第二章動(dòng)量定理動(dòng)量守恒

第二章動(dòng)量定理動(dòng)量守恒第一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2力的累積效應(yīng)對(duì)積累對(duì)積累動(dòng)量、沖量、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒動(dòng)能、功、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒本章內(nèi)容第二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四3第一節(jié)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理第三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四41、動(dòng)量動(dòng)量是狀態(tài)量，反映物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。第四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四德謨克利特與原子論第五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四笛卡爾：運(yùn)動(dòng)之量第六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四萊布尼茨：運(yùn)動(dòng)應(yīng)該用“活力”度量第七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四達(dá)蘭貝爾:毫無(wú)意義的爭(zhēng)論第八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、沖量第九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四10（1）、恒力的沖量:Ftt1t2此定義說(shuō)明：恒力的沖量是矢量且沖量的方向與恒力的方向一致。沖量是過(guò)程量，總與一段時(shí)間或一個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)。第十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四11（2）、變力的沖量:變力的微元沖量：變力的在一段時(shí)間內(nèi)的總沖量：第十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四（3）變力的平均沖力及其物理意義12變力的平均沖力定義為：Ft1t2tF第十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四13動(dòng)量的單位為：kg.m/s。沖量的單位為：N.s=kg.m/s2.s=kg.m/s二者單位相同，預(yù)示著動(dòng)量與沖量具有內(nèi)在聯(lián)系。

3、動(dòng)量與沖量的關(guān)系第十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四14這一結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式。（1）、動(dòng)量定理的微分形式4、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：第十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四（2）、動(dòng)量定理的積分形式

15

上式表明:質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。這一結(jié)論稱為動(dòng)量定理的積分形式。第十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四16某方向受到?jīng)_量，該方向上動(dòng)量就增加．說(shuō)明：分量表示：第十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四17解由動(dòng)量定理：

例題

一物體質(zhì)量m=2kg,受合外力F=(3+2t)i(SI)的作用，初速度0=5j(m/s)；求第1秒末物體的速度。速度的大小:速度與x軸正方向的夾角:

得

=2i+5j(m/s)=68.2°第十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四18

例題

已知一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=1kg，其運(yùn)動(dòng)的位置矢量為

求：（1）、第4秒末質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量；（2）、0秒時(shí)刻與4秒末時(shí)刻之間的動(dòng)量改變量；（3）、前4秒內(nèi)外力沖量；（4）、0～4秒內(nèi)動(dòng)量是否守恒？

解：（1）、由速度定義有任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度為:故由動(dòng)量定義第十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四19（2）、因t=0時(shí)，

代入t=4s，可計(jì)算出4秒末時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為而t=4時(shí)，（3）、由動(dòng)量定理第十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四20

（4）、由以上計(jì)算可知：

但并不是說(shuō)0～4秒內(nèi)動(dòng)量守恒。

因?yàn)楫?dāng)t=1s和t=2s時(shí)，顯然有

說(shuō)明0～4秒內(nèi)動(dòng)量不守恒。第二十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四21動(dòng)量定理常應(yīng)用于碰撞問(wèn)題注意：越小，則越大在一定時(shí)第二十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第二節(jié)動(dòng)量守恒定律第二十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四23

質(zhì)點(diǎn)組或質(zhì)點(diǎn)系(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))—作為研究對(duì)象的質(zhì)點(diǎn)的集合。

內(nèi)力—系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。外力—系統(tǒng)以外的物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力。一.質(zhì)點(diǎn)組或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理第二十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四24fiFiF1mnFnfnm1mif1對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理有：

m1:(f1+F1)dt=m11–m1

1o

m2:(f2+F2)dt=m22–m2

2o

mi:(fi+Fi)dt=mii–mi

io

mn:(fn+Fn)dt=mnn–mn

no第二十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理,它表明系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。于是(fi

+Fi)dt=mii

-miio

根據(jù)牛頓第三定律,內(nèi)力之和fi=0,fiFiF1mnFnfnm1mif1等式兩端同時(shí)求和得：第二十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四26二.動(dòng)量守恒定律

這就是說(shuō),當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí),這一質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量矢量就保持不變。這一結(jié)論叫做動(dòng)量守恒定律。幾點(diǎn)說(shuō)明:(1)系統(tǒng)動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律告訴我們，一個(gè)系統(tǒng)總動(dòng)量的改變完全由合外力來(lái)確定，與內(nèi)力無(wú)關(guān)。

如果質(zhì)點(diǎn)組所受的合外力為零,即Fi=0,則由質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理知

mii=常矢量第二十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四27(2)系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是合外力為零。

(4)動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。

(3)動(dòng)量守恒表示式是矢量關(guān)系式。在實(shí)際問(wèn)題中,常應(yīng)用其沿坐標(biāo)軸的分量式:

Fx

=0,則miix=常量

Fy=0,則miiy=常量

Fz=0,則miiz=常量

第二十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四28

例題2-3如圖所示，一輛質(zhì)量為M的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為m的小物體以水平速度o滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求:(1)從物體滑上車頂?shù)较鄬?duì)車頂靜止需多少時(shí)間？(2)要物體不滑下車頂，車長(zhǎng)至少應(yīng)為多少？

M0m

解(M+m):水平方向不受外力，故動(dòng)量守恒：

mo=(M+m)式中是相對(duì)靜止時(shí)的速度。

(1)對(duì)物體m應(yīng)用動(dòng)量定理，有

-mg.t=m-mo解得第二十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

設(shè)車長(zhǎng)至少為S,

物體m的加速度:

a=-mg/m=-g;

而=mo/=(M+m)則由2-02=2aS求得最小的車長(zhǎng)為

S=(2-02)/2a

=M(M+2m)02/(2g(M+m)2)這個(gè)結(jié)果對(duì)嗎？這個(gè)結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的。關(guān)鍵是車在運(yùn)動(dòng)。(2)要物體不滑下車頂，車長(zhǎng)至少應(yīng)為多少？mo=(M+m)M0m第二十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四30

牛頓定律和動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。這里：運(yùn)動(dòng)的車是非慣性系，而地面才是慣性系。

a=-mg/m=-g;

=mo/=(M+m)

因此上面式子中的加速度a、速度、0都是相對(duì)地面的。故由公式2-02=2aS求出的S當(dāng)然也應(yīng)是物體m相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)距離，而不是相對(duì)非慣性系(車頂)的運(yùn)動(dòng)距離。M0m第三十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四31

m相對(duì)地面的加速度：

a=-gm相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的距離：

S1=(2-02)/2a

M相對(duì)地面的加速度：

a0=mg/MM相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的距離：

S2=2/2a0

故車的最小長(zhǎng)度為=mo/=(M+m)正確解法是：MmmS1S2M0m第三十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四32例題2-4光滑的水平桌面上，有一質(zhì)量為m、速度為u的小球A沿水平方向飛行，與一靜止的小球B碰撞后，A球的速度變?yōu)?，其方向與u方向成90o，B球的質(zhì)量為5m，它被撞后以速度2飛行，2的方向與u成=arcsin(3/5)角，求兩小求相碰后速度1、2的大小。

解對(duì)兩小球組成的系統(tǒng)，顯然動(dòng)量守恒:

x方向：mu=5m2cosy方向：0=-m1+5m2sin

解以上兩式得

1=3u/4,2=u/4xy90oAmu2B5m1第三十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三節(jié)功和動(dòng)能定理第三十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四34一、功：1、恒力的功：力與力作用點(diǎn)位移的標(biāo)積第三十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四35圖1S一、功：1、恒力的功：力與力作用點(diǎn)位移的標(biāo)積第三十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四2、元功力在元位移上的功第三十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四3、不同坐標(biāo)系的元功平面直角坐標(biāo)系力元位移元功第三十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四平面自然坐標(biāo)系力元位移元功即：功等于力在切向單位矢量上的投影和弧坐標(biāo)增量的乘積。第三十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四4、變力的功變力所做的總功等于各元功之和。第三十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四變力的總功元功第四十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、功率：給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬起地球！第四十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四42二、功率：平均功率的極限。平均功率：功率：第四十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理力對(duì)物體做功會(huì)產(chǎn)生什么效果呢？由于：所以：第四十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。即：動(dòng)能定理。功和動(dòng)能量綱相同，也是單位也是焦耳（J）。第四十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四4545

例題2-5今有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，豎直放置，下端連接一質(zhì)量為m的物體，開(kāi)始時(shí)使彈簧為原長(zhǎng)而物體m恰好與地面接觸。今將彈簧上端緩慢地提起，直到物體m剛能脫離地面時(shí)止，求此過(guò)程中外力作的功。

解將彈簧上端緩慢地提起的過(guò)程中，需要用多大的外力？

x(原長(zhǎng))xomF

外力:F=kx

，這是一個(gè)變力。建立如圖所示的坐標(biāo)。

物體m脫離地面的條件是什么？

kx0=mg所以外力作的功為第四十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四4646完成積分得：

=10(m/s)。再由動(dòng)量定理求出該力的沖量：

解要直接求出沖量：是困難的。因力是坐標(biāo)的函數(shù)，應(yīng)先用動(dòng)能定理

例題2-6質(zhì)量m=4kg的物體在力F=(2x+5)i(SI)的作用下,沿x軸作直線運(yùn)動(dòng),初速o

=5i(m/s);求物體從x=0到x=10(m)的這段時(shí)間內(nèi)所受的沖量。

第四十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四節(jié)保守力的功勢(shì)能第四十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四4848

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿三條不同路徑從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)(高度分別為ha和hb),如圖所示;重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)m作的功為由此可見(jiàn),重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑形狀無(wú)關(guān)。C一.保守力作功的特點(diǎn)重力的功hb3abmghaoyx21ds第四十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四4949

將輕彈簧的一端固定,另一端連接一小球,如圖所示。當(dāng)小球由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中,彈性力所作的功為

由式可知，彈性力作功和重力作功一樣,只與運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān),而與其經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑形狀無(wú)關(guān)。式中k為彈簧的勁度系數(shù)。彈性力的功xa(原長(zhǎng))oxbabx第四十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四5050

如圖所示,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)的引力場(chǎng)中,由a點(diǎn)沿任意路徑運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)(用ra和rb分別表示a、b兩點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)M的距離)。注意到：dscos(-)=dr(即質(zhì)點(diǎn)m與M之間距離r的增量),所以引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)m所作的功為上式中的G是引力常數(shù)。由式可見(jiàn),萬(wàn)有引力的功也只與質(zhì)點(diǎn)始末位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑形狀無(wú)關(guān)。萬(wàn)有引力的功frrarbabMdrdsm第五十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四5151

小結(jié)：保守力(重力、彈性力、萬(wàn)有引力)的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān),而與路徑形狀無(wú)關(guān)。

凡是作功具有上述特點(diǎn)的力都叫保守力。否則叫做非保守力。

因?yàn)楸Ｊ亓ψ鞯墓χ慌c質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān),故保守力F保沿任意閉合路徑L所作的功總為零,亦即上式表明：保守力的環(huán)流(沿任意閉合路徑L的線積分)為零。上式也是保守力的一種定義。一對(duì)作用與反作用力做功的特點(diǎn):總功只僅取決于一質(zhì)點(diǎn)所受的力與該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移。第五十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四5252二.勢(shì)能概念可見(jiàn)，保守力的功可寫(xiě)為重力的功彈性力的功引力的功

定義：Epa是系統(tǒng)在位置a的勢(shì)能;Epb是系統(tǒng)在位置b的勢(shì)能。第五十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四5353上式的意義是:保守力的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值（勢(shì)能減少）。若取b點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，則由式我們得到系統(tǒng)在位置a的勢(shì)能為

上式表示，系統(tǒng)在位置a的勢(shì)能等于系統(tǒng)從該位置移到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力所作的功。這就是計(jì)算勢(shì)能的方法。原則上講，勢(shì)能的零點(diǎn)是可以任意選擇的，因此勢(shì)能僅具有相對(duì)的意義。第五十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四5454(1)零勢(shì)面可任意選擇,由問(wèn)題的方便而定。

(2)重力勢(shì)能為

Ep=±m(xù)gh(3)物體在零勢(shì)面以上,重力勢(shì)能為正,否則為負(fù)。彈性勢(shì)能(3)彈性勢(shì)能總是正值。重力勢(shì)能(1)通常規(guī)定彈簧無(wú)形變(即未伸長(zhǎng)也未壓縮)時(shí)的勢(shì)能為零。

(2)彈簧伸長(zhǎng)或壓縮x時(shí)的彈性勢(shì)能xx(原長(zhǎng))aok第五十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四5555

(1)通常選取兩物體相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)(此時(shí)引力為零)的勢(shì)能為零。

(3)引力勢(shì)能總是負(fù)值。應(yīng)當(dāng)注意：勢(shì)能是屬于相互作用著的物體所組成的系統(tǒng)的,不應(yīng)把它看作是屬于某一個(gè)物體的。引力勢(shì)能

(2)兩物體M、m相距r時(shí)的引力勢(shì)能,rfMdrm第五十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第五節(jié)功能原理機(jī)械能守恒第五十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四57外力功內(nèi)力功一質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能注意

對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有

對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有第五十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四5858

將上述結(jié)果代入動(dòng)能定理:A內(nèi)+A外=

Ek-

Ek0移項(xiàng)后,則得A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)式中:E=Ek+Ep是系統(tǒng)的機(jī)械能。上式表明:系統(tǒng)合外力的功和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。這一結(jié)論稱為系統(tǒng)的功能原理。這里需要指出的是，系統(tǒng)機(jī)械能的改變不僅與外力的功有關(guān)，而且還與非保守內(nèi)力的功有關(guān)。

二.功能原理

內(nèi)力的功A內(nèi)也可以寫(xiě)成

A內(nèi)=A保守內(nèi)力+A非保守內(nèi)力

第五十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四59

A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)

如果合外力的功與非保守內(nèi)力的功之和為零(即A外+A非保守內(nèi)力=0)時(shí),則

Ep+Ek=恒量這一結(jié)論稱為機(jī)械能守恒定律。應(yīng)當(dāng)指出，機(jī)械能守恒的條件是A外+A非保守內(nèi)力=0,這當(dāng)然是對(duì)慣性系而言的。還應(yīng)看到,在某一慣性系中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,并不能保證在另一慣性系中系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒,因?yàn)锳非保守內(nèi)力雖然與參考系的選擇無(wú)關(guān),但A外卻取決定于參考系的選擇。

三.機(jī)械能守恒定律第五十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四60

名稱碰撞前后相碰物體有無(wú)動(dòng)能損失形變能否恢復(fù)彈性碰撞無(wú)動(dòng)能損失形變能完全恢復(fù)非彈性碰撞有部分動(dòng)能損失形變能部分恢復(fù)物體碰后分離完全非彈性碰撞有部分動(dòng)能損失形變完全不能恢物體碰后不分離復(fù)

四.碰撞的分類

碰撞通常分為三類：第六十頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四61

例題2-8如圖所示，光滑地面上有一輛質(zhì)量為M的靜止的小車，小車上一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩將小球m懸掛于o點(diǎn)。把繩拉直，將小球由靜止釋放，求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率。

解以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，它受兩個(gè)力：繩的張力T，重力mg。因?yàn)樾∏蚶@o點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，張力T與運(yùn)動(dòng)方向垂直，因此它不作功，只有重力(保守力)作功，所以機(jī)械能守恒：解得：這個(gè)解法對(duì)嗎？oLmMTmg第六十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四62

說(shuō)小球繞o點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，張力T不作功，因而機(jī)械能守恒，這是以小車為參考系作的結(jié)論。這里有兩個(gè)錯(cuò)誤:

一是小車是非慣性系(有加速度)，機(jī)械能守恒定律是不成立！二是機(jī)械能守恒條件中的功，應(yīng)該在慣性系中計(jì)算。在慣性系(地面)上看,張力T要作功,機(jī)械能是不守恒的。

錯(cuò)!錯(cuò)在那里？oLmMTmg

正確的解法是取小車、小球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，一對(duì)內(nèi)力(張力T)作功之和為零，只有保守內(nèi)力—重力作功，系統(tǒng)(M+m)機(jī)械能守恒。第六十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四63(1)

系統(tǒng)動(dòng)量守恒嗎？豎直方向的動(dòng)量顯然不守恒，只有在水平方向(根本不受外力)動(dòng)量守恒

0=MV-m(2)

解式(1)、(2)得小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率為(M+m)：oLmMTmg第六十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四64

例題2-9半徑為R、質(zhì)量為M且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一質(zhì)量為m的小物體，當(dāng)小物體從頂端無(wú)初速地下滑，在如圖所示的角位置處，開(kāi)始脫離球面，試求：

(1)角滿足的關(guān)系式；

(2)分別討論m/M<<1和m/M>>1時(shí)cos的取值。

解(1)小物體脫離球面前相對(duì)球面作圓運(yùn)動(dòng)，沿法向有

脫離球面的條件是：N=0。(1)RMmmVxrmgN第六十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四65

取地面為慣性系,以m、M和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒,于是有

取地面為慣性系,以m、M為系統(tǒng),只有水平方向動(dòng)量守恒:(2)(3)

應(yīng)當(dāng)注意：式(2)、(3)中的