高等數(shù)學(xué)I（下）學(xué)習(xí)通課后章節(jié)答案期末考試題庫2023年

高等數(shù)學(xué)I（下）學(xué)習(xí)通課后章節(jié)答案期末考試題庫2023年冪級數(shù)的收斂域為,且和函數(shù)為.

參考答案:

對

(8分)設(shè)是常數(shù),判斷級數(shù)是絕對收斂、條件收斂,還是發(fā)散?

參考答案:

,,而級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂,所以原級數(shù)絕對收斂.

過點的直線方程為.

參考答案:

對

(8分)利用逐項求導(dǎo)或逐項積分,求冪級數(shù)的和函數(shù).

參考答案:

冪級數(shù)的收斂域為,其和函數(shù)為.所以

過點且與已知直線平行的直線只有一條.

參考答案:

對

冪級數(shù)在點處一定收斂.

參考答案:

對

過已知點且與已知直線垂直的平面不止一個.

參考答案:

錯

過點空間上任意三個不同的點都可以確定唯一一個平面.

參考答案:

錯

求過且與平面平行的平面方程.

參考答案:

設(shè)方程為將點帶入方程得故平面方程為

≥.

參考答案:

對

當(dāng)時,級數(shù)是()

參考答案:

條件收斂

求過點且與和都平行的平面方程.

參考答案:

平面法向量取平面方程為

將直線的一般方程表示成對稱式以及參數(shù)方程.

參考答案:

直線方向向量取取特殊點則對稱式方程:,參數(shù)方程:

求解方程

參考答案:

將變量分離,得到,(2分)兩邊積分得為方程的通解,且是方程的兩個解.(6分)

(其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),求

參考答案:

令

二階微分方程的任意兩個特解的線性函數(shù)仍是其解.

參考答案:

錯

在點處可微分是在該點連續(xù)的()

參考答案:

充分條件

求的極值.

參考答案:

解方程組,得駐點在處,因=且故取得極大值

直線與平面的位置關(guān)系是()

參考答案:

平行

若在上可積,則在上必連續(xù).

參考答案:

錯

則數(shù)量積(內(nèi)積)等于()

參考答案:

10

通過點積分曲線的方程是.

參考答案:

錯

若,則.

參考答案:

對

利用定積分的幾何意義,定積分()

參考答案:

0

求方程的通解。

參考答案:

對應(yīng)的齊次線性方程為,其通解為.(2分)令代入原方程,得,即,,∴原方程通解為.(6分)

平面與直線的位置關(guān)系是()

參考答案:

直線在平面上

判定級數(shù)的斂散性,若級數(shù)收斂,判斷是絕對收斂還是條件收斂.

參考答案:

因為,而發(fā)散,故原級數(shù)不絕對收斂;又因為數(shù)列單調(diào)遞減,且,故由萊布尼茨判別法,級數(shù)收斂,綜上,級數(shù)收斂,但不絕對收斂.

要建造一個體積等于的長方體無蓋水池,應(yīng)如何選擇水池的尺寸,方可使它的表面積最小.

參考答案:

設(shè)長方體得長、寬、高分別是,則令,得唯一駐點由題意知,最小值一定在該駐點取得。所以當(dāng)長為,寬為,高為時,表面積最小。

(8分)判斷級數(shù)是絕對收斂、條件收斂,還是發(fā)散?

參考答案:

,,而級數(shù)發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散.,且,由萊布尼茨定理得原級數(shù)收斂.故原級數(shù)條件收斂.

對于二元函數(shù),若全微分存在,則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù).

參考答案:

錯

向量垂直,則等于()

參考答案:

3

若是的一個原函數(shù),則.

參考答案:

對

對于二元函數(shù),若偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則全微分必存在.

參考答案:

對

向量,平行則等于()

參考答案:

2

向量且等于()

參考答案:

0

級數(shù)的收斂性為()

參考答案:

絕對收斂

(5分)求

參考答案:

原式(2分)(2分)(1分)

為方程的兩個特解,還是是該方程的解.

參考答案:

對

設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,則冪級數(shù)在區(qū)間上一定收斂.

參考答案:

錯

求,其中為圓域.

參考答案:

令

設(shè)在上可積,證明:若為奇函數(shù),則.

參考答案:

對

若為某向量的方向角,則等于()

參考答案:

2

設(shè)為單位向量,且滿足,則等于

參考答案:

-1.5

向量垂直向量.

參考答案:

對

以向量與為鄰邊的平行四邊形面積等于

參考答案:

對

設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)是函數(shù)在該點可偏導(dǎo)的()

參考答案:

既不充分也不必要條件.

設(shè),

參考答案:

錯

設(shè),以向量與為鄰邊的三角形面積等于

參考答案:

錯

若為某向量的方向角,則.

參考答案:

對

設(shè)為兩個非零向量,則等式成立。

參考答案:

錯

級數(shù)收斂.

參考答案:

錯

(8分)向量垂直于向量和,并且滿足條件,求的坐標..

參考答案:

向量垂直于、,則向量平行于.因此設(shè)向量,(5分)由題設(shè)得,得到,所以(3分)

三元方程空間直角坐標系一定表示為一個平面.

參考答案:

錯

求微分方程的通解為。

參考答案:

(5分)(3分)

(8分)設(shè),,求

參考答案:

(4分)(4分)

(8分)設(shè)為空間三點,求的面積.

參考答案:

如圖所示,由向量的向量積之模的幾何意義可知,∴,而,(4分)∴,∴,∴,∴.(4分)

設(shè)二元函數(shù),且、存在,則()

參考答案:

在處連續(xù),在連續(xù)

函數(shù)是微分方程的()

參考答案:

是解,但不是通解,也不是特解.

動點沿任何直線趨于時,函數(shù)的極限存在且相等是時,函數(shù)的極限存在的()

參考答案:

必要非充分條件

(8分)在軸上求與兩點和等距離的點.

參考答案:

由條件可設(shè)所求的點為,由,即(5分)因此所求點的坐標為.(3分)

連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)必存在.

參考答案:

對

方程組表示()

參考答案:

平面上的圓

多元函數(shù)得極值一定是在它得駐點處取得.

參考答案:

錯

若冪級數(shù)在處收斂,則該級數(shù)在處()

參考答案:

不能確定

冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的兩個端點處()

參考答案:

左端點發(fā)散,右端點收斂

(10分)計算反常積分的值.

參考答案:

(4分)(4分).(2分)

的經(jīng)過點M(1,1)的積分曲線為

參考答案:

錯

的經(jīng)過點M(2,6)的積分曲線為

參考答案:

對

設(shè)函數(shù)在點處具有偏導(dǎo)數(shù),則是該函數(shù)在取得極值的()

參考答案:

必要非充分條件

函數(shù)是微分方程的()

參考答案:

是解,但不是通解,也不是特解

(8分)求.

參考答案:

(5分)(3分)

(10分)求拋物線與其在點和處的兩條切線所圍成的平面圖形的面積.

參考答案:

由及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,在點處的切線方程為,在點處的切線方程為.(4分)由解得交點坐標為.(2分)所以,所求面積為.(4分)

(5分)求.

參考答案:

原式=(或)(2分)=(3分)

(10分)求(1)由曲線與所圍成的平面圖形的面積;(2)此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

參考答案:

由解得交點坐標為和(2分)(1)所求面積.(3分)(2)所求體積.(5分)

級數(shù)發(fā)散.

參考答案:

對

(8分)判斷正項級數(shù)的收斂性.

參考答案:

.所以原級數(shù)發(fā)散.

(10分)記曲線與直線及軸所圍成的平面區(qū)域為,求(1)的面積;(2)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

參考答案:

(1)所求面積.(4分)(2)所求體積.(6分)

不論實數(shù)取何值,一定發(fā)散.

參考答案:

對

下列結(jié)論正確的是()

參考答案:

若級數(shù)收斂,則收斂

級數(shù)收斂.

參考答案:

錯

微分方程且的特解為.

參考答案:

錯

由直線、直線及曲線圍成的平面圖形的面積等于零.

參考答案:

錯

級數(shù)的斂散情況是()

參考答案:

當(dāng)時發(fā)散,當(dāng)時收斂

由曲線、直線及軸正半軸圍成的向右無限延伸的平面圖形的面積不存在.

參考答案:

錯

微分方程的階數(shù)為()

參考答案:

3

設(shè)是任一常數(shù),當(dāng)和都收斂時,則.

參考答案:

對

若,則級數(shù)()

參考答案:

可能收斂,也可能發(fā)散.

(8分)設(shè)兩已知點和,分別寫出向量、的坐標表達式和向表達式,計算它們的模、方向余弦.

參考答案:

向量(4分)模方向余弦:,,;(4分)

≤.

參考答案:

對

設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為,的收斂半徑為,則冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定收斂,其中.

參考答案:

對

直線必()

參考答案:

過原點且垂直于軸

若和中至少有一個發(fā)散,則一定發(fā)散.

參考答案:

對

微分方程的通解中應(yīng)含有()個任意常數(shù).

參考答案:

2

若級數(shù)發(fā)散,則()

參考答案:

一定發(fā)散

若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂.

參考答案:

對

平面必()

參考答案:

不過原點但平行于軸

求微分方程滿足所給初始條件的特解..

參考答案:

齊次方程特征方程,通解為非齊次方程特解設(shè)為將帶入通解得特解

若函數(shù)是由方程所確定,則.

參考答案:

對

方程的通解為.

參考答案:

錯

判定級數(shù)的斂散性.

參考答案:

因為,而,由比值審斂法知,收斂;再由比較審斂法知,收斂

微分方程的通解為

參考答案:

對

若直線與直線相互平行,則()

參考答案:

-2

冪級數(shù)的收斂域為.

參考答案:

錯

設(shè)函數(shù)則.

參考答案:

對

在點連續(xù).

參考答案:

錯

函數(shù)當(dāng)時的全微分.

參考答案:

對

為方程的兩個特解,則還是該方程的解.

參考答案:

錯

二階微分方程的通解里一定有兩個獨立的任意常數(shù).

參考答案:

對

在上,一定成立.

參考答案:

對

若級數(shù)與級數(shù)均發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.

參考答案:

錯

函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)存在.

參考答案:

對

各偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)可微的()

參考答案:

必要非充分條件

微分方程的通解為.

參考答案:

錯

函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)為.

參考答案:

對