2022年新高考數(shù)學搶分攻略全集

01函數(shù)性質(zhì)的綜合問題

高考預(yù)測

概率預(yù)測☆☆☆☆☆

題型預(yù)測選擇題、填空題+☆☆☆☆

考向預(yù)測函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)試攻略

函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題.解題時，

往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定某一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決

相關(guān)問題.

1.從考點頻率看，函數(shù)的性質(zhì)是高頻考點、必考點，所以必須完全掌握。

2.從題型角度看，可以是選擇題、填空題，分值10分左右，著實不少！

e知識必備

課程標準命題解讀

考查形式：高考對本章的考查一般為1?3道小

1.建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫

題.

變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學語言和工具，也把函數(shù)理解

考查內(nèi)容：主要涉及函數(shù)的圖象，多為給出具體

為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系.

函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象；函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)性質(zhì)

2.能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性

的綜合問題：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的圖象與

質(zhì).

性質(zhì)；分段函數(shù)，既有求函數(shù)值，也有解不等式，常

3.在現(xiàn)實問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問

與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、零點相結(jié)合.

題.

備考策略：(1)熟練掌握函數(shù)的基本知識和解決函

4.能用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究基本初

數(shù)問題的基本方法.

函數(shù)的性質(zhì).

(2)關(guān)注點——函數(shù)的定義域，抽象函數(shù)問題及函

5.理解基本初等函數(shù)中所蘊含的運算規(guī)律.

數(shù)的實際應(yīng)用.

6.運用基本初等函數(shù)建立模型，解決簡單的實際

(3)重視函數(shù)的創(chuàng)新問題——新定義問題，函數(shù)零

問題，體會這些函數(shù)在解決實際問題中的作用.

點的交匯問題，函數(shù)圖象的靈活運用問題.

核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算.

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)X,按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f:A—B為從集合A到集合B

的一個函數(shù)，記作y=f(x),xEA.

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=f(x),x￡A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相

對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xCA｝叫做函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相

同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法和圖象法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種

函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分

段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

5.單調(diào)遞增、單調(diào)遞減

一般的，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,區(qū)間DUI：

(1)如果Vxl,x2GD,當xl<x2時,都有f(xl)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞

增.

(2)如果Vxl,x2GD,當xl<x2時，都有f(xl)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞

減.

6.增函數(shù)、減函數(shù)

(1)當函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)；

(2)當函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù).

7.單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(幻在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=/(九)在這一區(qū)間具有(嚴

格的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

8.函數(shù)的最值

一般的，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足:

(l)VxW/,都有/(或

(2)3x0eA使得/(xo)=M.

那么，我們稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值(或最小值).

9.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象

一般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為/,如果Vxe/,都有一xW/,

偶函數(shù)關(guān)于詡對稱

且〃一x)=f(x)，那么函數(shù)/(x)就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(九)的定義域為I,如果V尤e/,都有一xG/,關(guān)于坐標原點

奇函數(shù)

且f(—x)=—f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做奇函數(shù)對稱

10.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)/(幻的定義域為。，如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一

個xWO都有x+Te。，且/(x+7)=￡I。，那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)I就叫做

這個函數(shù)的周期.

⑵最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)

就叫做的最小正周期(若不特別說明，7一般都是指最小正周期).

11.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對/(x)定義域內(nèi)任一自變量光，

(1)若/(x+a)=—/(x),則T=2a(a〉0).

(2)若f(x+a)=—,則T=2a(a>0).

(3)若/(x+a)=一點，則T=2a(a>0).

12.函數(shù)圖象的對稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，即/(a—x)=/(a+x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a

對稱.

(2)若對于R上的任意x都有/(2a—x)=/(x)或f(—x)=f(2a+x),則y=/(x)的圖象關(guān)于直

線x=a對稱.

(3)若函數(shù)y=/(x+")是奇函數(shù)，即/(—x+Z?)+/(x+/?)=O,則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(仇0)

中心對稱.

13.懸函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)m1叫做基函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

14.常見的五種黑函數(shù)的圖象

15.募函數(shù)的性質(zhì)

(1)基函數(shù)在(0,十8)上都有定義.

(2)當a>0時，累函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)當a<0時，幕函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

16.二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：/(x)=ax2+Z?x+c(?#:0)；

頂點式：f(x)=a(x—h)2+k(a0)；

兩根式：f(x)=a(x—x\)(x—X2)(aW0).

對稱性圖象關(guān)于直線x=一￡成軸對稱圖形

18.〃次方根

⑴根式的概念

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中”>1,且〃WN”.式子缶叫做根式,

這里上叫做根指數(shù)，出叫做被開方數(shù).

（2）。的n次方根的表示

①當"為奇數(shù)時，缶^=4；

rj.—[a,

②當“為偶數(shù)時，^=\a\=]~八

—a,a<0.

19.有理數(shù)指數(shù)塞

m

正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)毒：an=yla"'（a>0,加，〃WN",n>1）

幕的有_fn]]

正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)累：a"——(6f>0,m,及￡N,n>\)

關(guān)概念—ni—

a〃

0的正分數(shù)指數(shù)累等于0.0的負分數(shù)指數(shù)嘉沒有意義

指數(shù)幕

arax=ar+s(a>0,r,s6Q)；(。')'=貯(。>0,r,s^Q)；(abY=arbr(a>0,b>0,

的運算

rWQ)

性質(zhì)

20.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=a'（a>0,且aWl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.形

如^=依\y=ar"（AGR且ZW0,。>0且aWl）的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù).

21.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<a<la>\

y=(z'y

圖象駕K(0,1)

定義域R

值域(0,+8)

過定點(0』),即x=0時，y=l

當x<0時，y>l；當x>0時，y>l；

性質(zhì)

當x>0時，0<yvl當x<0時，0<y<l

減函數(shù)增函數(shù)

22.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)(1)、=談，(2)y=》，(3)y=cS(4)y=/的圖象，底數(shù)a,b,c,d與1之

間的大小關(guān)系為c>4>l>a>Q0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y=

a'(a>0,aWl)的圖象越高，底數(shù)越大.

23.對數(shù)的概念

一般地，如果優(yōu)=Ma〉O,且aWl),那么數(shù)尤叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log“N,

其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).

24.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

(1)對數(shù)的運算法則

如果。>0,且M>0,N>0,那么

①log“(M7V)=logaM+logW；

②10g，W=lOgaM-lOgaN；

③logJVf1=(“GR).

(2)對數(shù)的性質(zhì)

丁——log“N

?logal=0；②logoa=L③a=N；

N

?\ogua=N(a>0,且a#l).

(3)對數(shù)的換底公式

log/=；：j，(a>0,且aWl；b>0；c>0,且c#l).

換底公式的三個重要結(jié)論

⑴l°gab=4而

(2)logambn=^logab.

(3)logablogbc-logcd=logad.

其中a>0,且a=l,b>0,且屏1，c>0,且c，I,m,nGR.

25.對數(shù)函數(shù)

(1)一般地，函數(shù)y=logd(a〉0,且aWl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,

+°°).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<?<1a>\

y

1=1月0時

圖象—1,0),

o((1,0)*

1,產(chǎn)10年

定義域(0,+8)

值域R

過定點(1,0),即x=l時，y=0

當x>l時,y<0；當x>l時，>>0；

性質(zhì)

當04Vl時,y>0當0<xvl時,y<0

減函數(shù)增函數(shù)

對數(shù)函數(shù)圖象的特征

(2)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a#l)的圖象過定點(1,0),且過點(a/)，(：，-1),函數(shù)圖象

只在第一、第四象限.

26.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=d<a>0,且aWl)與對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,且aWl)互為反函數(shù)，它們的圖

象關(guān)于直線y=x對稱.

27.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、

周期性、對稱性等).

其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，

連線.

28.函數(shù)圖象的變換

(1)函數(shù)圖象平移變換八字方針

①“左加右減”，要注意加減指的是自變量.

②“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.

(2)對稱變換

①/'(x)與/(一X)的圖象關(guān)于y軸對稱.

②/'(X)與一/(X)的圖象關(guān)于X軸對稱.

(3)翻折變換

①|(zhì)/(x)|的圖象是將/(X)的圖象中X軸下方的圖象對稱翻折到X軸上方，X軸上方的圖象不

變.

②/1(園)的圖象是/(x)的圖象中x軸右側(cè)的圖象不變，再對稱翻折到y(tǒng)軸的左側(cè)得到.

(4)關(guān)于兩個函數(shù)圖象對稱的三個重要結(jié)論

①函數(shù)y=/(x)與y=f(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

②函數(shù)y=/(x)與y=2/j—/(2a—x)的圖象關(guān)于點⑶一中心對稱.

③若函數(shù)y=/(x)的定義域內(nèi)任意自變量x滿足/(a+x)=/(a—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)

于直線x=a對稱.

(5)函數(shù)圖象自身的軸對稱

①/'(—x)=f(x)今函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;

②函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于x=a對稱0〃a+x)=f(a—尤)=f(2a—尤)0f(―x)=f(2a+

力

③若函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且有_/(a+x)=/S—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線工

對稱.

——2

(6)函數(shù)圖象自身的中心對稱

①x)=-函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱;

②函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱％(a+x)=—/"(a—x)號/"(x)=—/(2a—x)9/'(—x)=」

(2a+x)；

③函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(a,加成中心對稱％(a+九)=2/?—/(a—x)9/'(x)=2b—/(2a—x).

29.函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=O的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

30.幾個等價關(guān)系

方程/(x)=O有實數(shù)解臺函數(shù)y=/(x)的圖象與通|有公共點O函數(shù)y=/(x)有零點.

31.函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［。，分上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(加<0,那么，

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間3，份內(nèi)至少有一個零點,即存在cW(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是

方程/(x)=0的解.

32.二分法

(1)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,歷上圖象連續(xù)不斷；

條件

(2)所在區(qū)間端點的函數(shù)值滿足/(a)/?伯)<0

不斷地把函數(shù)v=f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步

方法

逼近零點,進而得到零點近似值

33.有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論

(1)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.

34.常見的函數(shù)模型

⑴正比例函數(shù)模型：/(幻="(左為常數(shù)，ZWO)；

(2)反比例函數(shù)模型：為常數(shù)，AW0)；

(3)一次函數(shù)模型：f{x)=kx+b(k,6為常數(shù)，AW0)；

(4)二次函數(shù)模型：/(*)=加+陵+。(“，b,c為常數(shù)，a#0)；

(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)=a^+c(a,b,c為常數(shù)，aWO,b>Q,bWl)；

(6)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)=miogax+n(m,n,。為常數(shù)，〃zWO,a>0,aWl)；

(7)嘉函數(shù)模型：+仇a,b,〃為常數(shù)，aWO,〃W1)；

(8)“對勾”函數(shù)模型：y=x+7(a>0).

35.指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)性質(zhì)比較

函數(shù)

y=ax(a>l)y=logd(a>l)

性質(zhì)

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為與衛(wèi)隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨n值變化而各

圖象的變化

軸平行與X軸平行有不同

3、求函數(shù)解析式的3種方法求函數(shù)解析式的3種方法

待定系數(shù)法當函數(shù)的類型已經(jīng)確定時，一般用待定系數(shù)法來確定函數(shù)解析式

如果給定復合函數(shù)的解析式，求外函數(shù)的解析式，通常用換元法將內(nèi)函數(shù)換元，

換元法

然后求出外函數(shù)的解析式

如果給定兩個關(guān)于一(X)的關(guān)系式，可以通過變量代換建立方程組，再通過解方

解方程組法

程組求出函數(shù)解析式

4、求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟:

(1)確定要求值的自變量所在區(qū)間.

(2)代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值，直到求出具體值為止.

提醒：①自變量的值不確定時，必須分類討論；

②求值時注意函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用：

③出現(xiàn)了(/(a))求值形式時，應(yīng)由內(nèi)到外或由外向內(nèi)逐層求值.

5、求參數(shù)或自變量的值(范圍)的解題思路

(1)解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的

自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可.

(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解.

6、判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法

定義法一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號一得出結(jié)論

若/(X)是以圖象形式給出的，或者/(X)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下

圖象法

降判斷函數(shù)的單調(diào)性

導數(shù)法先求導數(shù)，再利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增

性質(zhì)法

+增=增，增一減=增，減+減=減，減一增=減”進行判斷

對于復合函數(shù)，先將函數(shù)/(g(x))分解成/⑺和/=8(力然后討論(判斷)這兩個函

復合法

數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷

7、求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，得出最值.

(3)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.

ex+d

(4)分離常數(shù)法：求形如y=Eg(ac，O)的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解.

(5)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求

出最值.

8、比較函數(shù)值大小的解題思路

比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同

一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較.對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.

9、求解含7"的不等式的思路

先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為/(g(x))>/(//(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“/”，

得到一般的不等式g(x)>〃(x)(或g(x)<h(x)).

10、利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)

間比較求參數(shù)：

(2)需注意，若分段函數(shù)在R上是單調(diào)的，則該函數(shù)在每一段上具有相同的單調(diào)性，還要注意

分界點處的函數(shù)值大小.

11、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法

(1)定義法，即根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義來判斷.

(2)圖象法，即利用奇、偶函數(shù)的對稱性來判斷；

(3)性質(zhì)法，即利用在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)、偶函數(shù)的和、差、積的奇偶性來判斷.

12、應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問題及解題方法

(1)求函數(shù)值

將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.

(2)求解析式

先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)

的方程(組)，從而得到f(X)的解析式.

(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值

利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/。)^(一幻=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參

數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值.

13、函數(shù)周期性有關(guān)問題的求解策略

(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在

平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性.

14、二次函數(shù)的最值問題的類型

軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動.不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置

關(guān)系.當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論.

15、由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍

都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，依據(jù)是：a>f(x)恒成立oaNf(x)max,a<f(x)恒成立=agf

(x)min.

16、指數(shù)塞運算的一般原則

(1)指數(shù)賽的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)賽統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)賽，以便利用法則計算.

(2)先乘除后加減，負指數(shù)幕化成正指數(shù)累的倒數(shù).

(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù).

(4)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式要力求統(tǒng)一.

17、綜合應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的常考題型及求解策略

?？碱}型求解策略

比較基值(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)累，再利用單調(diào)性比較大??；

的大小⑵不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小

解簡單指先利用幕的運算性質(zhì)化為同底數(shù)幕，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，

數(shù)不等式要注意底數(shù)。的取值范圍，并在必要時進行分類討論

探究指數(shù)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方

型函數(shù)的法一致，另外要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，借助“同增異減”，將問題歸結(jié)為內(nèi)

性質(zhì)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決

18、比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法

常見類型解題方法

底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷

底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進行分類討論

底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進行比較

底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進行比較

19、簡單對數(shù)不等式問題的求解策略

(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應(yīng)先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0<a<l和a>l進

行分類討論.

(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

20.函數(shù)圖象的辨識方法

(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;

(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復;

(5)從函數(shù)的特征點,排除不合要求的圖象.

21.通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點

(1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象);

(2)了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換.

22.確定函數(shù)/⑴的零點所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f

(a>f(b)<0.若有,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.

23.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法

(1)直接求零點，令f(x)=O,有幾個解就有幾個零點；

(2)函數(shù)零點存在定理，栗求函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0,再結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；

(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩個函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).

典例剖析

一、多選題命題熱點中的函數(shù)性質(zhì)的綜合問題

函數(shù)問題中的多選題主要集中在函數(shù)的性質(zhì)中，涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性等.

從命題角度看，既可以是與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的組合型選擇題，也可以是新定義函數(shù)后再從不同角

度研究函數(shù)的性質(zhì)問題.

例1、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x-l)為奇函數(shù)，f(x+l)為偶函數(shù)，當x6(—1,1］時，f(x)=-x2+l,則

下列結(jié)論正確的是()

A吟T

B.f(x+7)為奇函數(shù)

C.f(x)在(6,8)上為減函數(shù)

D.方程f(x)+Igx=0僅有6個實數(shù)解

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性和對稱性，對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系和數(shù)

形結(jié)合思想，屬于較難題.

利用函數(shù)的奇偶性與對稱性得“X)=-/(-X-2)和f(x)=/(-X+2),再利用所得結(jié)論進行計算，對4進行

判斷，再再利用所得結(jié)論，結(jié)合的周期性得函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù)，再利用函數(shù)的周期性和奇函數(shù)

定義對B進行判斷，再利用所得結(jié)論作出函數(shù)/"(X)的圖象，利用函數(shù)/"(X)的圖象對C進行判斷，再利用對數(shù)

函數(shù)圖象，作出函數(shù)f(x)和y=-Igx的圖象，利用函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系對D進行判斷，從而得結(jié)論.

【解答】

解：因為函數(shù)/(乃的定義域為R,函數(shù)〃x-l)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(一1,0)對稱，因此f(x)=-f(-x-2).

又因為函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f的圖象關(guān)于x=1對稱，

因此f(x)=f(—%+2).

對于4因為由f(x)=/(-%+2)得f0=/(-|+2)=/(-|).

而由/(x)=-/(-%-2)得/(一|)=一/(|-2)=-f(-1),

所以/(9=一/(一以?

又因為當其€(-1,1]時，fix')=-x2+1,

所以/(9=_，(_：)=_-(-5)+1=-3故A正確；

對于B.因為由f(x)=/(-x+2)得/(尤+4)=/[-(x+4)+2]=/(-X-2),

所以由f(x)=-/(-%-2)得/(x+4)=-/(x),

因此/Xx+8)=-/(x+4)=/(x),所以函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù).

又因為/(x+7)=/[(x-1)+8]=f(x-1),

/(-X+7)=/[(-x-1)+8]=/(-X-1)=-/[-(-x-1)-2]=-f(x-1),

所以/(x+7)=-f(—x+7),因此函數(shù)f(x+7)是奇函數(shù)，故8正確；

對于C.因為函數(shù)/Q)的定義域為R,且/(幻=一/(一％-2),

所以/(-1)=-7[-(-I)-2]=-/(-I),因此八一1)=0,

所以由當xe(-1,1]時，/(x)=-/+1得當xe[-1,1]時，/(x)=-x2+1,

因此由函數(shù)/'(x)的圖象關(guān)于x=1對稱得當XG[一1,3]時，函數(shù)/'(x)的圖象，

所以由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(一1,0)對稱得當xe[一5,-1]時，函數(shù)f(x)的圖象，

因此再利用函數(shù)/(x)是周期為8的周期函數(shù)得函數(shù)“X)的圖象如下：

對于D.作函數(shù)f(久)和y=-Igx的圖象如下:

因為當x>10時，-Igx<—1.

所以由圖象知：函數(shù)f(x)圖象與y=-Igx的圖象的交點數(shù)為6,

因此方程/(%)+電丫=0僅有6個實數(shù)解，故/)正確.

例2、給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是().

A.函數(shù)y=G)r"l的最大值為:

B.已知函數(shù)y=loga(2-ax)(a>0且aH1)在(0,1)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(1,2)

C.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=2*與y=log2*的圖像關(guān)于直線y=x對稱

D.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-8,0)內(nèi)有1010個零點，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2021

【答案】CD

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點個數(shù)以及復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等題.

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷4由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；由反函數(shù)的定義可判斷C；

由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.

【解答】

解：A錯，令t=—/+i,則t的最大值為1,

...y=(}-/+1的最小值為3

B錯，?.?函數(shù)y=k>&,(2-or)在(0,1)上是減函數(shù),

C對，?.?函數(shù)y=2*與y=log2X互為反函數(shù)，

二函數(shù)y=2才與y=log2”的圖像關(guān)于直線y=x對稱：

。對，:定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-x.O)內(nèi)有1010個零點，

???/(x)在(0,+8)在內(nèi)有1010個零點，

又???/(0)=0,

二函數(shù)/(x)的零點個數(shù)為2X1010+1=2021.

排除力B，

故選CD.

例3、已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①VxCR,/(r)-f(r)；

②VXI，X26(0,+8),當XIOx2時，都有上。二3>()：③-1)=0.則下列選項成立的是()

A.f(3)>f(-4)

B.若/(m-l)</(2),則m6(-oc,3)

C.若”>0,則T6(-oc-l)U(O.l)

D.VxGR,3MGR,使得f(x)<M

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了抽象函數(shù)，不等式求解，函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的奇偶性和數(shù)形結(jié)合思

想.

結(jié)合題目條件得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減對4進行判斷，

利用偶函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，結(jié)合題目條件得慎-1|>2,再利用不等式求解，對B進行判斷，利用

題目條件作出函數(shù)/(X)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合和不等式求解，對C進行判斷，利用C的圖象，結(jié)合函數(shù)的

最值，對。進行判斷，從而得結(jié)論.

【解答】

解：因為函數(shù)/(x)定義在R上的函數(shù)，

所以由①：VxGZ?,/(一行=/(切得函數(shù)/(乃為偶函數(shù).

又因為由②知：V%1，X2G(0,+OO),當時，都有“？)二(卬>0,

因此x2e(0,+00),不妨設(shè)xx<x2>有/(久1)-Z(x2)>0,即f(Xi)>f(x2),

所以函數(shù)/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

對于4、因為函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，所以/(-4)=/(4),

而函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，因此/(4)<〃3),

即/(一4)</(3),因此4正確；

對于8、因為定義在R上的偶函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減且連續(xù)，R./-(zn-1)</(2),

所以解得nt<-1或>3,因此B不正確；

對于C、因為/'(—1)=0,函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以/(1)=0.

因為函數(shù)/"(X)為偶函數(shù)，在(0,+8)單調(diào)遞減，

所以作函數(shù)f(x)的可能圖象如下：

所以由△立>0>得x<—1或0<x<l,因此C正確；

X

對于。、由C知：/(0)是函數(shù)f(x)的最大值，

因此VxeR,3A/=/(0)6R,使得因此￡>正確，

故選ACD.

例4、已知函數(shù)g(1)log,,(H+&)(a>()且a*l)的圖象如下所示.函數(shù)f(x)=(k-

l)ax-a-x的圖象上有兩個不同的點A(Xi，yJ,B(X2，y2)，則()

A.a>1,k>2

B.f(x)在R上是奇函數(shù)

C.f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)

D.當x20時，2f(x)<f(2x)

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的圖像，考查對數(shù)型函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的綜合運用，屬于難題.

對于4結(jié)合對數(shù)型函數(shù)圖像相關(guān)知識求解；

對于B運用定義法判斷f(x)是否在R上是奇函數(shù)；

對于C運用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性；

對于。通過作差法并對式子變形即可判斷.

【解答】

解：對于4,由圖像可知,函數(shù)g(x)=loga(X+k)(a>0且aH1)在(一2,+8)上單調(diào)遞增,

所以a>l,因為g(x)經(jīng)過(一1,0),所以g(-l)=loga(-l+k)=0,所以a°=-l+k,k=2,故A錯誤.

對于B,/(x)=ax-a~x,定義域R關(guān)于原點對稱，/(-x)=a~x-ax=-/(x),所以f(x)在R上是奇函數(shù)，

故8正確.

對于C,對于/(x)=a*-a—,由題意不妨令％1>刀2，Xi€R,x2GR,則

/小)-件)=(產(chǎn)--總=m，

因為>X2?Q>1，

X1XzX1Xz

所以謨1謨24-1>0,aa>0,a-a>0,

即/(%1)>/(%2)，所以/(%)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故c正確?

對于

2/(%)—/(2x)=2(ax—a"x)—(a2x—a~2x)

=2(ax—a-x)—(ax-a-x)(ax+a~x)

=(ax—Q-")(2—ax—QT)

_a2x-l^2ax-dix-\_-(ax+l)(ax-l)3

=(z小乂r)二石，

因為a>l,x>0,所以謨+1>0,(ax-l)3>0,a2x>0,

所以盤喈*WO,

a2x

當且僅當x=0時等號成立,

即當x20時，2f(x)w/(2x)成立，故。正確.

二、函數(shù)的新定義問題

在函數(shù)的概念與表示中，函數(shù)新定義問題是一個常考熱點知識，通過函數(shù)新定義問題考查

閱讀理解能力，分析問題、解決問題的能力，也是復習的一個難點.

例1、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若函數(shù)f(x)滿足條件：存在［a,b］=D,使f(x)在［a,b］上的值域是［|守，則稱

f(x)為“倍縮函數(shù)”，已知函數(shù)/")+，)為“倍縮函數(shù)”，則t的取值范圍是()

A.(0,i)B.(0,1)C.(0,1)D.(；,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性以及二次方程根的關(guān)系，屬較難題.

/(a)=1師2(中+')=￡

由題意得f(x)在口句上為增函數(shù),即有,!：.從而可得方程度+t-2T=0有兩個

+t)=-

不同實數(shù)根，通過換元求t的取值范圍.

【解答】

x

解：因為函數(shù)f(x)=log2(2+t)為“倍縮函數(shù)”，且滿足存在［a,b］UD,使/(x)在［a,切上的值域是歲§,

因為/(x)在［a,切上為增函數(shù)，

a

［/(?)=log2(2+f)=1ra展

所以lt；.即,+'=2：

［刎2A+￡)=/(2&+￡=25

所以方程*+1-2：=0有兩個不同實數(shù)根，設(shè)m=2^>0，

GPm2—m4-1=0有兩個不同的正根,

所以解得o<t<;.

故選A.

例2、形如y=r^-(c>0,b>0)的函數(shù)因其函數(shù)圖象類似于漢字中的“冏”字，故我們把其生動地稱為“冏函

兇一c

數(shù)若函數(shù)f(x)=ax2+x+1(a>0且a*1)有最小值，則當c=l,b=1時的“冏函數(shù)”與函y=loga|x|的圖象交

點個數(shù)為()

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)中新概念的應(yīng)用，以及函數(shù)的性質(zhì)，最值，單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系,

屬于拔高題.

由概念得到兩函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，得到交點個數(shù).

【解答】

解：函數(shù)/'(x)=ax2+x+i(a>0,a片1)有最小值，

???當°=1/=1時，丫=蠡=泰，

1

畫出函數(shù)y=萬二;與y=logalM的圖象在同一坐標系數(shù)內(nèi)的圖象:

???結(jié)合圖形，得到交點個數(shù)有4個.

故選c.

例3、若函數(shù)f(x)同時滿足：①對于定義域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0②對于定義域上的任意X1，X2,

當X1#X2時，恒有姆膂<0,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.下列四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)''的有()

xl-^2

A.f(x)=[B.f(x)=In(V1+x2+x)

c〃、1-2X「哈、f-x2,x>0

C.f(x)———-D.f(x)=<,-

v71+2*k7lx2,x<0

【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查對函數(shù)新定義的理解，函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷.

通過對理想函數(shù)的分析，只要滿足在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是遞減的就符合條件，然后對所給的函數(shù)逐個

分析是否正確即可.

【解答】

解：丫對于定義域上的任意》,恒有f(x)+/(-%)=0，

.?./(x)是奇函數(shù)，

又?對于定義域上的任意看,，當修彳工時，恒有2

X22駕xl~迎~x2<0,

f(x)為減函數(shù)：

對于4,：函數(shù)/'(x)=g在(0,+8)和(-8,0)是減函數(shù)，不能說在定義域上是減函數(shù)，4不是"理想函數(shù)"；

對于B,VVl+X2>Vx^>即VI+-2>|0,則”+.2+X>0,

二函數(shù)/(x)=ln(Vl+x2+x)的定義域為R，

?.?函數(shù)y=伉乂在(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=VT不返+x在R上單調(diào)遞增，

???函數(shù)/(乃=111(萬不+為為/?上的增函數(shù)，:8不是“理想函數(shù)”；

對于C，:/(x)=W=三篙=一1+亳，減函數(shù)，

且f(-x)==至=一痣=一"無)，

2X

在R上既是奇函數(shù)，又是單調(diào)遞減函數(shù)，二。是“理想函數(shù)”；

對于=｛工/；0°

由二次函數(shù)的圖象和單調(diào)性可知，f(x)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，二。是“理想函數(shù)”.

故選CD.

例4、設(shè)f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間［a,b］上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)-g(x)在［a,b］上有2個不同的零點，

則稱f(x)和g(x)在［a,b］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,區(qū)間［a,b］稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=-x2+(m+2)x-1和g(x)=

2x+4是［1,5］上的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】(4,5］

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)零點的判定定理，“關(guān)聯(lián)函數(shù)”的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中

檔題.

【解答】

解：因為〃>)=-x2+(m+2)x-1和g(x)=2x+4在［1,5］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，

"⑴<0

f⑸W0

故函數(shù)y=/i(x)=f(x)-g(x)=-%2+mx-4在［1,5］上有兩個不同的零點，有(")>0，即

［1<-<5

、2

m—5<0

5m-29<0

而，八，解得me(4,5］.

------4>0

{4

2<m<10

故答案為(4,5］.

例5、定義函數(shù)f(x)圖象上的點到坐標原點距離的最小值叫作函數(shù)y=f(x)的“中心距離”，給出以下四個命題:

①函數(shù)y=1的“中心距離”等于傷

②函數(shù)y=②函-4x+5的“中心距離”等于1;

③若函數(shù)y=f(x)(xeR)與y=g(x)(xeR)的“中心距離相等"，則函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)至少有一個零點；

④若y=f(x)是奇函數(shù)，則它的“中心距離''為0。

以上命題是真命題的是.

【答案】①②

【解析】

【分析】

本題考查對新概念的理解和判斷，屬于中檔題.

在函數(shù)y=1的圖象上任取一點P(b,》，利用兩點間距離公式能判斷出①，②正確，再分別舉出反例判斷出

③，④均不正確.

【解答】

解：①在函數(shù)丫=:的圖象上任取一點P(a,b),則a=(

二點P(a,b)到原點距離d=Va2+b2=+b2>V2

(當/=1時等號成立)

???函數(shù)y=:的“中心距離”等于近，故①正確；

②y=/—4%+5的自變量%滿足―/—4x4-5>0,

:.(%4-5)(%—1)<0,即一5<x<1,

?.?函數(shù)y=，一%2一4%+5圖象上的點到原點距離:

d-yjx24-(-x2-4x4-5)=V5—4x>1(當％=1時，等號成立)

???函數(shù)y=15—4%_%2的“中心距離”等于1正確，故②正確；

③?.?函數(shù)y=f(x)=1與y=g(x)=-1的“中心距離相等”，

L(x)=f(x)-g(x)=2沒有零點，

二函數(shù)L(x)=f(%)-g(x)至少有一個零點不正確，故③錯誤：

④由①知奇函數(shù)丫=:的“中心距離”是女，故④錯誤.

故答案為①②.

例6、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在非零實數(shù)m滿足對任意的x￡M(McD),均有x+m€D,且f(x+m)>

f(x),則稱f(x)為M上的m高調(diào)函數(shù).如果定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當xNO時，f(x)=|x-a2|-a2,

且f(x)為R上的8高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是

【答案】［一夜，回

【解析】

【分析】

本題是新定義題，考查了函數(shù)解析式的求解方法，訓練了利用分離變量法求解參數(shù)的取值范圍，體現(xiàn)了分

類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題.由已知求得分段函數(shù)/(%)的解析式，然后由/(久+8)2/(%)分段得到a

與x的不等關(guān)系，分離參數(shù)a求得a的范圍，取交集得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，"X)=代一f，

(a2-|x+a2\,x<0

當%>0時，由f(久+8)>/(%),得|x4-8—a21-a2>\x-a2\—a2,

???2%4-8—2a2>0,即Q2<%4-4恒成立，

故—2<a<2；

當x<一8時，由a?-|x+84-a2|>a2-|x4-a