第五節(jié)函數(shù)極值與最大值最小值

第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值（二）一、最值的求法二、應(yīng)用舉例三、小結(jié) 思考題一、最值的求法⑴最值問題：在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)和科學(xué)實驗中，常常會遇到在一定的條件下，怎樣使“成本最低”、“利潤最大”、“用料最省”、“效率最高”等問題，這類問題一般可化為求某一函數(shù)(稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問題。⑵最值定義：設(shè)f

(x)在區(qū)間D上有定義,若存在x0

?

D,使得對D上的一切x,恒有f

(x)￡

f

(x0

)(或f

(x)?f

(x0

)),則稱f

(x0

)是f

(x)在D上的最大值(或最小值).函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值，使函數(shù)取得最值的點稱為最值點。⑶最值與極值的區(qū)別：①極值是對極值點的某個鄰域，最值是對整個定義區(qū)間。②極值只能在區(qū)間內(nèi)取，最值可在端點或區(qū)間內(nèi)取得。ob

xo

ay

y

yab

x

o

a

b

x若f

(x)?

C[a,b]，除個別點外處處可導(dǎo)，且至多有有限個導(dǎo)數(shù)為零的點，則f

(x)在[a,b]上的最大值與最小值存在.從以上幾段曲線可以看出：最值可以在開區(qū)間(a,b)內(nèi)點處取得，即極值點，也就是有限個駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點，同時最值也可以在整個區(qū)間的端點處取得。由此可按以下方法進(jìn)行求最值?！鹃]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)求最值的步驟】求駐點和不可導(dǎo)點;求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較2中諸值的大小,哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個就是最小值;【注意】在實際問題，如果開區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)二、應(yīng)用舉例【解】x

?

[-3,1]

[2,4]2

x

?

(1,2)x

?

(-3,1)

(2,4)x

?

(1,2)f

(

x)

=2-

x

+

3

x

-

x2

-

3

x

+

2【例1】求函數(shù)y

=x

2

-3

x+2

在[-3,4]上的最大值與最小值.-

2

x

+

3f

￠(

x)

=

2

x

-

3駐點為

x

=

3

不可導(dǎo)點有兩個為：x

=

1

,

22最大值f

(-3)=20，比較得最小值f

(1)=f

(2)=0.由于f

(-3)

=

20

,f

(2)

=

0

,f

(1)

=

0

,f

(4)

=

6

,f

(3)

=

1

,2

4xyo12y

=

x2

-

3

x

+

2【注意】

y

=

x在x

=0

點不可導(dǎo)y

=x

x

在x

=0

點可導(dǎo)故y

=x

-a

在x

=a

點不可導(dǎo)y

=

(

x

-

a)

x

-

a在x

=a

點可導(dǎo)由此得y

=x2

-3

x

+2

=x

-1

x

-2

在x

=1,2

處不可導(dǎo)敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？點擊圖片任意處播放\暫?！纠?】【解】(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系設(shè)t

為我軍從B處發(fā)起0.5公里追擊至射擊的時間(分).敵我相距函數(shù)(0.5

+

t

)2

+

(4

-

2t

)2s(t

)

=4公里BAs(t

)s(t

)s

(t

)

=.(0.5

+

t

)2

+

(4

-

2t

)25t

-

7.5令s

(t

)=0,得唯一駐點t

=

1.5.故得我軍從B處發(fā)起追擊后1.5

分鐘射擊最好.0.5公里4公里BAs(t

)s(t

)

=

(0.5

+

t

)2

+

(4

-

2t

)2(2)求s

=s(t

)的最小值點.【特別注意】若函數(shù)在一個區(qū)間（有限或無限、開或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點 ，且這個駐點是函數(shù)的極值點，則這個極值就是函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)的最值（如下圖示）.xyo

abx0xbx0o

ay常利用此性質(zhì)證明不等式：如《高數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》P78

3（9）

①

—⑧【實際問題求最值應(yīng)注意】建立目標(biāo)函數(shù);求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點，則該點的函數(shù)值即為所求的最值．【例3】某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問房租定為多少可獲得最大收入？

10【解】

設(shè)房租為每月x元，租出去的房子有50

-

x

-套18，0

每月總收入為

10R(

x)

=

(

x

-

20)

50

-

x

-

180

10

R(

x)

=

(

x

-

20)

68

-

x

10

10

5R￠(

x)

=

68

-

x

+

(

x

-

20)

-

1

=

70

-

xR(

x)

=

0x

=350

（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.10

最大收入為R(x)=(350

-20)

68

-350

=10890(元)處的切線與直

線y

=0

及x

=8所圍成的三角

形面積最大．【例4】由直線y

=0，x

=8

及拋物線y

=x

2

圍

成一個曲邊三角形，在曲邊y

=x

2

上求一點，使曲線在該點點擊圖片任意處播放\暫?！窘狻?/p>

如圖,設(shè)所求切點為P(x0

,y0

),則切線PT為y

-

y0

=

2

x0

(

x

-

x0

),

y

=

x2

,0

020\

A(1

x

,

0),B(8, 16

x

-

x2

)0

0C

(8,

0),TxyoPABC1

12

22000(8

-

x

)(16

x

-

x

)\

S

=DABC0(0

<

x

￡

8)+

16

·16)

=

0,14020(3

x

-

64

x￠令

S

=解得30x

=16(舍去).0x

=

16

,16

s￠( )

=

-8

<

0.3為極大值.2716

4096\

s(

3

)

=故s(16

)=4096

為所有三角形中面積的最大者.3

27三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.實際問題求最值的步驟.【思考題】若f

(a)是f

(