計算方法非線性方程

計算方法非線性方程1第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

方程的根逐步搜索法區(qū)間二分法§2.1初始近似值的搜索2第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五對于一元非線性方程f(x)=0,若存在數(shù)x*,使得一、方程的根則稱x*是方程的解或根,也稱x*是函數(shù)f(x)的零點或根.單根與重根若函數(shù)f(x)能分解為：則稱x*是方程f(x)=0的m重根，m=1時稱為單根.3第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五重根的判斷方法設(shè)函數(shù)f(x)有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，x*是f(x)=0的m重根的充要條件是如：驗證x=0是方程f(x)=e2x-1-2x-2x2=0的三重根.解：f(0)=0.4第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五有根區(qū)間：若方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)至少有一根，則稱[a,b]為有根區(qū)間.有根區(qū)間的判斷：定理2-1：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0,則f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個根.定理2-2：設(shè)f(x)在[a,b]上單調(diào)連續(xù)，且f(a)f(b)<0,則f(x)=0在(a,b)內(nèi)有且只有一個根.5第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五求方程根的近似值，需要解決的問題：⑴根的存在性.要判斷方程有沒有根，有幾個；⑵根的隔離.找出有根區(qū)間，使得在較小的區(qū)間內(nèi)方程只有一個根，以得到根的近似值.⑶根的精確化.利用合適的數(shù)值計算方法，逐步把根精確化，直至滿足精度要求.6第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五二、逐步搜索法一般步驟：取合適的步長從x0=a出發(fā)，按步長逐步向右跨進行搜索，若發(fā)現(xiàn)f(xk)與f(a)異號，則確定一個縮小的有根區(qū)間其寬度等于步長h.特別地，若f(xk)=0,則xk就是所求的根.假設(shè)f(x)在有根區(qū)間[a,b]單值連續(xù)，且f(a)<0.7第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解

由于f(x)是連續(xù)函數(shù)，f(0)=-1<0，f(2)>0，故方程至少有一正實根.x00.51.01.5f(x)―――+所以f(x)在區(qū)間(1,1.5)內(nèi)單調(diào)連續(xù)，因而在(1,1.5)內(nèi)有且僅有一個實根，故可取[1,1.5]上任一點做初始近似根.可見在(1,1.5)內(nèi)有根.又例對方程f(x)=x3-x-1=0搜索有根區(qū)間.設(shè)從x=0出發(fā)，取步長h=0.5，逐步右跨搜索，得8第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例求方程的有根區(qū)間.解

函數(shù)f(x)=x3-1.8x2+0.15x+0.65連續(xù)，且f(-1)<0，f(2)>0，故方程在(-1,2)內(nèi)至少有一個根.x-1-0.250.51.252f(x)-2.30.4840.55-0.02191.75在(-1,-0.25),(0.5,1.25),(1.25,2)各區(qū)間內(nèi)有且只有一個根.從出發(fā),取步長

,向右搜索,得9第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

三、區(qū)間二分法原理：函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個實根x*.基本思想(1)把有根區(qū)間二分為兩個小區(qū)間，然后判斷根在哪個小區(qū)間，舍去無根的小區(qū)間;(2)再把有根的小區(qū)間一分為二,再判斷根屬于哪個更小的區(qū)間,如此反復(fù),直到求出滿足精度要求的近似根.具體步驟如下：10第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

這時有三種情況：x*x*令取中點將其二分，若則新的有根區(qū)間為(a1

,b1

)，長度是的一半。若則令否則，則令若11第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五第2次二分，取[a1,b1]中點若f(a1)f(x1)<0，則x*∈(a1,x1)，令a2=a1,b2=x1；否則令a2=x1,b2=b1.新的有根區(qū)間為(a2,b2)。12第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五區(qū)間的中點形成一個序列重復(fù)上述步驟,反復(fù)二分下去,可能會在某一步得到方程根的精確值，否則,便得到一組不斷縮小的有根區(qū)間：的長度為從而顯然有13第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五實際計算中，對于給定的根的允許誤差只要就可確定得到滿足精度要求的近似根,同時也得到所需二分次數(shù)k.14第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例1用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根的近似值，并指出其誤差。解這里在內(nèi)連續(xù)，所以是的有根區(qū)間。用二分法計算結(jié)果如下表：+

+++

2.10156252.1093752.093752.06252.1252.252.52.1093752.1252.1252.1252.252.532.093752.093752.06252222654321015第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五若取其誤差為（可求得根的精確值為）。例2用二分法求方程的非零實根的近似值,使其誤差不超過。由用二分法計算結(jié)果如下表：解如圖，可看出故方程只有一個非零實根與橫坐標(biāo)介于與之間，除原點外只有一個交點，16第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五0.005363400.1560140.04042080.00496228

0.07517950.218361

1.92968751.9218751.906251.93751.8751.751.93751.93751.93752221.9218751.906251.8751.8751.751.5543210所以可取17第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例3證明非線性方程f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]內(nèi)有一根.用二分法求誤差不大于的根要二分多少次?解：f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(0)>0,f(1)<0所以，f(x)在[0,1]內(nèi)有且只有一個根.所以要二分14次.18第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五二分法的計算步驟：19第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五二分法算法簡單，編制程序容易，缺點是不能求偶數(shù)重根和復(fù)數(shù)根，故而一般常用此方法求根的初始近似值，再用其他的求根方法精確化。注意：20第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五迭代原理迭代的收斂性迭代的收斂速度迭代的加速§2.2迭代法21第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五1、一般形式（具體做法）：依次得到一個序列一、迭代原理迭代法是一種逐次逼近的方法，用某種固定格式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確，最后得到滿足精度要求的結(jié)果.

取初始近似根x0

,代入右端，方程f(x)=0化為等價形式的方程，連續(xù).構(gòu)造迭代公式進行迭代計算22第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五這種求方程近似根的方法稱為簡單迭代法（逐次迭代法）.稱為迭代公式或迭代過程稱為根的初始近似值稱為根的k次近似值；稱為迭代函數(shù)；稱為迭代序列其中：如果這個序列有極限，則稱迭代算法是收斂的，否則發(fā)散.即序列{xk}的極限x*就是方程f(x)=0的根.23第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五若迭代法收斂，可經(jīng)過有限次計算得到滿足精度要求的近似根；若迭代法發(fā)散，發(fā)散的迭代法沒有任何使用價值。注意：24第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例4用迭代法求方程在內(nèi)的根。解將方程轉(zhuǎn)化為等價方程得相應(yīng)的迭代公式若取初值計算結(jié)果如下表從表中可以看出，迭代序列是收斂的。12345789101.894536471.893521141.893332331.893297221.893290691.893289471.893289251.893289211.893289201.89328920……625第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五注意：很明顯，將方程改寫成等價方程的形式是不唯一的，例如方程x3-2x-3=0也可改寫成此時相應(yīng)的迭代公式若仍取初值則有可見,所得迭代序列趨于無窮大,即發(fā)散.26第二十六頁，共三十頁，編輯于202