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文檔簡(jiǎn)介
第一章集合與常用邏輯用語
1.4充分條件與必要條件
例1下列”若p,則4”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?
(1)若四邊形的兩組對(duì)角分別相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;
(2)若兩個(gè)三角形的三邊成比例,則這兩個(gè)三角形相似;
(3)若四邊形為菱形,則這個(gè)四邊形對(duì)角線互相垂直;
(4)若幺=1,貝心=1;
(5)若a=6,則ac=be;
(6)若x,y為無理數(shù),則移為無理數(shù).
解:(1)這是一條平行四邊形的判定定理,PF,所以p是q的充分條件.
(2)這是一條相似三角形的判定定理,PF,所以p是q的充分條件.
(3)這是一條菱形的性質(zhì)定理,P=q,所以p是q的充分條件.
(4)由于(一1)2=1,但一1/1,P書q,所以p不是q的充分條件.
(5)由等式的性質(zhì)知,P=>q,所以p是4的充分條件
(6)夜為無理數(shù),但、歷x0=2為有理數(shù),P書q,所以p不是4的充分條件.
例2下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?
(1)若四邊形為平行四邊形,則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等;
(2)若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形的三邊成比例;
(3)若四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)四邊形是菱形;
(4)若x=l,則f=1;
(5)若ac=be,則a=6;
(6)若劃為無理數(shù),則x,y為無理數(shù).
解:(1)這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理,P=q,所以,g是2的必要條件.
(2)這是三角形相似的一條性質(zhì)定理,P=q,所以,4是p的必要條件.
(3)如圖1.4-1,四邊形ABCO的對(duì)角線互相垂直,但它不是菱形,P*q,所以,q不
是p的必要條件.
圖1.4-1
(4)顯然,P=q,所以,q是p必要條件.
(5)由于(-l)xO=lxO,但一1工1,p書q,所以,q不是p的必要條件.
(6)由于lx、/5=為無理數(shù),但1,、反不全是無理數(shù),P力q,所以,q不是p的
必要條件.
例3下列各題中,哪些p是q的充要條件?
(Dp:四邊形是正方形,q-.四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分;
(2)p,兩個(gè)三角形相似,q:兩個(gè)三角形三邊成比例;
(3)p-.孫>0,q:x>0,y>0;
(4)p:x=l是一元二次方程ar2+法+0=0的一個(gè)根,q.a+b+c-Q(a0).
解:(1)因?yàn)閷?duì)角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形(為什么),所以
所以P不是°的充要條件.
(2)因?yàn)椤叭魀,則是相似三角形的性質(zhì)定理,“若q,則是相似三角形的判定定理,
所以它們均為真命題,即P=4,所以p是q的充要條件.
(3)因?yàn)閷O>0時(shí),x>0,y>0不一定成立(為什么),所以〃力4,所以p不是4
的充要條件.
(4)因?yàn)椤叭魀,則q”與“若“,則p”均為真命題,即,=4,所以"是q的充要條件.
例4已知:。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為".求證:</=r是直線/與..。相切
的充要條件.
分析:設(shè)p:d=r,q:直線/與。相切.要證p是q的充要條件,只需分別證明充分性
(。=4)和必要性("=〃)即可.
證明:設(shè)P:d=r,q:直線/與oo相切.
(1)充分性(。=4):如圖142,作OP,/于點(diǎn)尸,則.若d=r,則點(diǎn)P在
OO上.在直線/上任取一點(diǎn)。(異于點(diǎn)P),連接OQ.在Rt^OPQ中,OQ>O尸=心所
以,除點(diǎn)P外直線/上的點(diǎn)都在。的外部,即直線/與。僅有一個(gè)公共點(diǎn)尸.所以直線/
與:。相切.
PQ
圖1.4-2
(2)必要性(4=〃):若直線/與一。相切,不妨設(shè)切點(diǎn)為尸,則因此,
d=OP=r.
由(1)(2)可得,d=r是直線/與。。相切的充要條件.
1.4.1充分條件與必要條件
練習(xí)
1.下列“若p,則形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?
(1)若平面內(nèi)點(diǎn)P在線段的垂直平分線上,則A4=PB;
(2)若兩個(gè)三角形的兩邊及一邊所對(duì)的角分別相等,則這兩個(gè)三角形全等;
(3)若兩個(gè)三角形相似,則這兩個(gè)三角形的面積比等于周長(zhǎng)比的平方.
【答案】(1)p是q的充分條件;(2)p不是q的充分條件;(3)p是q的充分條件
【解析】
【分析】
根據(jù)所給命題,判斷出能否得到〃=4,從而得到p是否是q的充分條件,得到答
案.
【詳解】(1)線段垂直平分線的性質(zhì),P=q,p是4的充分條件;
(2)三角形的兩邊及一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等,P中q,p
不是q的充分條件;
(3)相似三角形的性質(zhì),p是q的充分條件.
【點(diǎn)睛】本題考查判斷是否為充分條件,屬于簡(jiǎn)單題.
2.下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?
(1)若直線/與一。有且僅有一個(gè)交點(diǎn),則/為一。的一條切線;
(2)若光是無理數(shù),則/也是無理數(shù).
【答案】(1)g是p的必要條件;(2)q不是p的必要條件
【解析】
【分析】
根據(jù)所給命題,判斷出能否得到0=4,從而得到q是否是p的必要條件,得到答
案.
【詳解】(1)這是圓的切線定義,P=q,所以4是p的必要條件;
(2)由于右是無理數(shù),但(血尸=2不是無理數(shù),P由q,
所以q不是p的必要條件.
【點(diǎn)睛】本題考查判斷是否為必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.
3.如圖,直線a與方被直線/所截,分別得到了Nl,Z2,N3和N4.請(qǐng)根據(jù)這些
信息,寫出幾個(gè)〃6’的充分條件和必要條件.
【答案】充分條件和必要條件見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)?!ㄈ丝梢缘玫絻?nèi)錯(cuò)角相等,同位角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ),根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,同
位角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ),得到“〃江
【詳解】因?yàn)閮?nèi)錯(cuò)角相等,同位角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ),得到a〃人,
所以“a〃6’的充分條件:Z1=Z2,N1=N4,Zl+Z3=180°;
因?yàn)閍〃??梢缘玫絻?nèi)錯(cuò)角相等,同位角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ),
所以“a〃b”的必要條件:Z1=Z2,N1=N4,Z1+Z3=18O0.
a
3
b______'
【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.
1.4.2充要條件
練習(xí)
4.下列各題中,哪些p是q的充要條件?
(1)P-.三角形為等腰三角形,q:三角形存在兩角相等;
(2)P:。內(nèi)兩條弦相等,q-。內(nèi)兩條弦所對(duì)的圓周角相等;
(3)P:AcB為空集,q:A與B之一為空集.
【答案】(1)p是4的充要條件;(2)p不是g的充要條件;(3)p不是“的充要條
件
【解析】
【分析】
根據(jù)所給命題,判斷出能否得到p=從而得到「是否是"的充要條件,得到答
案.
【詳解】在(1)中,三角形中等邊對(duì)等角,等角對(duì)等邊,所以〃=4,所以P是q
的充要條件;
在(2)中,。。內(nèi)兩條弦相等,它們所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ),
因此,P書q,所以p不是q的充要條件;
在(3)中,取4={1,2},B={3},
顯然,AB=0,但A與8均不為空集,
因此,p與q,所以p不是q的充要條件.
【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判斷,屬于簡(jiǎn)單題.
5.分別寫出“兩個(gè)三角形全等”和“兩個(gè)三角形相似”的幾個(gè)充要條件.
【答案】見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì),得到答案.
【詳解】''兩個(gè)三角形全等'’的充要條件如下:
①三邊對(duì)應(yīng)相等;②兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等;③兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等;④兩角及
一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.
“兩個(gè)三角形相似”的充要條件如下:
①三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(或兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等);②三邊對(duì)應(yīng)成比例;③兩邊對(duì)應(yīng)成
比例且夾角相等.
【點(diǎn)睛】本題考查寫命題的充要條件,屬于簡(jiǎn)單題.
6.證明:如圖,梯形ABCD為等腰梯形的充要條件是AC=8D.
BC
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】
先由梯形ABCO為等腰梯形,證明AC=8D,驗(yàn)證必要性;再由AC=8□證明梯形
ABC。為等腰梯形,驗(yàn)證充分性,即可得出結(jié)論成立.
【詳解】證明:(1)必要性.
在等腰梯形ABC。中,AB=DC,ZABC=NDCB,
又?:BC=CB,_BAC=_CDB,:.AC=BD.
(2)充分性.
如圖,過點(diǎn)。作。交6C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)£
■:ADUBE,.?.四邊形是平行四邊形DE=AC.
VAC=BD,:.BD=DE,二ZE=4
又,/AC//DE,,Z2=ZE,N1=N2.
AC=DB,
在「ABC和,DO?中,<Z2=Z1,
BC=CB,
:.ABC=^DCB.:.AB=DC.
,梯形ABC。為等腰梯形.
由(1)(2)可得,梯形ABCO為等腰梯形的充要條件是AC=3D
【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的證明,熟記充分條件與必要條件的概念即可,屬
于常考題型.
習(xí)題1.4
復(fù)習(xí)鞏固
7.舉例說明:
(1)P是q的充分不必要條件;
(2)p是q的必要不充分條件;
(3)p是q的充要條件.
【答案】⑴“X>1”是“x>0”的充分不必要條件;
(2fx2=/,,是,,》=",的必要不充分條件;
(3)“內(nèi)錯(cuò)角相等”是“兩直線平行”的充要條件
【解析】
【分析】
根據(jù)充分與必要條件的概念舉例即可.
【詳解】(1)可根據(jù)數(shù)軸上的關(guān)系舉例:“x>l”是“x>0”的充分不必要條件;
(2)可根據(jù)方程的根的解舉例:=/,,是,,x=y,,的必要不充分條件;
⑶可根據(jù)定理舉例:“內(nèi)錯(cuò)角相等”是“兩直線平行”的充要條件
【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分與必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題型.
8.在下列各題中,判斷p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條
件”“充要條件既不充分又不必要條件''回答):
(l)p:三角形是等腰三角形切:三角形是等邊三角形;
⑵在一元二次方程中,P:依2+版+o=0有實(shí)數(shù)根,q.b2-4ac..O-,
⑶p:awPcQ,q:awP;
(4)p:aGP^JQ,q:awP;
(5)p:x>y,q\x1>y2.
【答案】(1)必要不充分條件;(2)充要條件;(3)充分不必要條件;(4)必要不充分條件;(5)
既不充分又不必要條件.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的關(guān)系分析.
(2)根據(jù)二次方程的根分析
(3)根據(jù)集合的基本關(guān)系分析
(4)根據(jù)集合的基本關(guān)系分析
(5)舉例說明分析
【詳解】(1)因?yàn)榈妊切问翘厥獾牡冗吶切危?/p>
故,是g的必要不充分條件.
⑵一元二次方程or?+法+°=o有實(shí)數(shù)根則判別式△=從一4ac..0.
故〃是q的充要條件.
(3)因?yàn)閍ePcQ,故aiP且aeQ;當(dāng)aiP時(shí)aeQ不一定成立.
故p是q的充分不必要條件.
(4)因?yàn)閍ePuQ,故aiP或aeQ,所以aiP不一定成立;
當(dāng)aiP時(shí)aePuQ一定成立.
故p是4的必要不充分條件.
(5)當(dāng)x=l,y=—2時(shí),滿足x>y但f>y2不成立.
當(dāng)X=-2,y=1時(shí),滿足J?>y2但X>y不成立.
故〃是4的既不充分又不必要條件.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件與必要條件的判定,屬于基礎(chǔ)題型.
9.判斷下列命題的真假:
⑴點(diǎn)P到圓心。的距離大于圓的半徑是點(diǎn)P在。外的充要條件;
(2)兩個(gè)三角形的面積相等是這兩個(gè)三角形全等的充分不必要條件;
(3)AuB=A是5=A的必要不充分條件;
(4)x或y為有理數(shù)是孫為有理數(shù)的既不充分又不必要條件.
【答案】(1)真命題;(2)假命題;(3)假命題;(4)真命題.
【解析】
【分析】
⑴根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷.
(2)舉例說明即可.
(3)根據(jù)集合的關(guān)系直接判斷
(4)舉例說明即可.
【詳解】(1)根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系知點(diǎn)P到圓心。的距離大于圓的半徑是點(diǎn)P在
。外的充要條件.
故(1)為真命題.
(2)兩個(gè)三角形面積相等也可能同底等高,全等三角形面積一定相等.故兩個(gè)三角形的
面積相等是這兩個(gè)三角形全等的必要不充分條件.
故(2)為假命題.
(3)ADB=4是31A的充要條件.
故(3)為假命題.
(4)當(dāng)x=l,y=6時(shí),滿足“x或y為有理數(shù)”但“孫為有理數(shù)”不成立.
當(dāng)x=y=6時(shí)滿足“孫為有理數(shù)”但“無或y為有理數(shù)''不成立.
故(4)為真命題.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分與必要條件的辨析,屬于基礎(chǔ)題型.
綜合運(yùn)用
10.已知A={滿足條件p},8={滿足條件q},
(1)如果AU8,那么p是q的什么條件?
(2)如果B^A,那么p是q的什么條件?
(3)如果A=3,那么p是q的什么條件?
【答案】(1)充分條件;(2)必要條件;(3)充要條件.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)集合間的基本關(guān)系判斷P和。的包含關(guān)系再即可.
(2)根據(jù)集合間的基本關(guān)系判斷"和。的包含關(guān)系再即可.
(3)根據(jù)集合間的基本關(guān)系判斷"和。的包含關(guān)系再即可.
【詳解】(1)如果AqJ則滿足條件P也滿足條件4.故P是4的充分條件.
(2)如果B=A,則滿足條件q也滿足條件p.故p是q的必要條件.
(3)如果A=B,則滿足條件p滿足條件%且滿足條件q也滿足條件p.故p是4的充
要條件.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系與充分必要條件的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型.
11.設(shè)R證明:〃+/?2+。2=ab+ac+hc的充要條件是a—b—c.
【答案】見解析
【解析】
【分析】
分別證明充分性與必要性即可.
【詳解】證明:(1)充分性:如果a=A=c,
那么(a-0)2+3-c)2+(a—c)2=0,
a2+b2+c2-ab-ac-bc=O,a2+b2+c2=ab+ac+be.
⑵必要性:如果+/?2+c2=ab+ac+bc,
那么a2+b2+c2-ah—ac—bc-O,
:.(a-b)2+(b-cy+(c-a)2=Q,:.a-b=Q,b-c=Q,c-a=O,.,.a-b-c.
22
由(1)(2)知,/+h+c=aZ?+ac+/?c的充要條件是a=O=c.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分必要條件的證明,需要分別證明充分性與必要性,屬于
中等題型.
拓廣探索
12.設(shè)。力,c分別是.ABC的三條邊,且隔心c.我們知道,如果,ABC為直角三角形,
那么/+/=(勾股定理).反過來,如果/+尸=,2,那么一ABC為直角三角形(勾股
定理的逆定理).由此可知,LABC為直角三角形的充要條件是4?+〃=c、2.請(qǐng)利用邊長(zhǎng)
a,b,c分別給出為銳角三角形和鈍角三角形的一個(gè)充要條件,并證明.
【答案】.ABC為銳角三角形的充要條件是a2+/>c2._/3c為鈍角三角形的充要
條件是a2+b2<c2.證明見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理易得,ABC為銳角三角形的充要條件是/+02>。2.,ABC為鈍角三
角形的充要條件是。2+〃<。2.再分別證明充分與必要性即可.
【詳解】解:(1)設(shè)。力,。分別是的三條邊,且瀾必c,,二ABC為銳角三角形的充要
條件
溫馨提示
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