微積分下第五章

第四節(jié)

曲面柱面與旋轉(zhuǎn)曲面二次曲面播放定義一、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線L

并沿定曲線C移動(dòng)的直線所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L

叫柱面的母線.xy2z

l準(zhǔn)線xoy面上的曲線l1.母線平行于z

軸;一般地,在三維空間方程F

(x,y)=0

表示柱面,方程G(y,z)=0

表示柱面,母線平行于x

軸;準(zhǔn)線yoz

面上的曲線l2.方程H

(z,x)=0

表示柱面,母線平行于y軸;準(zhǔn)線xoz

面上的曲線l3.xyzl3xyz1l柱面舉例xozxozyy2

=

2

xy拋物柱面y

=

x平面從柱面方程看柱面的特征：只含x,y

而缺z

的方程F

(x,y)=0，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z

軸的柱面，其準(zhǔn)線為xoy

面上曲線C

.（其他類(lèi)推）實(shí)例y2

z2b2

+

c2

=

1橢圓柱面//x軸=

1x2

y2a2

-

b2zx2

=

2

pz雙曲柱面

//

軸拋物柱面//y

軸二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放xozyM1

(0,

y1

,

z1

)f

(

y,

z)

=

0M設(shè)M

(x,y,z),(1)

z

=

z1（2）點(diǎn)M

到z

軸的距離1d

=

x2

+

y2

=|

y

|旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖代入將

z

=

z

,

y

=

–

x2

+

y21

1f

(

y1

,

z1

)

=

0d11y

=

–

x2

+

y2將

z

=

z

,代入f

(y1

,z1

)=0得方程

f

–

x2

+

y2

,

z

=

0,yoz坐標(biāo)面上的已知曲線f

(y,z)=0繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.同理：yoz

坐標(biāo)面上的已知曲線f

(y,z)=0繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為f

y,

–

x2

+

z2

=

0.例

1

直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面．兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面

2

的頂點(diǎn)，兩直線的夾角a

0

<a<p叫圓錐面的半頂角．試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為a

的圓錐面方程．M

(

x,

y,

z)解

yoz

面上直線方程為z

=

y

cota圓錐面方程z

=

–

x

2

+

y

2

cotaooxxzzM1

(0,

y1

,

z1

)yy即:

z2

=

(

x2

+

y2

)

cot2

a例2

將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．x

2

z

2（1）雙曲線

-

c

=

1分別繞x軸和z

軸；a

2

2繞x

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)=

1c2y2

+

z2a2

-x2-

c2

=

1z2a2x2

+

y2旋轉(zhuǎn)雙曲面（2）橢圓+ =

122

x

=

0z

2a

c

y

2繞y軸和z

軸；繞y

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)=

1c2x2

+

z2a2

+y2+

c2

=

1z2a2x2

+

y2旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋物線x

=

0

y

2

=

2

pz繞z

軸；x2

+

y2

=

2

pz旋轉(zhuǎn)拋物面兩個(gè)基本問(wèn)題:已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡,求曲面方程.已知方程,研究它所表示的幾何形狀三、二次曲面例

3

建立球心在點(diǎn)M

0

(

x0

,

y0

,

z0

)、半徑為R的球面方程.解設(shè)M

(x,y,z)是球面上任一點(diǎn)，|

MM0

|=

R根據(jù)題意有2

2

2(x

-

x0

)

+

(y

-

y0

)

+

(z

-

z0

)

=

R2

2

2

2所求方程為(x

-x0

)+(y

-y0

)+(z

-z0

)=R特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為

x2

+

y2

+

z2

=

R2例4.研究方程的曲面.解:配方得此方程表示:表示怎樣半徑為5

的球面.球心為M0

(1,-2,0),ozyx（一）橢球面x2

y2

z2a2

+

b2

+

c2

=

1常見(jiàn)二次曲面(1)范圍：x

￡

a,

y

￡

b,

z

￡

c(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓=

1

,z

=

0

x2

y2

a2

+

b2

x

=

0

y

=

0

y2

z2

x2

z2

b2

+

c2

=

1

,

a2

+

c2

=

1(3)截痕:

與

z

=

z1

(

z1

<

c)的交線為橢圓：)21221222+ =

1(c

-

z(c

-

z

)x2

y2c2bc2az

=

z1同樣

y

=

y1

(

y1

￡

b

)及的截痕也為橢圓.橢球面的幾種特殊情況：(1)

a

=

b,x2

y2

z2a2

+

a2

+

c2

=

1旋轉(zhuǎn)橢球面x2

z2由橢圓

a2

+

c2

=

1

繞軸旋轉(zhuǎn)而成．z+

c2

=

1z2a2x2

+

y2方程可寫(xiě)為x2

y2

z2a2

+

a2

+

a2

=

1球面(2)

a

=

b

=

c,方程可寫(xiě)為x2

+

y2

+

z2

=

a2

.（二）拋物面+2

p

2qx2

y2zxyop

<

0,

q

<

0xy=z

（

p

與q

同號(hào)）橢圓拋物面zop

>

0,

q

>

0特殊地：當(dāng)p

=q

時(shí)，方程變?yōu)?

=

z2

p

2

px2

y2旋轉(zhuǎn)拋物面(

p

>

0)+-2

p

2qx2

y2=z（

p

與q

同號(hào)）xy雙曲拋物面（馬鞍面）zo（三）雙曲面單葉雙曲面+

- =

1a2

b2

c2x2

y2

z2x2

y2

z2a2

+

b2

-

c2

=

-1雙葉雙曲面-202-2-1012-202xyo010-20-10010-1020-50510

-10zy2

2a

b

cx

2

y

2

z

2+

2

－

=

0

(a

,

b,

c

>

0)(四)橢圓錐面p特別：z2

=

x2

+

y2為頂點(diǎn)在原點(diǎn),半頂角為的圓錐面.4z0-2-4-4-2024x-442-224sinx0曲面方程的概念F

(x,y,z)=0.旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線、準(zhǔn)線).四、小結(jié)思考題指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？(1)

x=

2;

(2)

x2

+

y2

=

4;(3)

y

=

x

+

1.思考題解答方程平面解析幾何中空間解析幾何中x

=

2平行于y

軸的直線平行于yoz

面的平面x2

+

y2

=

4圓心在(0,0)，半徑為2的圓以z

軸為中心軸的圓柱面y

=

x

+

1斜率為1的直線平行于z

軸的平面x2

y2

z2一、填空題：1、與Z

軸和點(diǎn)A(1,3,-1)等距離的點(diǎn)的軌跡方程是

；2、以點(diǎn)O(2

,-2,

1)為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程是

；3、球面：

x2

+

y2

+

z2

-

2

x

+

4

y

-

4z

-

7

=

0的球心是點(diǎn)

，半徑R=

；4、設(shè)曲面方程

+

+ =1，當(dāng)a

=

b

時(shí)，曲面可由a2

b2

c2xoz

面上以曲線

繞

軸旋轉(zhuǎn)面成，或由yoz

面上以曲線

繞

軸旋轉(zhuǎn)面成

;練習(xí)題6、曲面42+

z

=15、若柱面的母線平行于某條坐標(biāo)軸，則柱面方程的特點(diǎn)是

；y2x

-是由

繞

軸放置一周所形成的；7、曲面(z

-

a)2

=

x2

+

y2

是由

繞

軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的；8、方程x

=

2在平面解析幾何中表示

在空間解析幾何中表示

；9、方

程

x2

+

y2

=

4

在

平

面

解

析

幾

何

中

表

示

，在空間解析幾何中表示

.二、畫(huà)出下列各方程所表示的曲面：22

222a

a+

y

=

(

)1、(x

-)；x

2

z

22、

+ =

1

；9

43、z

=

2

-

x

2

.練習(xí)題答案x

2

z

2

y2

z

2

x

2

y2一、1、z

2

-2

x

-6

y

+2z

+11

=0；2、x

2

+y2

+z

2

-4

x

+4

y

-2z

=0；3、(1,-2,2),4；4、

+ =

1,

z,

+ =

1,

z,

+ =

1,

y,a

2

c2

b2

c2

a

2

b2y2

z

2b2

+

c2=1,y； 5、不含與該坐標(biāo)軸同名的變量；y226、xoy面上的雙曲線x

-

4

=

1,

y

；7、yoz面上的直線

z

=

y

+

a,

z

；8、平行于y

軸的一條直線,與yoz

面面平行的平面；9、圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓,軸為z軸,半徑為2的圓柱面.二、旋轉(zhuǎn)曲面定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)曲面曲面的軸．定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)定義三、柱面平行于定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L

叫柱面的母線.觀察柱面的形成過(guò)程:定義三、柱面平行于定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L

叫柱面的母線.觀察柱面的形成過(guò)程:定義三、柱面平行于定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L

叫柱面的母線.觀察柱面的形成過(guò)程:定義三、柱面平行于定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L

叫柱面的母線.觀察柱面