遼寧省大連市第一零三高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

遼寧省大連市第一零三高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模等于

A．2

B．

C．

D．4參考答案：B略2.是方程的兩個不等的實(shí)數(shù)根，且點(diǎn)在圓上，那么過點(diǎn)和的直線與圓的位置關(guān)系（

）相離

相切

相交

隨的變化而變化參考答案：A3.下列命題中的假命題是（

）

A．

B．

C．

D．，使函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱參考答案：【知識點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.A2【答案解析】C解析：由指數(shù)函數(shù)的定義域和值域可知，x∈R，21﹣x＞0，選項(xiàng)A為真命題；當(dāng)0＜x＜1時，2x＞1，，有．當(dāng)x=1時，．當(dāng)x＞1時，．∴x∈（0，+∞），2x＞，命題B為真命題；∵y=1.1x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，y=x4為冪函數(shù)，∴x0∈R，當(dāng)x＞x0時，恒有1.1x＞x4，選項(xiàng)C為假命題；當(dāng)α為偶數(shù)時，函數(shù)y=xα是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，選項(xiàng)D為真命題．故選：C．【思路點(diǎn)撥】由指數(shù)函數(shù)的定義域和值域判斷A；對x分類討論判斷B；由指數(shù)函數(shù)爆炸性判斷C；舉例說明D正確．4.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算L4C解析：，，故選C.【思路點(diǎn)撥】化簡得，從而可求.5.對于函數(shù)，下列命題中正確的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B因?yàn)?，所以，即B正確，選B.6.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1,5]，部分對應(yīng)值如下表．f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)

的圖像如圖所示．x－1045f(x)1221下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題：

①函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)；③如果當(dāng)x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；④當(dāng)1<a<2時，函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點(diǎn)．其中真命題的個數(shù)有A．4個

B．3個

C．2個

D．1個參考答案：D依題意得，函數(shù)f(x)不可能是周期函數(shù)，因此①不正確；當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，②正確；當(dāng)x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的可能圖像形狀分析可知，此時t的最大值是5，因此③不正確；注意到f(2)的值不明確，結(jié)合圖形分析可知，將函數(shù)f(x)的圖像向下平移a(1<a<2)個單位后相應(yīng)曲線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)不確定，因此④不正確．綜上所述，選D．7.數(shù)列的前2013項(xiàng)的和為A. B. C. D.

參考答案：C略8.設(shè)，則的大小關(guān)系是

A.

B.

C.

D.參考答案：D，所以根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)知，而，所以，選D.9.在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前項(xiàng)的和等于、

、

、

、參考答案：D10.函數(shù)的一個零點(diǎn)落在下列哪個區(qū);間 A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線與函數(shù)及函數(shù)的圖象分別相交于、兩點(diǎn)，則、兩點(diǎn)之間的距離為

.參考答案：12.圓x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作兩直線分別交圓于A，B兩點(diǎn)，且∠APB＝60°，則｜PA｜2＋｜PB｜2的取值范圍為__

__．參考答案：（5，6]過點(diǎn)P做直徑PQ，如圖，根據(jù)題意可得：｜PQ｜＝2.因此，｜PA｜2＋｜PB｜2的取值范圍為（5，6]．13.下列幾個命題：①方程有一個正實(shí)根，一個負(fù)實(shí)根，則；②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；③設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，則函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱；④一條曲線和直線的公共點(diǎn)個數(shù)是，則的值不可能是．其中正確的有______________.參考答案：①④14.已知向量，，且，，則（）的最小值為

．參考答案：15.函數(shù)f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣），x∈（，）的值域是．參考答案：（，1]【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】利用三角函數(shù)中的恒等變換可求得f（x）=sin2x，x∈（，）?2x∈（，），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得其值域．【解答】解：∵f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）=﹣=（sin2x+sin2x）=sin2x，∵x∈（，），∴2x∈（，），∴＜sin2x≤1，即當(dāng)x∈（，）時，函數(shù)f（x）=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）的值域是（，1]．故答案為：（，1]．16.設(shè)實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_________參考答案：6

略17.已知集合，，則

．參考答案：{1}

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，M，N是C上關(guān)于焦點(diǎn)F對稱的兩點(diǎn)，C在點(diǎn)M、點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn).（1）求C的方程；（2）直線l交C于A、B兩點(diǎn)，且△OAB的面積為16，求l的方程.參考答案：（1）解：依題意，由拋物線的對稱性可知：，，由得：，

故在點(diǎn)、點(diǎn)處的切線的斜率分別為和

--2分

則在處的切線方程為，即

代入，得，故

----4分

所以拋物線的方程為

解法2：依題意，由拋物線的對稱性可知：，，

由得：，故在點(diǎn)、點(diǎn)處的切線的斜率分別為和

則在處的切線方程為，即

C在N處的切線方程為，即

聯(lián)立解得兩切線交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），

又兩切線相交于

所以拋物線的方程為

解法3：依題意，由拋物線的對稱性可知：，，

設(shè)在處的切線方程為，又切線過點(diǎn)

，切線方程化為

聯(lián)立，消去，整理得

由直線與拋物線相切得，，所以拋物線的方程為

（2）解法1：直線的斜率顯然存在，設(shè)直線，、由得：

由，

直線方程為：，所以直線恒過定點(diǎn)

，即，即

所以直線方程為：

（2）解法2：直線的斜率顯然存在，設(shè)直線，、由得：

由，

∴直線方程為：

即原點(diǎn)到直線的距離為

解得

所以直線方程為：

19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，（ⅰ）若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)時，求的值；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，若，，求的取值范圍。參考答案：即

…………6分令，則

令，，在上是減函數(shù)…8分又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又

，

即

………………14分

略20.已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；（2）若函數(shù)在=1處取得極值，對任意的∈（0，+∞），≥恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)＞＞時，求證：參考答案：（Ⅰ），①當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點(diǎn)；②當(dāng)a＞0時，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得，∴f（x）在上遞減，在上遞增，即f（x）在處有極小值．∴當(dāng)a≤0時f（x）在（0，+∞）上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點(diǎn)．……………4分（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴a=1，………………∴，…（6分）令，可得g（x）在（0，e2]上遞減，在[e2，+∞）上遞增，∴，即．……8分（Ⅲ）證明：，令，則只要證明g（x）在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，……又∵，顯然函數(shù)在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．∴，即g'（x）＞0，∴g（x）在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，即，∴當(dāng)x＞y＞e﹣1時，有．…………………12分21.已知為的三內(nèi)角，且其對邊分別且(Ⅰ)求角

(Ⅱ)若的面積為求參考答案：(Ⅰ)由得所以(Ⅱ)由得所以略22.已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2．（Ⅰ）記m（x）=f′（x），若m′（1）=3，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ已知函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax2+ax，若g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）求出m（x），計算m′（1