第四章矩陣分析及矩陣函數(shù)

第四章矩陣分析及矩陣函數(shù)第一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.1矩陣分析定義4.1.1令是的矩陣序列，假如存在一個的矩陣A，，即當時，與無限制的靠近,則稱序列收斂到A,記為:4.1.1基本概念第二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五矩陣序列收斂個一般序列收斂每一個矩陣表示成,并且.第三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.1.1矩陣序列收斂于矩陣A的充分必要條件是對所有成立。第四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五關于矩陣序列極限的性質(zhì)，考慮其中二個。

定理4.1.2令和是和矩陣，并且分別收斂到A和B,那么：第五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五推論1

令是收斂于A的矩陣序列，分別是矩陣，那么第六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.1.1.2矩陣級數(shù)假如其收斂到,記

則級數(shù),收斂到.定義4.1.2令是矩陣序列，構(gòu)造部分和序列第七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五收斂，當且僅當矩陣序列

收斂，即當且僅當任給,存在，任意正整數(shù)只要都有定理4.1.3(Cauchy收斂準則)第八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.1.4若數(shù)項級數(shù)收斂，則矩陣級數(shù)收斂。

特別地，對于方陣，如果級數(shù)收斂，則矩陣冪級數(shù)收斂.第九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五例4.1.2定理4.1.5

設冪級數(shù)的收斂半徑是，則當方陣的范數(shù)時，矩陣冪級數(shù)收斂。第十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.1.2矩陣的微分和積分

4.1.2.1函數(shù)矩陣及其極限定義4.1.3如果矩陣的每一個元素都是變量的函數(shù)，則第十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定義4.1.4如果對任意，都有，則稱矩陣在時極限為。

第十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五性質(zhì)1如果,以下性質(zhì)成立：（1）

若都是矩陣，則第十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五（2）

若分別是和矩陣，則（3）

設是常數(shù)，則

第十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定義4.1.5

設函數(shù)矩陣中所有元素在處連續(xù)，則稱在處連續(xù)，如果所有元素在內(nèi)每一點連續(xù),稱在內(nèi)連續(xù)，如果在內(nèi)連續(xù)，并且所有的在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，則稱在上連續(xù).第十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.1.2.2函數(shù)矩陣的微分

定義4.1.6設函數(shù)矩陣中所有元素都在點或某區(qū)間內(nèi)可微，則稱矩陣在點或某區(qū)間內(nèi)是可微的,若可微，其導數(shù)如下：第十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五同樣，的高階導數(shù)可以定義為類似于數(shù)量函數(shù)的導數(shù)記法，可以將上式記成第十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五性質(zhì)2設函數(shù)矩陣都可微(1)若為常數(shù)，則

（2）若與是同型矩陣，則

第十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五(3)若是矩陣，是矩陣，則特別的，如果或是常數(shù)矩陣或,就有第十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.1.3函數(shù)矩陣的積分

定義4.1.7如果矩陣的每個元素都是區(qū)間上的可積函數(shù)，則定義在上的積分為第二十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五性質(zhì)3若是上的可積函數(shù)矩陣，則

都是矩陣

；分別是和矩陣，并且與無關.

第二十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五分別是和矩陣，并且與無關。

(4)當對所有在上連續(xù)時，就稱在上連續(xù),且有

當都在上連續(xù)時，則第二十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.1.2.4數(shù)量函數(shù)關于矩陣的微分在場論中，對數(shù)量函數(shù),定義梯度如

下：可以理解為函數(shù)對向量的導數(shù)。

第二十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定義4.1.8設對有偏導數(shù)，定義對向量導數(shù)為對向量的導數(shù)為第二十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五一般地，假如對每個都有偏導數(shù)，則定義數(shù)量函數(shù)對矩陣的導數(shù)為

例4.1.5第二十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.2.1矩陣函數(shù)的定義及性質(zhì)4.2矩陣函數(shù)定義4.2.1設一元函數(shù)能夠展開為的冪函數(shù)

其中表示該冪級數(shù)的收斂半徑.第二十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五當n階矩陣滿足時，把收斂的矩陣冪級數(shù)的和稱為矩陣函數(shù)，記為,即第二十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五如下函數(shù):在整個復平面上都是收斂的.

第二十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五于是矩陣冪級數(shù)

都是絕對收斂的。

第二十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五因此它們有和并且有分別稱以上三式是矩陣的指數(shù)函數(shù)，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)。第三十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.2.1

對于方陣的函數(shù)容易驗證以下性質(zhì)：

第三十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五第三十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五值得注意的是，在微積分中，我們對指數(shù)函數(shù)有如下性質(zhì),但矩陣函數(shù)的第（3）條性質(zhì)中指出，這樣一條性質(zhì)必須有條件保證。否則，一般不成立。

第三十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五例如，令易證互不相等第三十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.2.2矩陣函數(shù)的計算

4.2.2.1待定系數(shù)法用待定系數(shù)法，計算矩陣函數(shù)是基于每個矩陣存在最小多項式的前提下進行的，假設A∈的最小多項式是

（4.2.6）第三十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五多項式可以寫成，其中的次數(shù)低于的次數(shù)。由于有，所以。第三十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五另一方面，我們可以將A的最小多項式(4.2.6)寫成

(4.2.7)其中是A的互異的特征值第三十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定義4.2.2在A的譜上確定:設A的最小多項式是，如(4.2.6)所示，如果復函數(shù)在A的譜上有下述確定的值。（4.2.8）稱在A的譜上確定，并稱(4.2.8)中的r個數(shù)為在A的譜上的值。第三十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五推論1

每個復多項式在任何的譜上確定。

第三十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五例4.2.1例4.2.2例4.2.3例4.2.4定理4.2.2設和是兩個復多項式，兩者的次數(shù)和系數(shù)均可以不同,，則的充分必要條件是和在A的譜上的值完全相同。

第四十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.2.2.2利用Jordan標準形計算矩陣函數(shù)

實際過程中，可以將無窮級數(shù)求和的問題化為多項式求和問題。第四十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五假設矩陣A的最小多項式是

則有第四十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五當時，可降為低于的冪次，矩陣多項式問題冪級數(shù)定義的矩陣函數(shù)問題計算的關鍵：計算。第四十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五下面分A是不同情況進行討論

(1)A是對角矩陣設則第四十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五(2)A是對角形分塊矩陣

其中為A的子方陣

第四十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五由于分塊矩陣的乘積與矩陣乘積類似故對于上述分塊矩陣A，有第四十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五(3)A為一般矩陣時的計算方法

存在方陣使得，因此

。若第四十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五則其中是的重特征根

第四十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五則第四十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五且矩陣A的函數(shù)可化為A的Jordan塊的函數(shù)問題；的函數(shù)；計算實質(zhì)上是計算的Jordan塊下面來具體計算Jordan塊的函數(shù)。第五十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五設則于是（4.2.9）第五十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五首先觀察

第五十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五第五十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五為了計算，將展開成Taylor級數(shù)

（4.2.10）第五十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五由代入(4.2.10)得到

（4.2.11）當時，.于是(4.2.10)可以寫成

（4.2.12）第五十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五將(4.2.12)寫成矩陣形式

（4.2.12）第五十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五例4.2.5例4.2.6第五十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.3.1線性常系數(shù)齊次微分方程的初值問題

關于n個獨立的函數(shù)的線性常系數(shù)微分方程組可以表示成下面(4.3.1)形式。4.3線性常系數(shù)微分方程第五十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五（4.3.1）系數(shù)是常數(shù)，(4.3.1)滿足初值條件

第五十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五利用矩陣乘法，把(4.3.1)寫成以下形式

（4.3.2）第六十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五其中稱(4.3.2)是一階線性常系數(shù)微分方程組的初值問題。第六十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.3.1.1一階線性常系數(shù)齊次微分方程的初值問題

在(4.3.2)中，假設已知的向量，即(4.3.2)變?yōu)椋?.3.3）稱(4.3.3)是一階線性常系數(shù)齊次微分方程組初值問題.

第六十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五下面來考慮(4.3.3)的解首先，將變量在處展成冪級數(shù)形式

：其中第六十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五由方程(4.3.3)得到（4.3.4）從而有第六十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五下面我們來證明(4.3.4)確實是(4.3.3)的解當時,式(4.3.4)是(4.3.3)的解。第六十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五（1）(4.3.3)的解是，并且這個解唯一；（2）解的秩與的取值無關。定理4.3.1在初值問題(4.3.3)中：第六十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.3.1.2齊次方程解的討論在工程上要求，對任意的及初值初值問題(4.3.5)的解具有性質(zhì)第六十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.3.2對任意的和，初值問題

的解滿足的充分必要條件是矩陣的特征值都有負的實部。

第六十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定義4.3.1所有特征值都有負實部的矩陣稱為穩(wěn)定矩陣

。例4.3.2

推論1對任意的和，初值問題(4.3.5)的解滿足的充要條件是A是穩(wěn)定矩陣。

第六十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.3.2一階線性常系數(shù)非齊次微分方程初值問題

考慮，即一階常系數(shù)非齊次微分方程(4.3.2)的解。

第七十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五常系數(shù)線性方程

解的問題，假設是它的一個特解，是它的一般解，那么有定理保證是它對應的齊次方程的解，這個解的特性在初值問題(4.3.2)中同樣適用。第七十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五易驗證即是微分方程的一般解

令（4.3.8）第七十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五為確定特解，用常向量變易法，設，其中是待定向量，將(4.3.8)代入方程(4.3.2)，得到

第七十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五于是有化簡后，得第七十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五(4.3.2)的一般解是

（4.3.9）(4.3.2)的初值點變?yōu)闀r，即

（4.3.10）第七十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五(4.3.10)的解為

例4.3.3第七十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.3.3n階常系數(shù)微分方程的解

設為常數(shù)，為已知函數(shù)，稱

為n階常系數(shù)微分方程，當時稱為非齊次的，否則稱為齊次的.第七十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五下面考慮n階常系數(shù)線性齊次方程的初值問題

（4.3.11）第七十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五令第七十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五從而有第八十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五令第八十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五初值問題(4.3.11)可以寫成

（4.3.12）第八十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五其中系數(shù)矩陣A稱為(4.3.11)方程的友矩陣。

第八十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五由于初值問題(4.3.11)的解是(4.3.12)解的第一個分量，從而(4.3.11)的解是

第八十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五對于n階常系數(shù)線性非齊次方程的初值問題

(4.3.13)第八十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五可以進行類似討論，得到(4.3.13)的解是方程組的解的第一個分量.第八十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五其中第八十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五第八十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五(4.3.13)初值問題的解是

因此，求初值問題解的關鍵在于計算矩陣函數(shù)。第八十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.3.4微分方程實例

工程系統(tǒng)中得動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是系統(tǒng)的最小一組變量（稱為狀態(tài)變量）.就是描述狀態(tài)變量的函數(shù),如果知道了在時變量的初值,并且還知道對r個輸入（或控制）變量,則在時系統(tǒng)的狀態(tài)就完全確定，系統(tǒng)的輸出變量可以是某一個狀態(tài)變量，它們是描述人們希望從系統(tǒng)中獲得的響應。

第九十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五以n個變量為軸組成的空間叫n維狀態(tài)空間.設稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量設系統(tǒng)的狀態(tài)方程是狀態(tài)向量的一階微分方程第九十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五對線性定常系統(tǒng)其狀態(tài)方程為

或都是常數(shù)矩陣，其中

（4.3.15）第九十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五例4.3.4k圖4.3.1第九十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五圖4.3.2第九十四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.4.1.Wronski行列式與線性無關解

4.1.1.1函數(shù)元矩陣的連續(xù)

4.4變系數(shù)微分方程組設n維實向量其中如果在帶形區(qū)域

上連續(xù)則稱在D上連續(xù).

（4.4.1）第九十五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.4.1考慮微分方程組

(4.4.2)其中,,均為n維實列向量，和為已知.

第九十六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五如果在(4.4.1)的帶形區(qū)域D上連續(xù)，且存在一個常數(shù)L，使式中‖·‖是上的任意范數(shù)，則對任給的和初值問題(4.4.2)存在連續(xù)可微的解，且解唯一.

第九十七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五推論1設分別為階，階和階實矩陣它們都在上連續(xù)，則對于任意給定的，,微分方程組的初值問題

(4.4.4)存在連續(xù)可微解，且解唯一。

第九十八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五推論2設n階實方陣在區(qū)間上連續(xù)，則對任意指定的初值問題

（4.4.5）的唯一解是.第九十九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.4.1.2wronski行列式與線性無關解定義4.4.1.設是定義在區(qū)間上的n維向量函數(shù),其中第一百頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五如果存在不全為0的r個常數(shù)使等式

成立，則稱向量函數(shù)線性相關，否則稱線性無關.第一百零一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定義4.4.2設有n個定義在區(qū)間上的n維向量函數(shù)

(4.4.7)由這n個向量函數(shù)構(gòu)成的行列式記為.第一百零二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五稱為這n個向量函數(shù)的Wronski行列式

第一百零三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.4.2

若n個n維向量函數(shù)在區(qū)間上線性相關，則它們的wronski行列式第一百零四頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.4.2齊次變系數(shù)線性微分方程組的解

4.4.2.1齊次變系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)

考慮區(qū)間上齊次變系數(shù)線性微分方程組

的解，其中是上的連續(xù)n階實方陣.

(4.4.10)第一百零五頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五其中每一個滿足方程

于是尋找S的基，就成為解（4.4.10）的關鍵。(4.4.10)的解空間為第一百零六頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.4.3設n階實方陣在上連續(xù)，如果(4.4.10)的n個解在上線性無關，則它們的Wronski行列式在上恒不為0，即關鍵

第一百零七頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五推論3設是在上連續(xù)的n階實方陣，是方程(4.4.10)在上的n個解，如果這n個解線性相關，則其行列式恒等于0，如果這n個解線性無關，則其行列式恒不為0。

第一百零八頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五推論4

在推論3的條件下，若對某個使得則這n個解線性無關.第一百零九頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五4.4.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其性質(zhì)

將時的初始向量分別記為時，該問題的解記為和,則可知初始向量為，解為第一百一十頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五另一方面，是n維向量，可以取n個線性無關初始向量為是的一個標準正交基。第一百一十一頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念設：是區(qū)間上n階連續(xù)實方陣，

是n維列向量。第一百一十二頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定義4.4.3以初值問題的解作為第j列所組成的n階方陣

稱為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，或?qū)到y(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。（4.4.15）（4.4.16）第一百一十三頁，共一百二十五頁，編輯于2023年，星期五定理4.4.4

初值問題

的解可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣唯一表示為

（4.4.17）第一百一十四頁，共一百二十五