2023人教A版高中數(shù)學第一章集合與常用邏輯用語講義

第一章集合與常用邏輯用語

1.4充分條件與必要條件

例1下列”若p,則4”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；

（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；

（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形對角線互相垂直；

（4）若幺=1，貝心=1;

（5）若a=6,則ac=be；

（6）若x,y為無理數(shù)，則移為無理數(shù).

解：（1）這是一條平行四邊形的判定定理，PF，所以p是q的充分條件.

（2）這是一條相似三角形的判定定理，PF，所以p是q的充分條件.

（3）這是一條菱形的性質定理，P=q,所以p是q的充分條件.

（4）由于（一1）2=1,但一1/1，P書q,所以p不是q的充分條件.

（5）由等式的性質知，P=>q,所以p是4的充分條件

（6）夜為無理數(shù)，但、歷x0=2為有理數(shù)，P書q，所以p不是4的充分條件.

例2下列“若p,則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？

（1）若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；

（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；

（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；

（4）若x=l,則f=1；

（5）若ac=be,則a=6；

（6）若劃為無理數(shù)，則x,y為無理數(shù).

解：（1）這是平行四邊形的一條性質定理，P=q,所以，g是2的必要條件.

（2）這是三角形相似的一條性質定理，P=q,所以，4是p的必要條件.

（3）如圖1.4-1,四邊形ABCO的對角線互相垂直，但它不是菱形，P*q,所以，q不

是p的必要條件.

圖1.4-1

（4）顯然，P=q,所以，q是p必要條件.

（5）由于（-l）xO=lxO,但一1工1，p書q,所以，q不是p的必要條件.

（6）由于lx、/5=為無理數(shù)，但1，、反不全是無理數(shù)，P力q,所以，q不是p的

必要條件.

例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？

（Dp：四邊形是正方形，q-.四邊形的對角線互相垂直且平分；

（2）p,兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例；

（3）p-.孫>0,q：x>0,y>0；

（4）p：x=l是一元二次方程ar2+法+0=0的一個根，q.a+b+c-Q（a0）.

解：（1）因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形（為什么），所以

所以P不是°的充要條件.

（2）因為“若p,則是相似三角形的性質定理，“若q,則是相似三角形的判定定理，

所以它們均為真命題，即P=4,所以p是q的充要條件.

（3）因為孫>0時，x>0,y>0不一定成立（為什么），所以〃力4,所以p不是4

的充要條件.

（4）因為“若p,則q”與“若“，則p”均為真命題，即，=4,所以"是q的充要條件.

例4已知：。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為".求證：</=r是直線/與..。相切

的充要條件.

分析：設p：d=r,q：直線/與。相切.要證p是q的充要條件，只需分別證明充分性

（。=4）和必要性（"=〃）即可.

證明：設P：d=r,q：直線/與oo相切.

（1）充分性（。=4）：如圖142,作OP，/于點尸，則.若d=r,則點P在

OO上.在直線/上任取一點。（異于點P）,連接OQ.在Rt^OPQ中，OQ>O尸=心所

以，除點P外直線/上的點都在。的外部，即直線/與。僅有一個公共點尸.所以直線/

與：。相切.

PQ

圖1.4-2

（2）必要性（4=〃）：若直線/與一。相切，不妨設切點為尸，則因此，

d=OP=r.

由（1）（2）可得，d=r是直線/與。。相切的充要條件.

1.4.1充分條件與必要條件

練習

1.下列“若p,則形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若平面內(nèi)點P在線段的垂直平分線上，則A4=PB；

（2）若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；

（3）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積比等于周長比的平方.

【答案】（1）p是q的充分條件；（2）p不是q的充分條件；（3）p是q的充分條件

【解析】

【分析】

根據(jù)所給命題，判斷出能否得到〃=4,從而得到p是否是q的充分條件，得到答

案.

【詳解】（1）線段垂直平分線的性質，P=q,p是4的充分條件；

（2）三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等，P中q,p

不是q的充分條件；

（3）相似三角形的性質，p是q的充分條件.

【點睛】本題考查判斷是否為充分條件，屬于簡單題.

2.下列“若p,則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？

（1）若直線/與一。有且僅有一個交點，則/為一。的一條切線；

（2）若光是無理數(shù)，則/也是無理數(shù).

【答案】（1）g是p的必要條件；（2）q不是p的必要條件

【解析】

【分析】

根據(jù)所給命題，判斷出能否得到0=4,從而得到q是否是p的必要條件，得到答

案.

【詳解】（1）這是圓的切線定義，P=q,所以4是p的必要條件；

（2）由于右是無理數(shù)，但（血尸=2不是無理數(shù)，P由q,

所以q不是p的必要條件.

【點睛】本題考查判斷是否為必要條件，屬于簡單題.

3.如圖，直線a與方被直線/所截，分別得到了Nl,Z2,N3和N4.請根據(jù)這些

信息，寫出幾個〃6’的充分條件和必要條件.

【答案】充分條件和必要條件見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)?！ㄈ丝梢缘玫絻?nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，根據(jù)內(nèi)錯角相等，同

位角相等，同旁內(nèi)角互補，得到“〃江

【詳解】因為內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，得到a〃人，

所以“a〃6’的充分條件：Z1=Z2,N1=N4,Zl+Z3=180°；

因為a〃?？梢缘玫絻?nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，

所以“a〃b”的必要條件：Z1=Z2,N1=N4，Z1+Z3=18O0.

a

3

b______'

【點睛】本題考查充分條件和必要條件，屬于簡單題.

1.4.2充要條件

練習

4.下列各題中，哪些p是q的充要條件？

（1）P-.三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；

（2）P：。內(nèi)兩條弦相等，q-。內(nèi)兩條弦所對的圓周角相等；

（3）P：AcB為空集，q：A與B之一為空集.

【答案】（1）p是4的充要條件；（2）p不是g的充要條件；（3）p不是“的充要條

件

【解析】

【分析】

根據(jù)所給命題，判斷出能否得到p=從而得到「是否是"的充要條件，得到答

案.

【詳解】在（1）中，三角形中等邊對等角，等角對等邊，所以〃=4,所以P是q

的充要條件；

在（2）中，。。內(nèi)兩條弦相等，它們所對的圓周角相等或互補，

因此，P書q,所以p不是q的充要條件；

在（3）中，取4={1,2},B={3},

顯然，AB=0,但A與8均不為空集，

因此，p與q,所以p不是q的充要條件.

【點睛】本題考查充要條件的判斷，屬于簡單題.

5.分別寫出“兩個三角形全等”和“兩個三角形相似”的幾個充要條件.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形全等的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，得到答案.

【詳解】''兩個三角形全等'’的充要條件如下：

①三邊對應相等；②兩邊及其夾角對應相等；③兩角及其夾邊對應相等；④兩角及

一角的對邊對應相等.

“兩個三角形相似”的充要條件如下：

①三個內(nèi)角對應相等（或兩個內(nèi)角對應相等）；②三邊對應成比例；③兩邊對應成

比例且夾角相等.

【點睛】本題考查寫命題的充要條件，屬于簡單題.

6.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件是AC=8D.

BC

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

先由梯形ABCO為等腰梯形，證明AC=8D,驗證必要性；再由AC=8□證明梯形

ABC。為等腰梯形，驗證充分性，即可得出結論成立.

【詳解】證明：（1）必要性.

在等腰梯形ABC。中，AB=DC，ZABC=NDCB,

又?：BC=CB,_BAC=_CDB,：.AC=BD.

（2）充分性.

如圖，過點。作。交6C的延長線于點￡

■：ADUBE,.?.四邊形是平行四邊形DE=AC.

VAC=BD,:.BD=DE,二ZE=4

又,/AC//DE,，Z2=ZE,N1=N2.

AC=DB,

在「ABC和,DO?中，＜Z2=Z1,

BC=CB,

：.ABC=^DCB.：.AB=DC.

，梯形ABC。為等腰梯形.

由(1)(2)可得，梯形ABCO為等腰梯形的充要條件是AC=3D

【點睛】本題主要考查充要條件的證明，熟記充分條件與必要條件的概念即可，屬

于?？碱}型.

習題1.4

復習鞏固

7.舉例說明：

(1)P是q的充分不必要條件；

(2)p是q的必要不充分條件；

(3)p是q的充要條件.

【答案】⑴“X>1”是“x>0”的充分不必要條件;

(2fx2=/，，是，，》="，的必要不充分條件；

(3)“內(nèi)錯角相等”是“兩直線平行”的充要條件

【解析】

【分析】

根據(jù)充分與必要條件的概念舉例即可.

【詳解】(1)可根據(jù)數(shù)軸上的關系舉例：“x>l”是“x>0”的充分不必要條件；

(2)可根據(jù)方程的根的解舉例：=/，，是，，x=y，，的必要不充分條件；

⑶可根據(jù)定理舉例：“內(nèi)錯角相等”是“兩直線平行”的充要條件

【點睛】本題主要考查了充分與必要條件的理解，屬于基礎題型.

8.在下列各題中，判斷p是q的什么條件(請用“充分不必要條件”“必要不充分條

件”“充要條件既不充分又不必要條件''回答)：

(l)p:三角形是等腰三角形切:三角形是等邊三角形；

⑵在一元二次方程中，P：依2+版+o=0有實數(shù)根，q.b2-4ac..O-,

⑶p：awPcQ,q:awP；

(4)p：aGP^JQ,q:awP；

(5)p:x>y,q\x1>y2.

【答案】(1)必要不充分條件;(2)充要條件;(3)充分不必要條件;(4)必要不充分條件;(5)

既不充分又不必要條件.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的關系分析.

(2)根據(jù)二次方程的根分析

(3)根據(jù)集合的基本關系分析

(4)根據(jù)集合的基本關系分析

(5)舉例說明分析

【詳解】(1)因為等腰三角形是特殊的等邊三角形，

故，是g的必要不充分條件.

⑵一元二次方程or?+法+°=o有實數(shù)根則判別式△=從一4ac..0.

故〃是q的充要條件.

(3)因為aePcQ,故aiP且aeQ；當aiP時aeQ不一定成立.

故p是q的充分不必要條件.

(4)因為aePuQ,故aiP或aeQ,所以aiP不一定成立；

當aiP時aePuQ一定成立.

故p是4的必要不充分條件.

(5)當x=l,y=—2時，滿足x>y但f>y2不成立.

當X=-2,y=1時，滿足J?>y2但X>y不成立.

故〃是4的既不充分又不必要條件.

【點睛】本題主要考查了充分條件與必要條件的判定，屬于基礎題型.

9.判斷下列命題的真假：

⑴點P到圓心。的距離大于圓的半徑是點P在。外的充要條件；

(2)兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的充分不必要條件；

(3)AuB=A是5=A的必要不充分條件；

(4)x或y為有理數(shù)是孫為有理數(shù)的既不充分又不必要條件.

【答案】(1)真命題;(2)假命題;(3)假命題;(4)真命題.

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)點與圓的位置關系判斷.

(2)舉例說明即可.

(3)根據(jù)集合的關系直接判斷

(4)舉例說明即可.

【詳解】(1)根據(jù)點與圓的位置關系知點P到圓心。的距離大于圓的半徑是點P在

。外的充要條件.

故(1)為真命題.

(2)兩個三角形面積相等也可能同底等高，全等三角形面積一定相等.故兩個三角形的

面積相等是這兩個三角形全等的必要不充分條件.

故(2)為假命題.

(3)ADB=4是31A的充要條件.

故(3)為假命題.

(4)當x=l,y=6時，滿足“x或y為有理數(shù)”但“孫為有理數(shù)”不成立.

當x=y=6時滿足“孫為有理數(shù)”但“無或y為有理數(shù)''不成立.

故(4)為真命題.

【點睛】本題主要考查了充分與必要條件的辨析，屬于基礎題型.

綜合運用

10.已知A={滿足條件p},8={滿足條件q},

(1)如果AU8,那么p是q的什么條件？

(2)如果B^A，那么p是q的什么條件？

(3)如果A=3,那么p是q的什么條件？

【答案】(1)充分條件;(2)必要條件;(3)充要條件.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)集合間的基本關系判斷P和。的包含關系再即可.

(2)根據(jù)集合間的基本關系判斷"和。的包含關系再即可.

(3)根據(jù)集合間的基本關系判斷"和。的包含關系再即可.

【詳解】(1)如果AqJ則滿足條件P也滿足條件4.故P是4的充分條件.

(2)如果B=A,則滿足條件q也滿足條件p.故p是q的必要條件.

(3)如果A=B,則滿足條件p滿足條件%且滿足條件q也滿足條件p.故p是4的充

要條件.

【點睛】本題主要考查了集合的關系與充分必要條件的關系，屬于基礎題型.

11.設R證明:〃+/?2+。2=ab+ac+hc的充要條件是a—b—c.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

分別證明充分性與必要性即可.

【詳解】證明：(1)充分性:如果a=A=c,

那么(a-0)2+3-c)2+(a—c)2=0,

a2+b2+c2-ab-ac-bc=O,a2+b2+c2=ab+ac+be.

⑵必要性:如果+/?2+c2=ab+ac+bc,

那么a2+b2+c2-ah—ac—bc-O,

:.(a-b)2+(b-cy+(c-a)2=Q,:.a-b=Q,b-c=Q,c-a=O,.,.a-b-c.

22

由(1)(2)知,/+h+c=aZ?+ac+/?c的充要條件是a=O=c.

【點睛】本題主要考查了充分必要條件的證明，需要分別證明充分性與必要性，屬于

中等題型.

拓廣探索

12.設。力,c分別是.ABC的三條邊，且隔心c.我們知道，如果,ABC為直角三角形，

那么/+/=(勾股定理).反過來,如果/+尸=,2，那么一ABC為直角三角形(勾股

定理的逆定理).由此可知,LABC為直角三角形的充要條件是4?+〃=c、2.請利用邊長

a,b,c分別給出為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明.

【答案】.ABC為銳角三角形的充要條件是a2+/>c2._/3c為鈍角三角形的充要

條件是a2+b2<c2.證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理易得，ABC為銳角三角形的充要條件是/+02>。2.,ABC為鈍角三

角形的充要條件是。2+〃<。2.再分別證明充分與必要性即可.

【詳解】解：(1)設。力,。分別是的三條邊,且瀾必c,，二ABC為銳角三角形的充要

條件