2023高考數(shù)學(xué)考前必備二級結(jié)論

備戰(zhàn)2023高考數(shù)學(xué)考前必備4——二級結(jié)論

集合、常用邏輯用語、不等式

1:子集的個數(shù)問題

若一個集合/含有“（〃wN）個元素，則集合4有2"個子集，有個真子集，有（2"-1）個非空子集，

有（2"-2）個非空真子集.

理解：力的子集有2"個，從每個元素的取舍來理解，例如每個元素都有兩種選擇，則〃個元素共有2"種選

擇，該結(jié)論需要掌握并會靈活應(yīng)用.

對解決有關(guān)集合的個數(shù)問題，可以直接利用這些公式進(jìn)行計算.計算時要分清這個集合的元素是從哪里來的,

有哪些，即若可供選擇的元素有個，就轉(zhuǎn)化為求這個元素集合的子集問題.另外要注意子集、真子集、子集、

非空真子集之間的聯(lián)系有區(qū)別.

2:子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系

/仆8=/=/U8=8o4U8=,（其中/為全集）.

（1）當(dāng)4=8時，顯然成立；

（2）當(dāng)"GB時，圖如圖所示，結(jié)論正確.

這個結(jié)論通過集合的交、并、補(bǔ)運算與集合的包含關(guān)系的轉(zhuǎn)換解決問題.

3.均值不等式鏈

2//T/升b/la2+b2

（心0力>0,當(dāng)且僅當(dāng)方占時取等號）

一十一

ab

4.兩個經(jīng)典超越不等式

（1）對數(shù)形式：l+lnx（A>0）,當(dāng)且僅當(dāng)尸1時，等號成立.

（2）指數(shù)形式：ex>x+\（xeR）,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立.

進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex>x+1>x>1+lnx（x>0且yI）

V2—0X,

上述兩個經(jīng)典不等式的原型是來自于泰勒級數(shù)：eJ=l+x+—+-?-+—+ee,

2!〃！

ln(l+x)=r；+y--+(-1)""+4Q),截取片段：，>x+l(xeR),ln(l+x)<x(x>-l),當(dāng)且僅當(dāng)x=0

時，等號成立；進(jìn)而：IruMx-l(QO),當(dāng)且僅當(dāng)x=I時，等號成立.

1.奇函數(shù)的最值性質(zhì)

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的xGD,都有f(x)+f(-x)=O.特別地,

若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max+f(x)min=O,且若OGD,則f(O)=O.

2.函數(shù)周期性問題

【結(jié)論闡述】已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的xGD,都有

f(x)+f(-x)=O.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max+f(x)min=O,且若OSD,則

f(O)=O.已知定義在R上的函數(shù)f(x),若對任意xGR,總存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x),

則稱f(x)是周期函數(shù)，T為其一個周期.除周期函數(shù)的定義外，還有一些常見的與周期函數(shù)

有關(guān)的結(jié)論如下：

(1)如果人戶&)=如)(4彳0),那么人x)是周期函數(shù)，其中的一個周期42“.

1

(2)如果_/(x+a)=(存0),那么y(x)是周期函數(shù)，其中的一個周期7=2”.

/(x)

(3)如果加計尸c(存0),那么人均是周期函數(shù)，其中的一個周期T=2a.

(4)如果加)=/(x+a)Mx-a)(分0),那么兀0是周期函數(shù)，其中的一個周期7=6°.

3.不同底的指數(shù)函數(shù)圖像變化規(guī)律

當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時，底數(shù)越大指數(shù)函數(shù)的圖像越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于o且小于1時，底數(shù)越小，指數(shù)函數(shù)的

圖像越靠近N軸.即如圖1所示的指數(shù)函數(shù)圖像中，底數(shù)的大小關(guān)系為：0<c<d<l<b<a,即圖1中由y

軸右側(cè)觀察，圖像從下至上，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)依次增大.

2

4.不同底的對數(shù)函數(shù)圖像變化規(guī)律

當(dāng)?shù)讛?shù)大于o且小于1時，底數(shù)越小，對數(shù)函數(shù)的圖像越靠近》軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時，底數(shù)越大，對數(shù)函數(shù)

的圖像越靠近x軸.即如圖2所示的對數(shù)函數(shù)圖像中，底數(shù)的大小關(guān)系為：0<6<a<l<d<c,即圖2中，

在x軸上側(cè)觀察，圖像從左向右，對數(shù)函數(shù)的底數(shù)依次增大.

5.方程x+“X）=A的根為網(wǎng)，方程x+廣⑺父的根

x

若函數(shù)y=/G）是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=/T（X）.特別地，y=a^y=\ogllx

（a>0且awl）互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖像關(guān)于產(chǎn)、對稱，即（xo，/（x。））與（/（x。），/）分別在函數(shù)

產(chǎn)/'（x）與反函數(shù)”廣?）的圖像上

若方程x+/（x）=Z的根為%，方程x+/—（x）=上的根為%，則玉+々=左.

三角函數(shù)與解三角形

1.降募擴(kuò)角公式

3

cos2a=；(1+cos2a),

【結(jié)論闡述】

sin2a=；(1一cos2a).

2.升嘉縮角公式

H-cos2cr=2cos2a,

【結(jié)論闡述】

1—cos2a=2sin2a.

3.萬能公式

a,2。>a

2tan—1-tan-2tan—

【結(jié)論闡述】①sina=--------；②cosa=----------—；(3)tana=----------

,.?<2a

1+tan~-1+tan~一1-tan-

222

3.正切恒等式tan4+tan5+tanC=tan力tanStanC

若△為斜三角形，則有tan力+tan8+tanC=tanAtan8tanC（正切恒等式）.

4.射影定理

在△力6C中,?=bcosC+ccos5,b=acosC4-ccosJ,c=acosB+bcosA.

1.等差數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)，為等差數(shù)列s.｝的前〃項和，則有如下性質(zhì)：

在等差數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即見，勺+2"，…為等差數(shù)列，公差為

md

從第二項起每一項是它前一項與后一項的等差中項，也是與它等間距的兩項的等差中項：

2&=??-1+an+I（?22）,2%=an_k+an+k（?>k）

項的

性兩和式項數(shù)相同，下標(biāo)和相等，則兩式和相等：即若m+〃=『+s,則%+為=%+4；若

質(zhì)

m+n+p=r+s+t9貝=%+%+《

若｛/｝，｛a｝為項數(shù)相同的等差數(shù)列，則也見土色，｝仍為等差數(shù)列（卜」為常數(shù)）

等差數(shù)列的圖像是直線上一列均勻分布的孤立點（當(dāng)"3°時，a“=M+（a「d）是"的一次函數(shù)）

4

①S.，$2“-S.,$3“-$2“，…也成等差數(shù)列，公差為〃2d

Sti=—n+/——\n

②當(dāng)dxO時，2I2）是〃的二次函數(shù)

和的③［"J是等差數(shù)列

性

S4

質(zhì)

S^-S^=a^=--,S?=na.ll碼奇2%明

③〃為奇數(shù)時，^n+l;〃為偶數(shù)時，丁

aSa2m1S

,n=2m-\n=（-）2n-l

④若｛《,｝，料｝為項數(shù)相同的等差數(shù)列，且前”項和分別為§“與。，則鬣也（2?-1）7'2,?_1

T

（處理方法分別設(shè)S”=+即，n=城+B2f1）

單調(diào)在等差數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即《，a"+，"，a”+2m，…為等差數(shù)列，公差為

性md

2.等比數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)5?為等比數(shù)列｛%｝的前n項和，則有如下性質(zhì)：

在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比列,即4,，，可+2,”，…為等比數(shù)列，公比為?

從第二項起每一項是它前一項與后一項的等比數(shù)列，也是與它等間距的兩項的等比中項.

兩積式項數(shù)相同，下標(biāo)和相等，則兩式積相等：即若〃?+〃=廠+5，則%4，=44；若

項加+〃+p=〃+s+E,貝I］?！?Mp

的

若｛《，｝，｛"｝為項數(shù)相同的等比數(shù)列，則①｛i°g,qJ（其中%為常數(shù)）為等差數(shù)列；②

性

質(zhì)｛仇｝，｛地卜［卜六［，｛向卜｛叫,｛%｝,｛|%|｝a>0k

（其中%>°，%為常數(shù)）為等比數(shù)列.

等比數(shù)列的圖像是一列分布的孤立點（當(dāng)時，是〃的指數(shù)型函數(shù)）

4=aia2…4>B=4+4+2…。2*，C=a2k+\a2k+2…。3k,則力，臺，C成等比數(shù)列

和①若｛“"｝是4HT的等比數(shù)列，則數(shù)列S"，S2"-S“，$3“一S2,,，…也成等比數(shù)列（其中"為常數(shù)）；

5

的q=T且〃為偶數(shù)時，數(shù)列加，2,-5“，$3/,-$2-一是常數(shù)列｛0｝,它不是等比數(shù)列；②

性

S…=S”+(fsn=S“+(fSm；③在等比數(shù)列｛4｝中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2〃時，S儡=3奇；項數(shù)為奇

質(zhì)

數(shù)2〃一1時，S奇=卬+0%

①4=1時，數(shù)列｛”」是常數(shù)列，如數(shù)列2,2,2,2,…；②4<°時，數(shù)列｛《，｝是擺動數(shù)列，如數(shù)列

1,-2,4,-8,16,-.

1111...

單③q>O,O<g<l時，數(shù)列｛叫是遞減數(shù)列，如數(shù)列‘受'"&'…；

調(diào)

④時，數(shù)列｛?，，｝是遞增數(shù)列，如數(shù)列1，2,4,8,…；

性

⑤q<0,O<g<l時，數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，如數(shù)列一，-2，_4，-8，",.

⑥q<O,g>l時，數(shù)列｛可｝是遞減數(shù)列，如數(shù)列-1,-2,-4,-8,….

1.極化恒等式

(1)極化恒等式：”/=；［(a+b)2-(a-6)［；

(2)極化恒等式平行四邊形型：在平行四邊形"88中，^8.A5=1(|JC|2-|B5|：),即向量的數(shù)量積可

以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線''與"差對角線”平方差的:；

4

(3)極化恒等式三角形模型：在“8C中，M為邊BC中點、,貝ij；AB-AC=\AM^-^BC^.

說明：(1)三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決；

(2)記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差.

2.三角形“四心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A48c所在平面上一點，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,則

(1)。為A48C的外心

6

次H赤閆困而+礪）?萬=（礪+反=（5+歷）?太=0.

（如圖1）

（2）如圖2,O為A48C的重心o5+無+反=0.

（3）如圖2,。為M8C的垂心o刃.麗=礪.反=反.區(qū).

（4）如圖3,。為AJ8C的內(nèi)心oa方+/）赤+c反=0=sin4^+sin小赤+sinC?歷=0.

說明：三角形“四心”---重心，垂心，內(nèi)心，外心

（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；

（2）垂心——高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；

（3）內(nèi)心——角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；

（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等.

3.奔馳定理

奔馳定理：設(shè)。是&48C內(nèi)一點，\BOC,MOC,AJ05的面積分別記作S，，Sy,Sc則

說明：本定理圖形酷似奔馳的車標(biāo)而得名.

奔馳定理在三角形四心中的具體形式：

①。是ZU8C的重心=S,:Sll:Sc=l:\A=OA+OB+OC=b.

②。是M8C的內(nèi)心oSA:SB:Sc=a:b:caOA+bOB+cOC^0-

③0是MBC的外心=S.:Sy:Sc=sin2^:sin25:sin2C<^>sin2A-0A+sin2B-OB+sin2C-0C=6.

④。是A/I8C的垂心0S,:SB：Sc=tan/:tan8:tanCotanAOA+tanB-OB+tanCOC=0.

奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.

1.三余弦定理與三正弦定理

7

三余弦定理（又稱最小角定理）：如圖①，是平面的一條斜線，8c是平面內(nèi)的一條直線，0/4平面萬

于0,OC，BC于C,則cos//8C=cos/O8C-cos/OB/,即斜線與平面內(nèi)一條直線夾角7的余弦值等

于斜線與平面所成角?的余弦值乘以射影與平面內(nèi)直線夾角P的余弦值：cos/=cosa?cos￡；

說明：為方便記憶，我們約定/為線線角，a為線面角，耳為射影角，則由三余弦定理可得

線面角是最小的線線角，即平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條直

線所成角中的最小者.

三正弦定理（又稱最大角定理）：如圖②，設(shè)二面角以Z8-S的平面角為a,/Cu平面。，CO上平面

OB1AB,設(shè),貝［|siny=sina-sin/7.

說明：為方便記憶，我們約定a為二面角，尸為線棱角，/為線面角，則由三正弦定理可得

二面角是最大的線面角，即對于一個銳二面角，在其中一個半平面內(nèi)的任一條直線與另一個半平面所成的

線面角的最大值等于該二面角的平面角.

2.多面體的外接球和內(nèi)切球

類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）

例如：如圖①，在四棱錐尸-/BCD中，內(nèi)切球為球。，求球半徑方法如下:

^P-ABCD=^O-ABCD+^O-PBC+^O-PCD+^O-PAD+‘0-P4B

即：='r+§SpBc.'+]S/>co.'+§SR_|o?/*+5s尸HB,可求出廠.

類型二球的外接問題

1.公式法

正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點

2.補(bǔ)形法（補(bǔ)長方體或正方體）

8

①墻角模型（三條線兩個垂直）

題設(shè)：三條棱兩兩垂直

②對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

3.單面定球心法（定+算）

步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐尸中，選中底面A/I8C,確定其外接圓

圓心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心2/=」二）；

S11V1

②過外心?做（找）底面Azi8c的垂線，如圖中上面N8C,則球心一定在直線（注意不一定在線段

上）上；

③計算求半徑及：在直線尸01上任取一點0如圖：貝利用公式。可計算出球半

徑R.

4.雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖：在三棱錐P-45C中：

①選定底面定A48C外接圓圓心。；②選定面/Q48,定445外接圓圓心儀；

③分別過4做面/8C的垂線，和Q做面P4B的垂線，兩垂線交點即為外接球球心。.

1.焦點三角形的面積公式

1.橢圓中焦點三角形面積公式

在橢圓。■+￡=1（a>6>0）中，斗，鳥分別為左、右焦點，P為橢圓上一點，"PFi,△尸片鳥的

面積記為即通，則：①義帥=陰7②5好&\附III也卜in。；③邑呻產(chǎn)/^毆，其中

0=ZF]PF2.

9

在雙曲線￡-E=l（a>0,6>0）中，耳，居分別為左、右焦點，尸為雙曲線上一點，4F\PF,=9,"F、F,

a~h~

的面積記為治兩&,貝I：①4/?石產(chǎn)）耳項以產(chǎn)小小②“呻尸:刊油尸F(xiàn)JsinO；@S^=~0.

'2.ztan一

2

注意：在求圓錐曲線中焦點三角形面積時，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義，余弦定

理，基本不等式等綜合應(yīng)用.

2.圓錐曲線的切線問題

1.過圓C：（、-。）2+8-6）2=7?2上一點尸（看,%）的切線方程為（％-。）。-。）+仇-6）。-6）=7?2.

22

2.過橢圓0=1上一點P（x0,y0）的切線方程為警+誓=1.

abab

3.己知點A/（%,必）），拋物線C：/=2川3wo）和直線/：yny=p（x+x9）.

（1）當(dāng)點在拋物線C上時，直線/與拋物線C相切，其中〃為切點，/為切線.

（2）當(dāng)點M（x。,h）在拋物線C外時，直線/與拋物線C相交，其中兩交點與點加的連線分別是拋物線的

切線，即直線/為切點弦所在的直線.

（3）當(dāng)點/（%,%）在拋物線C內(nèi)時，直線/與拋物線C相離.

3.圓錐曲線的中點弦問題

1.在橢圓C：￡+￡=1（穌6>0）中（特別提醒此題結(jié)論適用焦點在x軸上橢圓）：

a'b

（1）如圖①所示，若直線^=日（火=0）與橢圓C交于4,8兩點，過4,8兩點作橢圓的切線/,有////',

設(shè)其斜率為為，則即%=-與.

a"

（2）如圖②所示，若直線、=履（左二0）與橢圓C交于Z,B兩點，尸為橢圓上異于4，8的點，若直線為，

尸5的斜率存在,且分別為質(zhì),%,,則",=一與.

a

（3）如圖③所示，若直線卜=履+力（女工0加工0）與橢圓C交于力，4兩點，尸為弦月8的中點，設(shè)直線PO的

2

斜率為％則英=_>h.

10

12LI

會；(2)桃2=4；

ci

(3)kk=—.

oCT

3.在拋物線C：/=2px(p>0)中類比1(3)的結(jié)論有％=(仇片0).

4：圓錐曲線中的定值問題

1.在橢圓中：已知橢圓I+《=l(a>6>0),定點尸(-%,%)(%為wO)在橢圓上，設(shè)“，B是橢圓上的

a~h~

兩個動點，直線P4,P8的斜率分別為A",kPB,且滿足即“+怎B=0.則直線48的斜率38=孕

。%

2.在雙曲線C：、-q=1(。>0力>0)中，定點PG。,％)(XO^HO)在雙曲線上，設(shè)4,8是雙曲線上

ab

的兩個動點，直線4，PB的斜率分別為七,，kPK,且滿足&,+&B=0.則直線的斜率3產(chǎn)-”

a%

3.在拋物線C：y2=2px[p>0),定點尸(飛,典)(玉為二0)在拋物線上，設(shè)力，8是拋物線上的兩個動

點，直線P/,PB的斜率分別為3,kPB,且滿足％+G=0.則直線”的斜率M尸一上

%

5.圓錐曲線中的定點問題

若圓錐曲線中內(nèi)接直角三角形的直角頂點與圓錐曲線的頂點重合，則斜邊所在直線過定點.

(1)對于橢圓￡+￡=1(a>b>0)上異于右頂點的兩動點4,B,以N8為直徑的圓經(jīng)過右頂點(。,0),

a2b2

則直線3過定點((/「"?",0).同理，當(dāng)以45為直徑的圓過左頂點(-4,0)時，直線3過定點

a+b

22

(a-h)a

(a2+b2，h

(2)對于雙曲線事-彳=1(4>0,6>())上異于右頂點的兩動點力，B,以48為直徑的圓經(jīng)過右頂點(。,0),

a"b

11

則直線3過定點(”也々0).同理，對于左頂點則定點為(-"+"2?”,0).

a-ba-b

(3)對于拋物線=2px(p>0)上異于頂點的兩動點4,B,若德.礪二0，則弦48所在直線過點

(2〃,0).同理，拋物線/=2勿("0)上異于頂點的兩動點4,B,若風(fēng).礪=0，則直線48過定點(0,2p).

6.圓錐曲線中的定直線問題

1,已知橢圓《+《=1(">6>0)外一點尸(%,為)，當(dāng)過點尸的動直線/與橢圓相交于不同的兩點48時，

ab

在線段45上取一點。，滿足空=理.則點。必在定直線寫+浮=1上；

\PB\\QB\a1b2

2.已知橢圓=1(?！礲〉0)外一點P(x。/。),當(dāng)過點尸的動直線/與橢圓相交于不同的兩點"時,

在線段初上取一點。，滿足篙翳則點。必在定直線小於上

3.已知拋物線/=2px(p>0),定點尸(%,%)不在拋物線上，過點P的動直線交拋物線于48兩點，在直

線N8上取點。，滿足些=理.則點。在定直線%F=P(X+X0)上.

\PB\\QB\

7.拋物線的焦點弦長公式

不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(0>0),如圖1,準(zhǔn)線x=-］與X軸相交于點P,過焦點尸［goj的直線/與

拋物線相交于“(%,必),8(々,%)兩點，。為原點，a為Z8與對稱軸正向所成的角，則有如下的焦點弦長

公式：\AB\=yJ\+k2入詞,|/且=J1++|另溝|=q+七+44串飛:工

8.拋物線中的三類直線與圓相切問題

不妨設(shè)拋物線方程為V=2px(,>0),如圖1,準(zhǔn)線與x軸相交于點尸，過焦點尸(go)的直線/與

拋物線相交于/&,%),8(&，力)兩點，。為原點，。為工8與對稱軸正向所成的角，力8的中點為C,又

垂足分別為4,與,G，則有如下結(jié)論(圖2)：

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圖1圖2圖3

①以48為直徑的圓M與準(zhǔn)線相切；

②以如"為直徑的圓。與N軸相切；

③以8尸為直徑的圓D與y軸相切；

④分別以43,4尸,8尸為直徑的圓之間的關(guān)系：圓C與圓。外切；圓C與圓。既與V軸相切，又與圓M相

內(nèi)切.

結(jié)合圓的幾何性質(zhì)易得有關(guān)直線垂直關(guān)系的結(jié)論，如圖3有，

①以48為直徑的圓的圓心在準(zhǔn)線上的射影I%與48兩點的連線互相垂直，即MtA1M、B；

②以"為直徑的圓的圓心在夕軸上的射影￡與4,尸兩點的連線互相垂直，即G/qC/；

③以BF為直徑的圓的圓心在N軸上的射影2與3,尸兩點的連線互相垂直，即D、B1D}F；

④以44為直徑的圓必過原點，即吊尸工8尸;

⑤M[FJ.4B.

排列組合及二項式定理

1：排列組合中的分組與分配

①“非均勻分組”是指將所有元素分成元素個數(shù)彼此不相等的組，使用分步組合法；

②“均勻分組”是指將所有元素分成所有組元素個數(shù)相等或部分組元素個數(shù)相等的組.不論是全部均勻分組,

還是部分均勻分組，如果有加個組的元素是均勻的，都有A：：種順序不同的分法只能算一種分法；

③對于非均勻編號分組采用分步先組合后排列法，部分均勻編號分組采用分組法；

④平均分堆問題倍縮法采用縮倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重復(fù)法）；

⑤有序分配問題逐分法采用分步法）；

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⑥全員分配問題采用先組后排法；

⑦名額分配問題采用隔板法（或元素相同分配問題隔板法、無差別物品分配問題隔板法）；

⑧限制條件分配問題采用分類法.

2、三項展開式中的特定項（系數(shù)）問題的處理方法：

（1）通常將三項式轉(zhuǎn)化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項（系數(shù)）問題的處理

方法求解；

（2）將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式展開，然后再分類考慮特定項產(chǎn)生的所有可能情形；（3）

也可以按照推導(dǎo)二項式定理的方法解決問題.

二、幾個多項式積的展開式中的特定項（系數(shù)）問題的處理方法：可先分別化簡或展開為多項式和的形式,

再分類考慮特定項產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項，最后進(jìn)行合并即可.

3.二項式系數(shù)和的性質(zhì)

若(ax+b)"=旬++...+a,,x",則設(shè)/(x)=(ox+b)",有:

旬=/(0)；②%+4+%+…+%=/⑴;③/一4+%-%+…+(T)”q=.?T)；

④%+-⑤…+…

【應(yīng)用場景】

①賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦

的值有：一i,o,i等

②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值

系數(shù)和常③求值，根據(jù)題意，得出指定項的系數(shù)和

用“賦值法”

④在求各項的系數(shù)的絕對值的和時，首先要判斷各項系數(shù)的符號，

然后將絕對值去掉，再進(jìn)行賦值

函數(shù)及其性質(zhì)

1.條件概率

計算條件概率有兩種方法.

P(AB)

（1）定義法：利用定義尸（邳力=

尸⑷

則尸（9）=喘

（2）壓縮事件空間法：若〃（⑷表示試驗中事件A包含的基本事件的個數(shù),

【應(yīng)用場景】

（1）注意：利用定義求條件概率時，事件A與事件8有時是相互獨立事件，有時不是相互獨立事件，要

弄清P（45）的求法.

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(2)當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)〃(4),

再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即

2.常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差

典型分

兩點分布：成功概二項分布：

布超幾何分布：,N)

X~B(n,p)

率為p

數(shù)字特征