廣東省惠州市示范名校2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

廣東省惠州市示范名校2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.2．已知拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.23．點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．北京將成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．根據(jù)安排，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是兩個(gè)“相似橢圓”（離心率相同的兩個(gè)橢圓我們稱(chēng)為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線(xiàn)AC，BD，若兩切線(xiàn)斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.6．若隨機(jī)事件滿(mǎn)足，，，則事件與的關(guān)系是（）A.互斥 B.相互獨(dú)立C.互為對(duì)立 D.互斥且獨(dú)立7．“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線(xiàn)上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為（）A.1225 B.1275C.1326 D.13628．若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.9．已知直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.10．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線(xiàn)的方程是（）A. B.C. D.11．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，則的值為A.2 B.1C. D.412．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)__________14．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為_(kāi)_____.15．若滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)____________16．曲線(xiàn)在x=1處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱上，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)18．（12分）解答下列兩個(gè)小題：（1）雙曲線(xiàn)：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，求的方程；（2）雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為2，且雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程19．（12分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).（1）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品非原料成本；（3）根據(jù)企業(yè)長(zhǎng)期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，若非原料成本y在之外，說(shuō)明該成本異常，并稱(chēng)落在之外的成本為異樣成本，此時(shí)需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計(jì)值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).20．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國(guó)一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開(kāi)放、共享的發(fā)展理念，著力促進(jìn)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車(chē)環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國(guó)的國(guó)情，也代表了世界汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國(guó)新能源汽車(chē)銷(xiāo)量占總銷(xiāo)量將達(dá)20%以上.2021年，某集團(tuán)以20億元收購(gòu)某品牌新能源汽車(chē)制造企業(yè)，并計(jì)劃投資30億元來(lái)發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車(chē)的銷(xiāo)售量為10萬(wàn)輛，每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)為3000元．據(jù)專(zhuān)家預(yù)測(cè)，以后每年銷(xiāo)售量比上一年增加10萬(wàn)輛，每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少億元？（2）到2027年年底，該集團(tuán)能否通過(guò)該品牌汽車(chē)實(shí)現(xiàn)盈利？（實(shí)現(xiàn)盈利即銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)總投資，參考數(shù)據(jù)：，，）21．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.22．（10分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國(guó)家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線(xiàn)圖的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測(cè)當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【題目詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)；故時(shí)，，∴；故選：B.2、B【解題分析】將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求出，再由拋物線(xiàn)的焦半徑公式可得答案.詳解】將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程可得，解得則故選：B3、A【解題分析】由，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最值【題目詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則又因?yàn)?，，所以，則故選：A4、C【解題分析】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設(shè)切線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，得到，同理得到，結(jié)合題意求得，進(jìn)而求得離心率.【題目詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，因?yàn)閮?nèi)外層的橢圓的離心率相同，可設(shè)外層橢圓的方程為，設(shè)切線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，設(shè)切線(xiàn)的方程為，同理可得，因?yàn)閮汕芯€(xiàn)斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.5、D【解題分析】求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)的定義可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【題目詳解】易知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，可得準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)，，可得，所以，，解得，即點(diǎn)，所以.故選：D.6、B【解題分析】利用獨(dú)立事件，互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷即可【題目詳解】解：因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以有，所以事件與相互獨(dú)立，不互斥也不對(duì)立故選：B.7、B【解題分析】觀察前4項(xiàng)可得，從而可求得結(jié)果【題目詳解】由題意可得，……，觀察規(guī)律可得，所以，故選：B8、A【解題分析】利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】由對(duì)立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.9、D【解題分析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【題目詳解】由，可知，則有，解之得故選：D10、B【解題分析】設(shè)該弦所在直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則，利用點(diǎn)差法可得答案.【題目詳解】設(shè)該弦所在直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則因?yàn)?，兩式相減可得，，即由中點(diǎn)公式可得，所以，即，所以AB所在直線(xiàn)方程為，即故選：B11、D【解題分析】本題首先可以通過(guò)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)確定直線(xiàn)的斜率存在，然后設(shè)出直線(xiàn)方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過(guò)拋物線(xiàn)的定義將化簡(jiǎn)，最后得出結(jié)果【題目詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同的兩點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，由可得，，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線(xiàn)的定義、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，是中檔題12、C【解題分析】連接，可得，得到異面直線(xiàn)與所成角即為直線(xiàn)與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【題目詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線(xiàn)與所成角即為直線(xiàn)與所成角，設(shè)，由在長(zhǎng)方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因?yàn)?，所?故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)題意，作出可行域，進(jìn)而根據(jù)幾何意義求解即可.【題目詳解】解：作出可行域如圖，將變形為，所以根據(jù)幾何意義，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最小值，所以聯(lián)立方程得，所以的最小值為故答案為：14、【解題分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調(diào)性解不等式即可【題目詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因?yàn)?，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.15、【解題分析】由下圖可得在處取得最大值，即.考點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃.【方法點(diǎn)晴】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，靈活性較強(qiáng)，屬于較難題型.考生應(yīng)注總結(jié)解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟（1）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域；（2）將目標(biāo)函數(shù)變形為；（3）作平行線(xiàn)：將直線(xiàn)平移，使直線(xiàn)與可行域有交點(diǎn)，且觀察在可行域中使最大（或最?。r(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）求出最優(yōu)解：將（3）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出的最大（?。┲?16、【解題分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程的斜率并求出，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可.【題目詳解】由題設(shè)，，則，而，所以在x=1處的切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】（1）推導(dǎo)出，以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設(shè)，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長(zhǎng)【題目詳解】解（1）在直四棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以因?yàn)?，所以以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所?所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為（2）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去）所以【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二面角的求法，考查線(xiàn)段長(zhǎng)的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等知識(shí)，考查運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，屬于中檔題18、（1）；（2）.【解題分析】（1）由可得，再將點(diǎn)代入方程，聯(lián)立解出答案，可得答案.（2）先求出橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，由條件可得，且，從而得出答案.詳解】（1）由，得，即，又，即，雙曲線(xiàn)的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得所以，雙曲線(xiàn)的方程為（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線(xiàn)的方程為19、（1）（2）反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元，（3）見(jiàn)解析【解題分析】（1）令，則可轉(zhuǎn)化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉(zhuǎn)化求回歸方程即可，（2）求出與的相關(guān)系數(shù)，通過(guò)比較，可得用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，然后將代入回歸方程中可求結(jié)果（3）利用已知數(shù)據(jù)求出樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，從而可得非原料成本y服從正態(tài)分布，再計(jì)算，然后各個(gè)數(shù)據(jù)是否在此范圍內(nèi)，從而可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】令，則可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以y關(guān)于x的回歸方程為【小問(wèn)2詳解】與的相關(guān)系數(shù)為因?yàn)?，所以用反比例函?shù)模型擬合效果更好，把代入回歸方程得（元），所以產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闃颖緲?biāo)準(zhǔn)差為，所以，所以非原料成本y服從正態(tài)分布，所以因?yàn)樵谥?，所以需要此非原料成本?shù)據(jù)尋找出現(xiàn)異樣成本的原因20、（1）億元（2）該集團(tuán)能通過(guò)該品牌汽車(chē)實(shí)現(xiàn)盈利【解題分析】（1）由題意可求得第n年的銷(xiāo)售量，第n年每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)，從而可求出第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)，（2）利用錯(cuò)位相減法求出到2027年年底銷(xiāo)售利潤(rùn)總和，再與總投資額比較即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)第n年的銷(xiāo)售量為萬(wàn)輛，則該汽車(chē)的年銷(xiāo)售量構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為10的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年每輛車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，則每輛汽車(chē)的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)構(gòu)成首項(xiàng)為3000，公比為0.9的等比數(shù)列，所以，記第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為，則萬(wàn)元；即第n年的銷(xiāo)售利潤(rùn)為億元【小問(wèn)2詳解】到2027年年底，設(shè)銷(xiāo)售利潤(rùn)總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因?yàn)椋?/p>