:前余弦,后正弦,角相同.③cos

θ與isin

θ之間用加號(hào)連結(jié).簡(jiǎn)單地說(shuō),復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.不符合條件的都不是三角形式.(2)在復(fù)數(shù)的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式時(shí),一般將θ寫(xiě)成主值.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考(1)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量是如何一一對(duì)應(yīng)的?提示根據(jù)復(fù)平面的建立原則,復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,與平面向量

=(a,b)也是一一對(duì)應(yīng)的.(2)若角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸非負(fù)半軸上,已知終邊上一點(diǎn)P(x,y),如何表示角θ的三角函數(shù)?(3)終邊相同的角有什么關(guān)系?提示終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥答案A激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則與幾何意義1.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1r2·[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于它們模的積,積的輻角等于它們輻角的和.簡(jiǎn)單地說(shuō),兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為:模數(shù)相乘,幅角相加.2.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微拓展使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是復(fù)數(shù)必須是三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式,輻角不要求一定是主值.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)計(jì)算下列各式,并把結(jié)果化為代數(shù)形式.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥三、復(fù)數(shù)三角形式的除法法則與幾何意義1.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1÷z2=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].兩個(gè)復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.簡(jiǎn)單地說(shuō),兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相除的法則為:模數(shù)相除,幅角相減.2.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的幾何意義激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減,這個(gè)運(yùn)算在幾何上可以用下面的方法進(jìn)行:將向量z1的?？s小為原來(lái)的

,然后再將它繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ2,就得到z1,z2的商.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)1計(jì)算下列各式:激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)的三角形式例1將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式(輻角取主值).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi化為復(fù)數(shù)三角形式的一般步驟是:③寫(xiě)出復(fù)數(shù)的三角形式.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1將下列復(fù)數(shù)中代數(shù)形式的表示成三角形式(輻角取主值),三角形式的表示成代數(shù)形式.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算例2計(jì)算下列各式探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式乘法的法則可簡(jiǎn)記為,模數(shù)相乘,輻角相加,并且可以作以下推廣:(1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘,結(jié)論亦成立.即z1·z2…zn=r1(cos

θ1+isin

θ1)·r2(cos

θ2+isin

θ2)…rn(cos

θn+isin

θn)=r1·r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)當(dāng)z1=z2=…=zn=z時(shí),即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos

θ+isin

θ)]n=rn(cos

nθ+isin

nθ),這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則,即:模數(shù)乘方,輻角n倍.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算例3計(jì)算下列各式探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

進(jìn)行兩個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式除法運(yùn)算時(shí),將模對(duì)應(yīng)相除當(dāng)模,用被除數(shù)輻角減去除數(shù)的輻角當(dāng)做商的輻角,即可得兩個(gè)復(fù)數(shù)的除法結(jié)果.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3計(jì)算下列各式

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算的幾何意義例4已知復(fù)數(shù)乘法(x+yi)(cosθ+isinθ)(x,y∈R,i為虛數(shù)單位)的幾何意義是將復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角,則將點(diǎn)(6,4)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與復(fù)數(shù)的乘法的幾何意義相