天津市大港區(qū)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)-數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第8頁(yè).試卷滿分120分.考試時(shí)間100分鐘.考試結(jié)束后，將答題卡和答題紙一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共45分）注意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、考生號(hào)、考點(diǎn)校、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)用藍(lán)、黑色墨水的鋼筆（簽字筆）或圓珠筆填在“答題卡”上；用2B鉛筆將考生號(hào)所對(duì)應(yīng)的填涂信息點(diǎn)填好.2．答案答在試卷上無(wú)效.答題時(shí)，請(qǐng)注意題號(hào)順序.每小題選出答案后，用2B鉛筆把“答題卡”上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)的信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)的信息點(diǎn).一．選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即可得出.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.2.下列情況適合用全面調(diào)查的是（）．A.了解一批玉米種子的發(fā)芽率B.了解某城市居民的食品消費(fèi)結(jié)構(gòu)C.調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積D.調(diào)查一條河的水質(zhì)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全面查得抽樣調(diào)查的定義逐一判斷即可【詳解】A．了解一批玉米種子的發(fā)芽率適合抽樣調(diào)查，故不符合題意；B．了解某城市居民的食品消費(fèi)結(jié)構(gòu)適合抽樣調(diào)查，故不符合題意；C．調(diào)查一個(gè)縣各村的糧食播種面積適合全面調(diào)查，故符合題意；D．調(diào)查一條河的水質(zhì)適合抽樣調(diào)查，故不符合題意；故選：C．3.下列命題正確是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.梯形確定一個(gè)平面C.兩條直線確定一個(gè)平面 D.四邊形確定一個(gè)平面【答案】B【解析】【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面，梯形上底和下底平行，能確定一個(gè)平面，兩條直線異面時(shí)不能確定一個(gè)平面，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，得到答案.【詳解】當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；梯形上底和下底平行，能確定一個(gè)平面，B正確；兩條直線異面時(shí)不能確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；空間四邊形不能確定一個(gè)平面，D錯(cuò)誤.故選：B.4.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題可根據(jù)兩角和的余弦公式得出結(jié)果.【詳解】，故選：C.5.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.4 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得?故選：B.6.在中，，，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用余弦定理直接解出即可.【詳解】由余弦定理：.故選：B.7.已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，如果P（AB）＝0，那么P（AB）等于（）A.0.8 B.0.5 C.0.3 D.0.2【答案】A【解析】【分析】直接利用概率的計(jì)算公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：A.8.棱長(zhǎng)為3的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，根據(jù)球的直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，求得球的半徑，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】由題意，棱長(zhǎng)為3正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)外接球的半徑為，根據(jù)組合體的性質(zhì)，可得，即，所以球的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查球的體積的計(jì)算，以及組合體的性質(zhì)，其中解答中熟記組合體的性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.9.某校組織全體學(xué)生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.直方圖中x的值為0.004B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間[60，70）的學(xué)生數(shù)為10C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)不低于80分D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分【答案】C【解析】【分析】由概率總和為1可得，由百分位數(shù)定義計(jì)算80%分位數(shù)，由頻率分布直方圖的頻率計(jì)算人數(shù)，均值判斷各選項(xiàng)．【詳解】由得，A錯(cuò)；成績(jī)?cè)趨^(qū)間[60，70）的頻率為，人數(shù)為，B錯(cuò)；平均成績(jī)?yōu)?，C正確；低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為分，則，解得，D錯(cuò)．故選：C．第Ⅱ卷（非選擇題共75分）注意事項(xiàng)：答案答在試卷上無(wú)效.用藍(lán)、黑色墨水的鋼筆（簽字筆）或圓珠筆直接在第Ⅱ卷“答題紙”上做答.二．填空題（每題5分，共30分）10.已知，則z＝________．【答案】．【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算．【詳解】由已知．故答案為：．11.已知向量，，且，則x=______．【答案】-8【解析】【分析】利用向量垂直的充要條件和平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解.【詳解】因?yàn)?，所以故答案為?8.12.某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班．其中甲班有40人，乙班50人．現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是_____分．【答案】85【解析】【詳解】試題分析：甲班有40人，乙班50人．現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是=85分．考點(diǎn)：加權(quán)平均數(shù)點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，這種問題注意要每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以它的權(quán)重，得到所有數(shù)據(jù)之和，再除以所有數(shù)的個(gè)數(shù)．13.已知甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊中靶的概率分別為0.7和0.8，且甲、乙兩人射擊的結(jié)果互不影響.若甲、乙兩人各射擊一次，則兩人都中靶的概率為_______.【答案】【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式可知，兩人都中靶的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.14.在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝，則λ＝______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，用向量與表示出即可.【詳解】△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，＝2，＝，如圖所示，∴＝＝+①，＝，∴＝②；①+②得，3＝+2，∴＝+；∴λ＝．故答案為：．15.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E、F分別為棱AD、BC的中點(diǎn)，則平面與底面ABCD所成的二面角的余弦值為_________．【答案】##【解析】【分析】由題可得即為平面與底面ABCD所成的二面角的平面角，即可求出.【詳解】因?yàn)镋、F分別為棱AD、BC的中點(diǎn)，所以，，所以即為平面與底面ABCD所成的二面角的平面角，則在中，，所以平面與底面ABCD所成二面角的余弦值為.故答案為：.三．解答題（共5道大題，共45分）16.已知，．（1）求及的值；（2）求的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件由兩角和的正切公式以及二倍角公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，即，解得：或因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)椋?，解得：，，因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，，所以，所?17.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知，，．（1）求的值；（2）求面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，利用正弦定理求得結(jié)果；（2）利用余弦定理構(gòu)造方程求得，由三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）且，，，由正弦定理得：.（2）由余弦定理得：，解得：或（舍），.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形的問題，考查學(xué)生對(duì)于正弦定理、余弦定理和三角形面積公式掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.18.某市為了解社區(qū)新冠疫菌接種的開展情況，擬采用分層抽樣的方法從三個(gè)行政區(qū)抽出6個(gè)社區(qū)進(jìn)行調(diào)查．已知三個(gè)行政區(qū)中分別有個(gè)社區(qū)．（1）求從三個(gè)行政區(qū)中分別抽取的社區(qū)個(gè)數(shù)；（2）若從抽得的6個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行調(diào)查．①試列出所有可能的抽取結(jié)果；②設(shè)事件M為“抽取的2個(gè)社區(qū)中至少有一個(gè)來(lái)自A行政區(qū)”，求事件M發(fā)生的概率．【答案】（1）從三個(gè)行政區(qū)中應(yīng)分別抽取的社區(qū)個(gè)數(shù)為；（2）①答案見解析；②．【解析】【分析】（1）求出抽樣比，即可求出從三個(gè)行政區(qū)中分別抽取的社區(qū)個(gè)數(shù)；（2）①設(shè)為在A行政區(qū)中抽得的2個(gè)社區(qū)，為在B行政區(qū)中抽得的3個(gè)社區(qū)，為在C行政區(qū)中抽得的社區(qū)，即可用有序數(shù)對(duì)表示出所有結(jié)果；②根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】（1）社區(qū)總數(shù)為，樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)比為所以從三個(gè)行政區(qū)中應(yīng)分別抽取的社區(qū)個(gè)數(shù)為（2）①設(shè)為在A行政區(qū)中抽得的2個(gè)社區(qū)，為在B行政區(qū)中抽得的3個(gè)社區(qū)，為在C行政區(qū)中抽得的社區(qū)，在這6個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，全部可能的結(jié)果有，共有15種．②設(shè)事件“抽取的2個(gè)社區(qū)至少有1個(gè)來(lái)自A行政區(qū)”為事件M，則事件M所包含的所有可能的結(jié)果有：，共有9種．所以這2個(gè)社區(qū)中至少有1個(gè)來(lái)自A行政區(qū)的概率為19.已知平面向量，，，，且與的夾角為．（1）求；（2）求；（3）若與垂直，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由數(shù)量積定義可直接求得結(jié)果；（2）結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）根據(jù)垂直關(guān)系得到，由數(shù)量積的運(yùn)算律構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1）；（2），；（3），，即，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積、向量模長(zhǎng)的求解、根據(jù)向量垂直關(guān)系求解參數(shù)值的問題，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題.20.如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，、分別是棱、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：．（3）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，，求：①異面直線所成角的余弦；②直線與平面所成角的正弦．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）①；②【解析】分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）通過(guò)和得出平面，即可得出，進(jìn)而證得；（3）①通過(guò)題意可得∠PCB為異面直線AD，PC所成的角，求解即可；②通過(guò)證明CD平面ABCD可得∠CPD為直線CP與平面PAD所成的角，即可求出.【小問1詳解】證明：由、分別是棱、的中點(diǎn)，可得：，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】∵底面為正方形，，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以，又由（1）得，所以；【小問3詳解】