超靜定結(jié)構(gòu)與彎矩分配法

超靜定結(jié)構(gòu)與彎矩分配法第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)的差別一、幾何組成分析超靜定梁：靜定梁：有多余支座幾何可變靜定結(jié)構(gòu)是沒有多余約束的幾何不變體系超靜定結(jié)構(gòu)是有多余約束的幾何不變體系第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五二、超靜定結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點1.超靜定結(jié)構(gòu)的優(yōu)點1）超靜定結(jié)構(gòu)在抵抗外荷載時具有較大的剛度。剛度：力在所作用點產(chǎn)生單位位移時所需的力。第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五靜定梁超靜定梁第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五2)超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)相比具有較低的應(yīng)力連續(xù)性第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五2.超靜定結(jié)構(gòu)的缺點連續(xù)性1）支座沉降會引起內(nèi)力和變形可能導(dǎo)致超載超靜定三跨連續(xù)梁支座B相對沉降對于超靜定結(jié)構(gòu)，可以導(dǎo)致結(jié)構(gòu)變形的任何原因，如相對的沉陷、溫度改變引起的桿件長度變化或者制造誤差等，都會使整個結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力。第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五1、超靜定結(jié)構(gòu)是有多余約束的幾何不變體系；2、超靜定結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力和反力僅有平衡條件求不出，還必須考慮變形條件；如在力法計算中，多余未知力由力法方程（變形條件）計算。再由M=∑MiXi+MP疊加內(nèi)力圖。如只考慮平衡條件畫出單位彎矩圖和荷載彎矩圖，Xi是沒有確定的任意值。因此單就滿足平衡條件來說，超靜定結(jié)構(gòu)有無窮多組解答。3、超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與材料的物理性能和截面的幾何特征有關(guān)，即與剛度有關(guān)。荷載引起的內(nèi)力與各桿的剛度比值有關(guān)。因此在設(shè)計超靜定結(jié)構(gòu)時須事先假定截面尺寸，才能求出內(nèi)力；然后再根據(jù)內(nèi)力重新選擇截面。另外，也可通過調(diào)整各桿剛度比值達到調(diào)整內(nèi)力的目的。小結(jié)：第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五l/2l/2Pl/4PPPPPl/4

5、超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束破壞，仍能繼續(xù)承載。具有較高的防御能力。6、超靜定結(jié)構(gòu)的整體性好，在局部荷載作用下可以減小局部的內(nèi)力幅值和位移幅值。PlP多余約束約束的存在，使結(jié)構(gòu)的強度、剛度、穩(wěn)定性都有所提高。μ=1μ=1/2第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五1MABMBA等截面桿件的剛度方程一、由桿端位移求桿端彎矩（1）由桿端彎矩MABMBAlMABMBA利用單位荷載法可求得設(shè)同理可得1桿端力和桿端位移的正負規(guī)定①桿端轉(zhuǎn)角θA、θB，弦轉(zhuǎn)角

β＝Δ/l都以順時針為正。②桿端彎矩對桿端以順時針為正對結(jié)點或支座以逆時針為正。EI第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五EIMABMBAlMABMBA（2）由于相對線位移引起的A和B以上兩過程的疊加我們的任務(wù)是要由桿端位移求桿端力，變換上面的式子可得：第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五ΔθAθB用力法求解單跨超靜定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11令第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五可以將上式寫成矩陣形式第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五AMAB幾種不同遠端支座的剛度方程（1）遠端為固定支座AMABMBA因B=0，代入(1)式可得（2）遠端為固定鉸支座因MBA=0，代入(1)式可得AMABMBA（3）遠端為定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五由單位桿端位移引起的桿端力稱為形常數(shù)。單跨超靜定梁簡圖MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i0第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五二、由荷載求固端反力mABEIqlEIqlmBA

?在已知荷載及桿端位移的共同作用下的桿端力一般公式（轉(zhuǎn)角位移方程）：第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的計算方法概述1.力法是將超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力作為首先解決的對象，通過把多余未知力計算出未成為已韌力以后，剩下的問題便可歸結(jié)為靜定結(jié)構(gòu)的計算。2.位移法是通過向原結(jié)構(gòu)中沿獨立位移方向人為地添加約束，并引入未知位移作為首先解決的現(xiàn)象，當把未知的節(jié)點位移計算出來以后，剩下的問題就可以把桿件的桿端彎矩求出，又使問題成為靜定結(jié)構(gòu)的計算。3.有限元法或稱結(jié)構(gòu)矩陣分析。4.漸進法第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五1、線性代數(shù)方程組的解法:直接法漸近法2、結(jié)構(gòu)力學(xué)的漸近法力學(xué)建立方程，數(shù)學(xué)漸近解不建立方程式，直接逼近真實受力狀態(tài)。其突出的優(yōu)點是每一步都有明確的物理意義。3、不建立方程組的漸近解法有：(1)彎矩分配法：適于連續(xù)梁與無側(cè)移剛架。(2)無剪力分配法：適于規(guī)則的有側(cè)移剛架。(3)迭代法：適于梁的剛度大于柱剛度的各種剛架。它們都屬于位移法的漸近解法。漸近法概述第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五彎矩分配法的基本概念彎矩分配法理論基礎(chǔ)：位移法；計算對象：桿端彎矩；計算方法：逐漸逼近的方法；適用范圍：連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力。在數(shù)值上=僅使桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)動時需在桿端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB與桿的i（材料的性質(zhì)、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關(guān)，而與近端支承無關(guān)。一、轉(zhuǎn)動剛度S：第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五分配系數(shù)SAB

=4i1SAB=3i11SAB=i二、分配系數(shù)設(shè)A點有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiADM如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五三、傳遞系數(shù)MAB=4iAB

AMBA=2iAB

AMAB

=3iABAMAB=iABAMBA=-iAB

A在結(jié)點上的外力矩按各桿分配系數(shù)分配給各桿近端截面，各桿遠端彎矩分別等于各桿近端彎矩乘以傳遞系數(shù)。AlAB近端遠端ABAAAB第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五四、桿端彎矩:支座對靠近支座的桿件這一端的彎矩1.計算桿端彎矩的目的2.近端彎矩和遠端彎矩3.桿端彎矩一律以順時針方向為正第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五固端彎矩：對單跨超靜定梁僅由荷載引起的桿端彎矩，稱為固端彎矩，用表示。MM五、固端彎矩將每相鄰兩節(jié)點之間的桿件視為一根兩端支座為固定支座的單跨梁，這樣的梁在各種外荷載作用下的桿端彎矩叫做固端彎矩。第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五——基本運算ABCABCMBMBABC-MB0-MB+=最后桿端彎矩：MBA=MBC=MAB=然后各跨分別疊加簡支梁的彎矩圖，即得最后彎矩圖。固端彎矩帶本身符號單結(jié)點的彎矩分配第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五例1.用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B點加約束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB= MBA+MBC=-150150-90（2）放松結(jié)點B，即加-60進行分配60ABC-60設(shè)i=EI/l計算轉(zhuǎn)動剛度：SBA=4iSBC=3i分配系數(shù)：0.5710.429分配力矩:-34.3-25.7-17.20+(3)最后結(jié)果。合并前面兩個過程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M圖(kN·m)ABC=第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五多結(jié)點的彎矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——漸近運算第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五CB例1.用彎矩分配法列表計算圖示連續(xù)梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN0.40.60.6670.333m-6060-100100分配與傳遞-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M圖（kN·m）第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M圖（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q圖（kN）求支座反力68.256.4B124.6第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五上題若列位移法方程式，用逐次漸近解法：(1)將上式改寫成(2)余數(shù)(3)BC第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08結(jié)果B=48.84C=-82.89精確值48.88-82.06

MBC=4iBCB+2iBCC-100=第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五

1）單結(jié)點彎矩分配法得到精確解；多結(jié)點彎矩分配法得到漸近解。

2）首先從結(jié)點不平衡力矩絕對值較大的結(jié)點開始。

3）結(jié)點不平衡力矩要變號分配。

4）結(jié)點不平衡力矩的計算：結(jié)點不平衡力矩（第一輪第一結(jié)點）固端彎矩之和（第一輪第二、三……結(jié)點）固端彎矩之和加傳遞彎矩傳遞彎矩（其它輪次各結(jié)點）總等于附加剛臂上的約束力矩5）不能同時放松相鄰結(jié)點（因定不出其轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)），但可以同時放松所有不相鄰的結(jié)點，以加快收斂速度。彎矩分配法小結(jié)：第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五0.222111ABCDFEBCmBA=40kN·mmBC=-41.7kN·mmCB=41.7kN·m0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M圖例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五ABC1m5m1mEI=常數(shù)D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3.帶懸臂桿件的結(jié)構(gòu)的彎矩分配法。50kN·mABMM/2ABC1m5m1mEI=常數(shù)D50kN第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五4EI4EI2EI2EI用彎矩分配法計算，作M圖。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓10kN/m20kN5m5m1m4m20kN20結(jié)點桿端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(－20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09

ABCEF第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五－2.85結(jié)點桿端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.4227.80－24.9619.940.560.29計算之前,去掉靜定伸臂,將其上荷載向結(jié)點作等效平移。有結(jié)點集中力偶時,結(jié)點不平衡力矩=固端彎矩之和－結(jié)點集中力偶(順時針為正)第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i↓↓↓↓↓↓20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iμAG=0.5μAC=0.5μCA=0.4μCH=0.2μCE=0.4結(jié)點桿端ACEAGACCACHCECHmμ0.50.50.40.20.4－15對稱結(jié)構(gòu)的計算第三十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期五0.50.50.40.20.4－157.57.53.75－1.50－0.75－1.50－0.75－0.750.370.380.19－0.08－0.03－0.08－0.04－0.040.020.02結(jié)點桿端ACEAGACCACHCECHmμM－7.117.112.36－0.78－1.58－0.79↓↓↓