高中數(shù)學(xué)蘇教版2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1．5定積分蘇教版選修《定積分的應(yīng)用》

定積分的應(yīng)用6/21/20232問(wèn)題情境（復(fù)習(xí)引入）1、求曲邊梯形的思想方法是什么？2、定積分的幾何意義是什么？3、微積分基本定理是什么？

課題：定積分的應(yīng)用我行我能我要成功我能成功6/21/20233

例1、求曲線與直線x軸所圍成的圖形面積。

略解：根據(jù)定積分的幾何意義所求面積為

例題研究6/21/20234（一）利用定積分求平面圖形的面積

課題：定積分的應(yīng)用我行我能我要成功我能成功平面圖形的面積平面圖形的面積6/21/20235平面圖形的面積平面圖形的面積6/21/20236平面圖形的面積

特別注意圖形面積與定積分不一定相等,的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.

如函數(shù)6/21/20237變式引申：

1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。

略解：如圖直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，1）和（3，9），則課題：定積分的應(yīng)用我行我能我要成功我能成功6/21/20238變式引申2、求由拋物線

及其在點(diǎn)M（0，－3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。xyoy=－x2+4x-3略解：則在M、N點(diǎn)處的切線方程分別為、（3/2，3）6/21/20239變式引申3、在曲線

上的某點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線方程.

xyOy=x2ABC略解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為則切線方程為切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為6/21/202310

則由題可知有所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為課題：定積分的應(yīng)用xyOy=x2ABC6/21/202311

（1）畫(huà)圖,并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；（2）對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍,從而確定積分的上、下限；（3）確定被積函數(shù)；（4）求出各曲邊梯形的面積和,即各積分的絕對(duì)值的和。

小結(jié):求平面圖形面積的方法與步驟：課題：定積分的應(yīng)用我行我能我要成功我能成功6/21/202312型區(qū)域：

以及(1)曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積：以及(2)曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積：

yabxyabxb課題：定積分的應(yīng)用我行我能我要成功我能成功幾種常見(jiàn)的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：6/21/202313(3)兩條曲線與直線圍成的曲邊梯形的面積:

yaxbyabxb6/21/202314yabxaabbyyxx型區(qū)域：

課題：定積分的應(yīng)用我行我能我要成功我能成功可由先求出然后利用求出

可由先求出然后用

求出

用求6/21/202315變式引申4、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。略解：如圖由得當(dāng)時(shí)則所求圖形的面積為由得課題：定積分的應(yīng)用我行我能我要成功我能成功6/21/202316（二）定積分在物理中應(yīng)用(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程例題研究v/m/st/s10406030OABC6/21/202317

例4、A、B兩站相距7.2km,一輛電車從A站開(kāi)往B站,電車開(kāi)出ts后到達(dá)途中C點(diǎn),這一段的速度為1.2t(m/s),到C點(diǎn)的速度為24m/s,從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛,從D點(diǎn)開(kāi)始剎車,經(jīng)ts后,速度為(24-1.2t)m/s,在B點(diǎn)恰好停車,試求（1）A、C間的距離;（2）B、D間的距離;（3）電車從A站到B站所需的時(shí)間。

6/21/202318略解:(1)設(shè)A到C的時(shí)間為t1則1.2t=24,t1=20(s),則AC＝(2)設(shè)D到B的時(shí)間為t2則24-1.2t2=0,t2=20(s),則DB＝（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時(shí)間為280(s),則所求時(shí)間為20+280+20=320（s）

說(shuō)明：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間[a,b]上的定積分,即

6/21/202319(2)變力沿直線所做的功

例4：如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm,為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm,需做功（）A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J所以做功就是求定積分則由題可得。

略解：設(shè)A

說(shuō)明：物體在變力F(x)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點(diǎn)移動(dòng)到x=b點(diǎn)，則變力F(x)所做的功為:

6/21/202320解兩曲線的交點(diǎn)oxyABCDO6/21/202321解兩曲線的交點(diǎn)直線與x軸交點(diǎn)為(4,0)S1S26/21/202322解兩曲線的交點(diǎn)826/21/202323解兩曲線的交點(diǎn)6/21/202324于是所求面積說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．例題研究

6/21/202325例2:求由曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

(三)利用定積分求曲邊旋轉(zhuǎn)體的體積

xyox=1分析：（1）分割;(2)以直代曲；（3）求和；(4)逼近。課題：定積分的應(yīng)用6/21/202326變式引申:某電廠冷卻塔外形如圖所示,雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A,A’是雙曲線的頂