
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文檔簡介
教學(xué)設(shè)計(jì)導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié),我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并接觸了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運(yùn)算,這一節(jié),我們先學(xué)習(xí)向量的加法.提出問題數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢?類比數(shù)的加法,猜想向量的加法,應(yīng)怎樣定義向量的加法?物理模型1.(問題導(dǎo)入)2004年大陸和臺灣沒有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么?2008年以后有了直航,對比兩次路線。推進(jìn)新課物理模型2.圖表示橡皮條在兩個力的作用下,沿著GC的方向伸長了EO;圖2(2)表示撤去F1和F2,用一個力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長相同的長度.圖2改變力F1與F2的大小和方向,重復(fù)以上的實(shí)驗(yàn),你能發(fā)現(xiàn)F與F1、F2之間的關(guān)系嗎?力F對橡皮條產(chǎn)生的效果與力F1與F2共同作用產(chǎn)生的效果相同,物理學(xué)中把力F叫做F1與F2的合力.合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系呢?由圖2(3)發(fā)現(xiàn),力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線上,并且大小等于平行四邊形對角線的長.數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運(yùn)算的角度看,F可以認(rèn)為是F1與F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.引入向量加法概念求兩個向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.具體操作向量的加法運(yùn)算1°向量加法的三角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),則由第一個向量的起點(diǎn)指向第二個向量的終點(diǎn)的向量即為和向量.首尾相連由首至尾。位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.2°向量加法的平行四邊形法則圖4如圖4,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線就是a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.(起點(diǎn)相同,對角為和)力的合成可以看作向量加法的物理模型.繼續(xù)推廣:多邊形法則。提出問題①對于零向量與任一向量的加法,結(jié)果又是怎樣的呢?②兩共線向量求和時(shí),用三角形法則較為合適.當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個向量時(shí),它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系?③思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系?④數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,運(yùn)算律可以有效地簡化運(yùn)算.類似地,向量的加法是否也有運(yùn)算律呢?、②兩個數(shù)相加其結(jié)果是一個數(shù),對應(yīng)于數(shù)軸上的一個點(diǎn);在數(shù)軸上的兩個向量相加,它們的和仍是一個向量,對應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段.③當(dāng)a,b不共線時(shí),|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí),|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí),|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當(dāng)向量a的長度大于向量b的長度時(shí),|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長度小于向量b的長度時(shí),|a+b|=|b|-|a|.一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|.④如圖5,作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作ABCD,則=b,=a.因?yàn)?+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.如圖6,因?yàn)?+=(+)+=(a+b)+c,==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).綜上所述,向量的加法滿足交換律和結(jié)合律.圖5圖6應(yīng)用示例如圖7,已知向量a、b,求作向量a+b.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向量加法的作圖中,學(xué)生體會作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O的依據(jù)——它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性.在向量作圖時(shí),一般都需要進(jìn)行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連.圖7圖8圖9解:作法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖8),作=a,=b,則=a+b.作法二:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖9),作=a,=b.以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,連接OC,則=a+b.活動:根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接,再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序,然后相加.點(diǎn)評:要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來求和向量.例2長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖10所示,一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時(shí)江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字);(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).圖10圖11活動:本例結(jié)合一個實(shí)際問題說明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用.這樣的問題在物理中已有涉及,這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算,體會其中應(yīng)解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意,將實(shí)際問題反映在向量作圖上,從而與初中學(xué)過的解直角三角形建立聯(lián)系.解:如圖11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實(shí)際航行的速度.(2)在Rt△ABC中,||=2,||=5,所以||=≈5.4.因?yàn)閠an∠CAB=,由計(jì)算器得∠CAB=70°.答:船實(shí)際航行速度的大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為70°.點(diǎn)評:用向量法解決物理問題的步驟為:先用向量表示物理量,再進(jìn)行向量運(yùn)算,最后回扣物理問題,解決問題.變式訓(xùn)練(學(xué)生板演)如圖14,渡船的實(shí)際速度、船速與水速應(yīng)滿足+=.圖14解:設(shè)表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船實(shí)際垂直過江的速度,以AB為一邊,AC為對角線作平行四邊形,就是船的速度.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.答:渡船的航向?yàn)楸逼?0°.點(diǎn)評:根據(jù)題意畫出草圖,是解決問題的關(guān)鍵.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結(jié)合律,幾何作圖,向量加法的實(shí)際應(yīng)用.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法:特殊與一般,歸納與類比,數(shù)形結(jié)合,分類討論,特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法.這種遷移類比的方法將把我們引向數(shù)學(xué)的王國,科學(xué)的殿堂.作業(yè)設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)內(nèi)容是向量的加法,運(yùn)算法則有三角形法則和平行四邊形法則,而兩個法則的運(yùn)用有各自的條件:三角形法則適合于首尾順次相接的兩向量相加,對于共線向量的加法仍然適合;而平行四邊形法則適合于兩個同起點(diǎn)的向量相加,對于共線向量卻不能用此法解決.三角形法則可以推廣到多個首尾順次相接的向量的加法.2.本節(jié)要求使用多媒體輔助教學(xué),便于直觀、生動地揭示向量加法的概念,突破難點(diǎn),提高效率,因?yàn)楸竟?jié)解決問題的方法主要是借助圖形,采用數(shù)形結(jié)合的思想方法.多讓學(xué)生動手畫圖,識圖,讓學(xué)生在動態(tài)中經(jīng)歷和體會概念的形成過程.讓學(xué)生自己類比、猜想、發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用新知識解決問題.學(xué)情分析向量的加法是學(xué)生在認(rèn)識向量概念之后首先要掌握的運(yùn)算,是向量的第二節(jié)內(nèi)容.其主要內(nèi)容是運(yùn)用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對向量加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行證明,同時(shí)運(yùn)用他們進(jìn)行相關(guān)計(jì)算,這可讓同學(xué)們進(jìn)一步加強(qiáng)對向量幾何意義的理解,同時(shí)也為接下來學(xué)習(xí)向量的減法奠定基礎(chǔ),起到承上啟下的重要作用.學(xué)生已經(jīng)通過上節(jié)的學(xué)習(xí),掌握了向量的概念、幾何表示,理解了什么是相等向量和共線向量.在學(xué)習(xí)物理的過程中,已經(jīng)知道位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成,而且知道這些矢量的合成都遵循平行四邊形法則,這為本課題的引入提供了較好的條件.培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題,本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密,更應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的意識.在向量加法的概念中,由于涉及到兩個向量有不平行和平行這兩種情況,因此有利于滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想,而在猜測向量加法的運(yùn)算律時(shí),通過引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律進(jìn)行類比.則能培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移等能力.在實(shí)際教學(xué)中,類比數(shù)的運(yùn)算,向量也能夠進(jìn)行運(yùn)算.運(yùn)算引入后,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實(shí)際上,引入一個新的量后,考察它的運(yùn)算及運(yùn)算律,是數(shù)學(xué)研究中的基本問題.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會考察一個量的運(yùn)算問題,最主要的是認(rèn)清運(yùn)算的定義及其運(yùn)算律,這樣才能正確、方便地實(shí)施運(yùn)算.向量的加法運(yùn)算是通過類比數(shù)的加法,以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景引入的.這樣做使加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上,同時(shí)還可以提醒學(xué)生注意,由于向量有方向,因此在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),不但要考慮大小問題,而且要考慮方向問題,從而使學(xué)生體會向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別.這樣做,有利于學(xué)生更好地把握向量加法的特點(diǎn).效果分析讓學(xué)生自己操作三角形法則和平行四邊形法則,理解并記憶。例1和跟蹤訓(xùn)練1讓學(xué)生利用加法法則和運(yùn)算律解決化簡問題。例2和跟蹤訓(xùn)練2讓學(xué)生進(jìn)一步用加法法則和運(yùn)算律來解決現(xiàn)實(shí)的實(shí)際問題,尺規(guī)作圖,跟蹤訓(xùn)練學(xué)生偏難,需要指導(dǎo)。小練習(xí)讓學(xué)生直接應(yīng)用兩個向量的和的模的大小范圍來計(jì)算。課后達(dá)標(biāo)讓學(xué)生根據(jù)這節(jié)課所學(xué)內(nèi)容來解決,檢測學(xué)習(xí)成果。教材分析《普高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)(必修(4))》(人教(版))。第二章2.2平面向量的線性運(yùn)算的第一節(jié)“向量的加法及其幾何意義”(89--94頁)。高考考綱有明確說明,同時(shí)新課標(biāo)也提出向量是數(shù)學(xué)的重要概念之一,在高考中的考查主要集中在兩個方面:①向量的基本概念和基本運(yùn)算;②向量作為工具的應(yīng)用。另外,在今后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角形式與向量形式時(shí),還要用到向量的有關(guān)知識及思想方法,向量也是將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)以及力學(xué)、電學(xué)等學(xué)科的重要工具。教材的第2.1節(jié)通過物理實(shí)例引入了向量的概念,介紹了向量的模、相等的向量、負(fù)向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本節(jié)課是繼向量基本概念的第一節(jié)課。向量的加法是向量的第一運(yùn)算,是最基本、最重要的運(yùn)算,是學(xué)習(xí)向量其他運(yùn)算的基礎(chǔ)。它在本單元的教學(xué)中起著承前啟后的作用,同時(shí)它在實(shí)際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。正如第二章的引言中所說:如果沒有運(yùn)算,向量只是一個“路標(biāo)”,因?yàn)橛辛诉\(yùn)算,向量的力量無限。例1、化簡ABCEDABCED(1);(2);(3);(4);(5).例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪船進(jìn)行運(yùn)輸,如圖所示,一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā),以2QUOTE33km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時(shí)江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度;(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度的夾角來表示)。跟蹤訓(xùn)練2:船在靜水中的速度為6Km/h,水流的速度為3km/h,則它必須朝哪個方向開,才能保證船沿水流的垂直方向前進(jìn)?船實(shí)際前進(jìn)的速度為多少?課后達(dá)標(biāo)A組:1.在平行四邊形ABCD中,等于()A.B.C.D.2.下列等式不正確的是().A.B.C.D.3.在平行四邊形ABCD中,O是對角線的交點(diǎn).下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(DA,\s\up6(→))4.=;=.B組:1、在矩形ABCD,,則向量的長度等于()A.B.C.12D.62、已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|=8,|eq\o(AC,\s\up6(→))|=5,則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是3、若E,F(xiàn),M,N分別是四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求證:eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(NM,\s\up6(→)).課后反思本節(jié)內(nèi)容是向量的加法運(yùn)算及其幾何意義,運(yùn)算法則有三角形法則和平行四邊形法則,而兩個法則的運(yùn)用有各自的條件:三角形法則適合于首尾相連由首至尾的兩向量相加,對于共線向量的加法仍然適合;而平行四邊形法則適合于兩個同起點(diǎn)的向量相加,對于共線向量卻不能用此法解決.三角形法則可以推廣到多個首尾順次相接的向量的加法.本節(jié)要求使用多媒體輔助教學(xué),便于直觀、生動地揭示向量加法的概念,突破難點(diǎn),提高效率,因?yàn)楸竟?jié)解決問題的方法主要是借助圖形,采用數(shù)形結(jié)合的思想方法.多讓學(xué)生動手畫圖,識圖,讓學(xué)生
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