近世代數(shù)子環(huán)環(huán)的同態(tài)

近世代數(shù)子環(huán)環(huán)的同態(tài)第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五研究方法：近世代數(shù)

代數(shù)系統(tǒng)（帶有運算的集合）群

環(huán)域

1、研究其子系統(tǒng)、商系統(tǒng)

（從內部入手）（從外部入手）2、研究其同態(tài)和同構子系統(tǒng)：子群、子環(huán)、子域商系統(tǒng)：商群、商環(huán)、商域§3.5：子環(huán)、環(huán)的同態(tài)第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五教學目的：§3.5：子環(huán)、環(huán)的同態(tài)（1）掌握子環(huán)（子除環(huán)，子整環(huán)，子域）的定義及其等價條件；（2）掌握環(huán)的同態(tài)及其若干性質；（3）理解并能使用“挖補定理”;（4）掌握類比的數(shù)學思想.第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五一、子環(huán)定義及等價條件（與群相類比給出）：下面我們把環(huán)與群類比，把環(huán)看作是具有一個乘法運算的加群，即設想加群是基礎，而乘法是環(huán)的“靈魂”。

甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的工具是歸納和類比。

——法國數(shù)學家拉普拉斯

類比是通過兩類不同對象A,B間的某些屬性的相似，從而A具有某種其他屬性便猜想B也有這種屬性。第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五在群論中在環(huán)論中定義1：設，稱G為群，若G對其上的一種代數(shù)運算滿足：（I）閉合律；（II）結合律；（III）存在單位元；（IV）G中任一元素存在逆元。定義3：設為群，稱G的子集H為G的子群，若對于G的乘法來說H也作成一個群。記作：。定義2：設，且R帶有加法和乘法兩種運算，稱R為環(huán)，若R滿足

(i)為加群；

(ii)為半群；

(iii)分配律成立。定義4：設，R為環(huán)（除環(huán)，整環(huán)，域）,稱R的子集S為的R子環(huán)（子除環(huán)，子整環(huán)，子域），若S對于R的代數(shù)運算來說也作成一個環(huán)（除環(huán)，整環(huán)，域）

。記作：（S是R的子環(huán)時）。第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例1：一個環(huán)R至少包含兩個子環(huán)R和。例2：設R=Z,則是R的子環(huán)。二、子環(huán)的存在性及其例子：（平凡子環(huán)）例3：設R=Mn(F)

(域F上的全矩陣環(huán)），則是R的子環(huán)。（因為，的元素可交換）（子除環(huán)、子域）第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例4：設，，?？梢则炞C，例5：設。

則容易驗證：第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例6：設?，F(xiàn)定義的運算：（1）容易驗證，關于所定義的運算構成一個環(huán)。（2）容易驗證令。第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五定義：設和是兩個環(huán)，則稱和同態(tài)（同構），若滿足三、環(huán)的同態(tài)及其若干性質（2）

保持運算（保持加法和乘法運算）此時記和的同態(tài)（同構）為：。（1）存在滿射（雙射）；第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例7：設，,作。

容易驗證是同態(tài)。例8：設，。現(xiàn)定義的運算：（1）可以驗證，關于所定義的運算構成一個環(huán)。（2）容易驗證是同態(tài)。第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五具有同樣多代數(shù)運算的代數(shù)系統(tǒng)間的同態(tài)可以保持相應的結合律、交換律和分配律。定理2（§1.8,P22）：假定，都是集合A的代數(shù)運算，都是集合的代數(shù)運算，和同態(tài)，那么，（i）若適合第一分配律，也適合第一分配律；（ii）若適合第二分配律，也適合第二分配律。定理1（§1.8,P22）：假定，對于代數(shù)運算和來說，和同態(tài)，那么，（i）若適合結合律，也適合結合律；（ii）若適合交換律，也適合交換律。第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五定理b(P43)：設，為兩個群，若，則有：（1）的單位元的同態(tài)象是的單位元；（2）的元的逆元的同態(tài)象是的同態(tài)象的逆元。定理a(P40)：設G，，都帶有一種代數(shù)運算，且,若G為群則也是一個群.在群論中在環(huán)論中定理1：設與都帶有加法和乘法兩種運算,且，若是環(huán)，則也是環(huán)。定理2：設和是兩個環(huán)，若，則有：（1）；（2）；（3）可交換，則也可交換；（4）有單位元1，則也有單位元，且。第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五

由上面的討論我們可以看出，經(jīng)過了一個同態(tài)滿射之后，環(huán)的單位元和交換律是可以保持的。

我們知道，若干普通計算方法在一個一般的環(huán)里不成立，它們要在有附加條件的環(huán)里才能成立。由§3.2知，環(huán)里的三種非常重要附加條件是：交換律、單位元和零因子。

那么現(xiàn)在的問題是：一個環(huán)有沒有零因子這個性質經(jīng)過了一個同態(tài)滿射之后可不可以保持呢？

第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例7：設，,作。

（1）容易驗證是同態(tài)。（2）可以看出無零因子，而卻有零因子，因為。注：此例表明：，無零因子，但卻有零因子。反過來，結論又會如何呢？

即若，無零因子，是否有零因子呢？第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例8：設，?，F(xiàn)定義的運算：（1）容易驗證，關于所定義的運算構成一個環(huán)。作。（2）容易驗證是同態(tài)。（3）可以看出無零因子，而卻有零因子，因為對于，我們有。注：此例表明：，有零因子，但卻沒有零因子。第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五

但若把同態(tài)換為同構的話，則這個環(huán)的代數(shù)性質當然沒有什么區(qū)別了，所以有：上兩例表明：一個環(huán)有沒有零因子這個性質經(jīng)過了一個同態(tài)滿射后不一定能保持的。（除環(huán)、域）（除環(huán)、域）定理3：設和是兩個環(huán)，并且，那么若是整環(huán)，則也是整環(huán)。第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五RRS～RS～圖1圖2本節(jié)最后，我們介紹在環(huán)論中常用到的一個定理：挖補定理。R第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五定理4：(挖補定理）設是環(huán)的一個子環(huán)，且與環(huán)同構，即。又若，即同在里的余集無公共元素，則存在環(huán)，使得，。RRS～第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五思路分析：(1)構造；(2)作到的對應關系并證明是雙射；(4)證明。

（只需證明原有的運算和新定義的運算是一致的）

(3)在中定義兩個代數(shù)運算，并證明;

（P99的引理）第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五證明：令，。且在該同構之下，。的元素我們用來表示。這樣，（1）現(xiàn)在我們作一個新的集合：

并規(guī)定一個法則：。

第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五（2）容易驗證是個雙射。（3）利用這個雙射在中定義運算：

容易證明，這些運算是的兩個代數(shù)運算。

事實上，給定了，因而可在中找到唯一的，從而也可以找到唯一的。綜上，我們可以得到。第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五.(我們只須證明原有的運算和新定義的運算是一致的即可）假設上原有的運算為和，，下證：

事實上，（上所定義的加法運算）（因為為同構，從而保持加法運算）

（因為為同構）

（由的定義）

第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五（因為為同構，從而保持乘法運算）（由的定義）

（上所定義的乘法運算）（因為為同構）

綜上，

。證畢RRS～第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期五例9：設，?，F(xiàn)定義的運算：（1）容易驗證，關于所定義的運算構成一個環(huán)。（2）容易驗證是同態(tài)。令。