高中數(shù)學蘇教版2導數(shù)及其應用1．5定積分蘇教版選修《定積分的應用》

定積分的應用6/21/20232問題情境（復習引入）1、求曲邊梯形的思想方法是什么？2、定積分的幾何意義是什么？3、微積分基本定理是什么？

課題：定積分的應用我行我能我要成功我能成功6/21/20233

例1、求曲線與直線x軸所圍成的圖形面積。

略解：根據(jù)定積分的幾何意義所求面積為

例題研究6/21/20234（一）利用定積分求平面圖形的面積

課題：定積分的應用我行我能我要成功我能成功平面圖形的面積平面圖形的面積6/21/20235平面圖形的面積平面圖形的面積6/21/20236平面圖形的面積

特別注意圖形面積與定積分不一定相等,的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.

如函數(shù)6/21/20237變式引申：

1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。

略解：如圖直線與拋物線的交點坐標為（－1，1）和（3，9），則課題：定積分的應用我行我能我要成功我能成功6/21/20238變式引申2、求由拋物線

及其在點M（0，－3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。xyoy=－x2+4x-3略解：則在M、N點處的切線方程分別為、（3/2，3）6/21/20239變式引申3、在曲線

上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點A的坐標以及切線方程.

xyOy=x2ABC略解：設切點坐標為則切線方程為切線與x軸的交點坐標為6/21/202310

則由題可知有所以切點坐標與切線方程分別為課題：定積分的應用xyOy=x2ABC6/21/202311

（1）畫圖,并將圖形分割為若干個曲邊梯形；（2）對每個曲邊梯形確定其存在的范圍,從而確定積分的上、下限；（3）確定被積函數(shù)；（4）求出各曲邊梯形的面積和,即各積分的絕對值的和。

小結(jié):求平面圖形面積的方法與步驟：課題：定積分的應用我行我能我要成功我能成功6/21/202312型區(qū)域：

以及(1)曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積：以及(2)曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積：

yabxyabxb課題：定積分的應用我行我能我要成功我能成功幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：6/21/202313(3)兩條曲線與直線圍成的曲邊梯形的面積:

yaxbyabxb6/21/202314yabxaabbyyxx型區(qū)域：

課題：定積分的應用我行我能我要成功我能成功可由先求出然后利用求出

可由先求出然后用

求出

用求6/21/202315變式引申4、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。略解：如圖由得當時則所求圖形的面積為由得課題：定積分的應用我行我能我要成功我能成功6/21/202316（二）定積分在物理中應用(1)求變速直線運動的路程例題研究v/m/st/s10406030OABC6/21/202317

例4、A、B兩站相距7.2km,一輛電車從A站開往B站,電車開出ts后到達途中C點,這一段的速度為1.2t(m/s),到C點的速度為24m/s,從C點到B點前的D點以等速行駛,從D點開始剎車,經(jīng)ts后,速度為(24-1.2t)m/s,在B點恰好停車,試求（1）A、C間的距離;（2）B、D間的距離;（3）電車從A站到B站所需的時間。

6/21/202318略解:(1)設A到C的時間為t1則1.2t=24,t1=20(s),則AC＝(2)設D到B的時間為t2則24-1.2t2=0,t2=20(s),則DB＝（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320（s）

說明：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a,b]上的定積分,即

6/21/202319(2)變力沿直線所做的功

例4：如果1N能拉長彈簧1cm,為了將彈簧拉長6cm,需做功（）A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J所以做功就是求定積分則由題可得。

略解：設A

說明：物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點移動到x=b點，則變力F(x)所做的功為:

6/21/202320解兩曲線的交點oxyABCDO6/21/202321解兩曲線的交點直線與x軸交點為(4,0)S1S26/21/202322解兩曲線的交點826/21/202323解兩曲線的交點6/21/202324于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．例題研究

6/21/202325例2:求由曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

(三)利用定積分求曲邊旋轉(zhuǎn)體的體積

xyox=1分析：（1）分割;(2)以直代曲；（3）求和；(4)逼近。課題：定積分的應用6/21/202326變式引申:某電廠冷卻塔外形如圖所示,雙曲線的一部分繞其中軸(雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A,A’是雙曲線的頂