第五章三角函數(shù)52概念課時(shí)2同角基本關(guān)系

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期第五章 三角函數(shù)5.2

三角函數(shù)的概念課時(shí)2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用.（邏輯推理）會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）自主預(yù)習(xí)·悟新知合作探究·提素養(yǎng)隨堂檢測(cè)·精評(píng)價(jià)<>m?/<>m1.計(jì)算?

的正、余弦函數(shù)的平方，然后將其相加，你能得到什么結(jié)果？?/<>m

m><

?

m<>/

?m></

m><

?m<>/?

?

?

?

?

?<>m

m><

m></[答案]

因?yàn)閟in

?

=

?

，

cos

?

=

?

，所以sin?

?

=

?

,

cos?

?

=

?

,所以sin?

?

+

cos?

?=

1

.m<>2.上一問(wèn)的結(jié)論能拓展到任意角嗎？[答案]

可以，

sin???

+

cos???

=

1

，

??

為任意角.<>m

m></

m><

m></3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪兩種？[答案] （1）平方關(guān)系：

sin???

+cos???

=

1

.m><

/<>m/<>m><m????

?<>m

m></（2）商數(shù)關(guān)系：

????

=

tan??

，其中??

≠

??π

+?

??

∈

??

.4.兩種同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式適合任意角嗎？?/<>m[答案]

平方關(guān)系適合任意角,當(dāng)??

=

??π

+?

??

∈

??

時(shí)，商數(shù)關(guān)系不適合.m<>5.對(duì)任意的角??

，sin?2??+cos?2??=1

是否成立？m<>

m<>/

<>m

/<>m[答案]

成立.1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）

對(duì)???

∈

??

，

sin?4??

+

cos?4??

=

1

.(

√

)（2）

對(duì)???∈??

，tan

??=???

?.()???

?

×（3）

若cos??

=

0

，則sin??

=

1

.(

×

)2.已知??

是第四象限角，cos??=??

?????，則sin??

=

<>m?

/<>m

.[解析]

由條件知sin??

=

? 1

?

cos???

=

? 1???

?????=

?

?

.?

?3.

sin?

?

+

cos?

?

=

.1????4.若cos??

=

，且??為第四象限角，則tan??

=

<>m?

/><m

.?[解析]

因?yàn)??

為第四象限角，且cos??

=

?

，所以sin??

=

? 1

?

cos???

=

? 1???

?

=??

，所以tan??=????

=??

.?

????

?探究

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系設(shè)角<>m??/<>m

是一個(gè)任意象限角，點(diǎn)<>m??

??,??

/<>m

為角<>m??/<>m

終邊上任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離?

??

?

?為<>m?? ??

=

?? +?? >

0

m<>/

，那么sinm><

??

=

?m></

，

cos??m><

=

?m></

，

tanm><

??

=

?m<>/

.請(qǐng)根據(jù)三角函數(shù)的定義回答：?jiǎn)栴}1：.求下列各式的值.（1）

sin?90°

+

cos?90°

；（2）

sin?30°

+

cos?30°

；m><

/<>m

><m

/<>m???

??°<>m??????°/><m???

??°

???

???°（3）

<>m /<>m

；（4）

.[答案]

取角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入定義可得：（1）

1m>< m></

；（2）

1m>< m></

；（3）

m><

3/<>m

；（4）

<>m?1/<>m

.問(wèn)題2：.你能發(fā)現(xiàn)哪些三角函數(shù)有平方關(guān)系？哪些三角函數(shù)與其他三角函數(shù)有商數(shù)關(guān)系？[答案]

平方關(guān)系：

sin???

+

cos???

=m><?????=

1/<>m

.?????商數(shù)關(guān)系：????

=?=><m

???

?=

tan??/<>m

，

><m?????????+??????=

= =

cos??m></

.問(wèn)題3：.同角三角函數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式，在什么情況下成立？[答案]

對(duì)于平方關(guān)系只需是同角即可；對(duì)于商的關(guān)系第一保證是同角，第二保證<>m??

≠??<>m??π

+

/<>m

,

??

∈

??m></

.新知生成1.同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin???+cos???=1

.<>m

m></（2）商數(shù)關(guān)系：tan??=????m<>????

???

≠

??π

+

?

,

??

∈

??

./<>m這就是說(shuō)，同一個(gè)角<>m??/<>m

的正弦、余弦的平方和等于1，?/<>m商等于角?? ??

≠

??π

+

?

,

??

∈

??

的正切.m><2.同角三角函數(shù)關(guān)系的變形><m

m><sin

??

=

1

?

cos

??m></

，

cos?

?

??

???

=

1

?

sin

??/<>m

，

<>m

sin??

?

cos?? =

1

?

2sin??cos??/<>m

，

m><?sin??

+?cos???

=

1

+

2sin??cos??/<>m

，

m><sin??

=

cos??tan??????/<>m

，

m><cos??

=

????m></

.特別提醒:(1)注意“同角”,這里“同角”有兩層含義,一是“角相同”,二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立,即與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān),如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.sin2α是(sin

α)2的簡(jiǎn)寫,讀作“sin

α的平方”,不能將sin2α寫成sin

α

2,前者是α的正弦的平方,后者是α

2的正弦,兩者是不同的,要弄清它們的區(qū)別,并能正確書寫.注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的,sin2α

+cos2α=1對(duì)一切α∈R恒成立,而tan

α=????僅對(duì)α≠?++kπ(k∈Z)成立.????

?新知運(yùn)用一、已知一個(gè)三角函數(shù)值求另兩個(gè)三角函數(shù)值??例1

（1）已知??

∈ π,

?

，

tan??

=

2

，則cos??

=.??/<>m><m

m<>/

m><

m></（2）已知cos??=??

，求sin??

，tan??

的值.m><?<>m?

?

/><m????

=

2,

①[解析]（1）由已知得?????sin???

+

cos???

=

1,

②?由①得sin??=2cos??

，代入②得4cos???+cos???=1

，所以cos???=?

，又??∈，所以cos??<0

，所以cos??=??

?π,

??

?

.??（2）因?yàn)閏os??=??

<0

，所以??

是第二或第三象限的角.如果??

是第二象限角，那么sin??=1

?

cos???

= 1

?

??

???????=

，

tan??

=??????????=

???

??????=

?

.????如果??是第三象限角，那么

sin??

=

? 1

?

cos???

=

?

，

tan??

=????????????

???=

??

=???.方法總結(jié) 已知一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法（1）若已知sin??

=

??

，可以先應(yīng)用公式cos??

=

± 1

?

sin???

，求得cos??

的值，再由公m><

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m????式><mtan??=????/><m

，求得<>mtan??/<>m

的值.（2）若已知cos??

=

??

，可以先應(yīng)用公式sin??

=

± 1

?

cos???

，求得sin??

的值，再由公m><

/<>m

><m

/<>m

<>m

/<>m????式><mtan??=????/<>m

，求得<>mtan??/<>m

的值.<>m

m></

m><????/<>m

m><

m></（3）若已知tan??=??

，可以應(yīng)用公式tan??=????

=??

得sin??=??cos??

，將其代?

?入m><sin

??

+cos ??

=

1/<>m

，求得m<>cos??=±????/<>m

，

<>msin??

=±?

?????/<>m

的值.二、化簡(jiǎn)求值與恒等式的證明例2

化簡(jiǎn)：（1）

m><tan?????????1m<>/

，其中<>m??/<>m

是第二象限角；????（2）

?<>m??????

?????????m></?????????

.[解析]（1）因?yàn)??是第二象限角，所以sin??>0

，cos??<0

，tan??<0

,??????故tan?? ?

1

=

tan??????????????

=

tan??

???????

?????????

=

tan??

?

?

=

?1

.（2）原式=???????????????????

?????????????

?????=?????

=??????

??????????

??????

?????????????????????=?????????????????????，當(dāng)sin??>0

時(shí)，原式=1

，當(dāng)sin??<0

時(shí)，原式=?1

.方法總結(jié) 同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)的常用方法化切為弦，減少函數(shù)名稱；對(duì)含有根號(hào)的，應(yīng)先把被開(kāi)方式化為完全平方，再去掉根號(hào)；對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解或構(gòu)造平方關(guān)系，從而降冪化簡(jiǎn).三、<>m????????±????????/<>m

型求值問(wèn)題?/<>m<>m

m></例3

已知sin??

+

cos??

=

?

，

??

∈ 0,

π

，求：m><（1）

<>mtan??/<>m

；（2）

<>msin??

?

cos??/<>m

.[解析]

（1）由sin??

+

cos??

=

?

，得cos??

=

?

?

sin??

.?

?又sin???

+

cos???

=

1

，所以sin???

+

?

?

sin??

?

=

1

，整理得sin???

?

?

sin??

?

??

=

0

，?

?

??即

sin??

+?

sin??

??

=

0

，解得sin??

=

?

?

或sin??

=

?

.?

?

?

??又??

∈ 0,

π

，所以sin??

>

0

，故sin??

=

?

,所以cos??=?

?sin??=?

??

=??

，?

?

?

?故tan??=????

=??

.????

??（2）（法一）由（1）可知，sin???cos??=?

??

???=

?

.（法二）因?yàn)??

∈ 0,

π

，所以sin??

>

0

，又sin??+cos??=?

，兩邊平方，整理得2sin??cos??=???

<0

，所以cos??<0

.?

??又

sin??

?

cos??

?

=

1

?

2sin??cos??

=

1

+

??

=

??

，所以sin??

?

cos??

=

?

.??

??

?方法總結(jié) （1）在m><

sin??

+

cos??

m></

，

m><

sin??cos??

m></

，

m><

sin???

cos??

m></

三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”.（2）求sinm><

??

+

cos??m></

或sinm><

??

?

cos??m></

的值，要注意判斷它們的符號(hào).1.若sin??

?

cos??

= 2

，則tan??

+?=

<>m?2/<>m

.????[解析]

由已知得

sin??

?

cos??

?

=

2

，?∴

sin??cos??

=

?

?

.∴

tan??

+?

=

????

+

????

=

?????

????

????????????=

?2

.2.已知<>msin??

+

3cos??

=

0/<>m

，求<>msin??/<>m

，

<>mcos??/<>m

的值.

[解析]

∵

sin??

+3cos??

=

0

，

∴

sin??

=

?3cos??.又

sin???

+cos???

=

1

，∴ ?3cos??

?

+cos???=1

，即10cos???=1

，∴

cos??

=

±????

.又由sin??=?3cos??

，可知sin??

與cos??

異號(hào)，∴角??

的終邊在第二或第四象限.當(dāng)角??

的終邊在第二象限時(shí)，

cos??

=

?

??

，

sin??

=

?

??

；??

??當(dāng)角??

的終邊在第四象限時(shí)，

cos??

=

??

，

sin??

=

?

?

??

.??

??3.求證：????

????????m??????><

? ??????=

1/<>m

.[解析]

左邊=

?????

??????????????

??????=???????????????????

???????

????

=???????????????

??????=????????????=?????????

?=

1

=右邊，即原等式成立.?A.

?B.

??

?C.

±

??D.

±

??1.已知cos??

=

?

，

??

∈ 0,

π

，則tan??

的值為(

B

).26@@?[解析]

因?yàn)閏os??

=

?

，

??

∈0,π ，所以sin??=?

，tan??=?

.?

?2.已知sin??+cos??=?

，