第五章誤差理論的基本知識(shí)

第五章誤差理論的基本知識(shí)2008年12月2日天津城市建設(shè)學(xué)院土木系測(cè)量教研室1第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四第5章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)

§5.1概述§5.2測(cè)量誤差的種類§5.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)§5.4衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)§5.5誤差傳播定律§5.6同精度直接觀測(cè)平差

第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

◆測(cè)量與觀測(cè)值

◆觀測(cè)與觀測(cè)值的分類

●

觀測(cè)條件（儀器精度、觀測(cè)者水平、外界環(huán)境素）

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等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)

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直接觀測(cè)和間接觀測(cè)

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獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)§5.1測(cè)量誤差概述第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四§5.1測(cè)量誤差概述

◆測(cè)量誤差及其來(lái)源●測(cè)量誤差的來(lái)源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等

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測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式

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測(cè)量誤差（真誤差=觀測(cè)值-真值）（觀測(cè)值與真值之差）（觀測(cè)值與觀測(cè)值之差）第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四例：誤差處理方法

鋼尺尺長(zhǎng)誤差ld計(jì)算改正鋼尺溫度誤差lt計(jì)算改正水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)操作時(shí)抵消(前后視等距)經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C操作時(shí)抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

—誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按一定規(guī)律性變化，具有累積性?！裣到y(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校)測(cè)量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差§5.2測(cè)量誤差的種類1.粗差(錯(cuò)誤)—超限的誤差第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同，表面看無(wú)規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差。

●

準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異）

●

最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

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測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定精度）4.幾個(gè)概念:

●

精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度）第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四舉例:

在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了358個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到358個(gè)三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對(duì)三角形閉合差i

進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?！?.3偶然誤差的特性第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四◆可以歸納出偶然誤差的四個(gè)特性：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實(shí)用意義。

3.偶然誤差的特性(1)在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值(有界性)；(2)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多(密集性)；(3)絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等(對(duì)稱性)(4)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零(抵償性)：第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

由正態(tài)分布密度函數(shù)式中、為常數(shù)；

=2.72828…x=y正態(tài)分布曲線(a=0)令：

，上式為：§5.4衡量精度的指標(biāo)第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)意義表示的離散程度x=y較小較大稱為標(biāo)準(zhǔn)差：上式中，稱為方差：第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四測(cè)量工作中，用中誤差作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。中誤差:觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差表示偶然誤差的離散情形上式中，偶然誤差為觀測(cè)值與真值X之差：觀測(cè)次數(shù)n有限時(shí)，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：i=i-

X第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四P123表5-2第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

m1小于m2,說(shuō)明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測(cè)值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測(cè)值的中誤差。第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.容許誤差(極限誤差)根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為

限差|容|=3|m|或|容|=2|m|第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

3.相對(duì)誤差(相對(duì)中誤差)

——誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。

用于表示距離的精度。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。

K2<K1，所以距離S2精度較高。例2：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。計(jì)算S1、S2的相對(duì)誤差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四一.一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個(gè)很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(duì)(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測(cè)值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差(a)§5.5誤差傳播定律第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)對(duì)(d)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對(duì)K個(gè)(e)式取總和：(f)第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項(xiàng)極小于前面各項(xiàng)，可忽略不計(jì)，則：<<前面各項(xiàng)即(h)第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四(h)考慮，代入上式，得中誤差關(guān)系式：上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

通過(guò)以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；2.對(duì)函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度=168.5mm0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。

解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)平均值的中誤差式

由于等精度觀測(cè)時(shí)，，代入上式：得

由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了

倍。

●對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四4.和或差函數(shù)的中誤差函數(shù)式：全微分：中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：例：測(cè)定A、B間的高差，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四誤差傳播定律的應(yīng)用

用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差m15。例1：要求三角形最大閉合差m15，問(wèn)用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？

?=(1+2+3)-180解：由題意：2m=15,則m=7.5每個(gè)角的測(cè)角中誤差：由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。解:(1)測(cè)量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

▓觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值)

▓用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算觀測(cè)值的中誤差(即:白塞爾公式)§5.6同（等）精度直接觀測(cè)平差第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四

一.觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==1+2+···+nnn上式等號(hào)兩邊分別相加得和：L=第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)：得兩邊除以n：由當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均

值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四觀測(cè)值改正數(shù)特點(diǎn)二.觀測(cè)值的改正數(shù)v：以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特點(diǎn)1——改正數(shù)總和為零：對(duì)上式取和：以代入：通常用于計(jì)算檢核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特點(diǎn)2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四精度評(píng)定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度評(píng)定——用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等對(duì)上式取n項(xiàng)的平方和由上兩式得其中:第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四證明兩式根號(hào)內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差：例：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測(cè)值VVV備注1764249-4162764240+5253764242+394764246-115764248-39平均764245[V]=0[VV]=60764245±1.74第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期四距離