二元一次不等式解法

關(guān)于二元一次不等式解法第1頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三（3）一元二次方程的解與二次函數(shù)的圖象有什么聯(lián)系？復(fù)習提問：（1）如何解一元二次方程?（2）二次函數(shù)的圖象是什么曲線？第2頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三一元二次方程的解實際上就是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標。下面我們來研究如何應(yīng)用二次函數(shù)的圖象來解一元二次不等式。第3頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三例1：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵⊿=b2-4ac=22+4×15>0

方程x2－2x－15＝0的兩根為:x＝－3，或x＝5y-350x∴不等式的解集為:{x│x≤－3或x≥5}。。。第4頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三設(shè)y=ax2+bx+c

(a＞0),且設(shè)方程y=0在△＞0時的兩個根分別是x1、x2，且x1＜x2。下面我們一起來看下表：第5頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0y＞0的解集Ry＜0的解集y≥0的解集RRy≤0的解集ROxyx1x2Oxyx＝－b／2aOxy

第6頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三練習1.解不等式4x2-4x+1>0解：∵△=0，方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2

1/2

X練習2.解不等式-x2+2x-3>0解：整理得x2-2x+3<0∵△<0，方程x2-2x+3=0無實解，X∴不等式的解是

x≠1/2∴原不等式無實解。第7頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三練習3.解不等式2x2-3x-2>0解：∵△>0，方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2

,x2=2-1/22X練習4.解不等式-5x2+6x>1解：整理得，5x2-6x+1<0∵△>0，方程5x2-6x+1=0的解是x1=1/5

,x2=1

1/51X∴不等式的解集是

{x|x<-1/2,或x>2}∴原不等式的解集是{x|1/5<x<1}第8頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

解一元二次不等式的方法步驟是：

（3）根據(jù)圖象寫出解集

步驟：（1）化成標準形式(a>0)：

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

（2）求，解方程，畫圖象；

方法1：數(shù)形結(jié)合第9頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三第10頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三第11頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三第12頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

解一元二次不等式或分式不等式的方法步驟是：

（3）根據(jù)序軸寫出解集

步驟：（1）化成因式相乘或相除的形式，且每個因式中x的最高次數(shù)為1，系數(shù)必須是正數(shù)（2）求出對應(yīng)方程的根并在序軸上表示出來，用穿針引線標出各部分正負方法2序軸標根法第13頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三(2)-x2+2x-3>0作業(yè):1.解不等式(1)4x2-4x+1>0(3)2x2-3x-2>02.(4)-5x2+6x>1第14頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三第15頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三二、二次不等式的簡單應(yīng)用

解法1：(換元法）設(shè)│x│=t,則t≥0原不等式可化為

t2

－2t－15≥0

由例1可知解為t≥5或t≤－3∵t≥0∴不等式的解集為{t│t≥5}∴│x│≥5∴原不等式的解為{x│x≥5或x≤－5}。例3：

解不等式

分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本點在于不等式中含│x│，由于│x│2

=x2

，則可以通過換元令│x│=t，將不等式轉(zhuǎn)化為t2－2t－15≥0求解。x2－2x－15≥0x2－2│x│－15≥0第16頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

解法2：當x＞0時，原不等式可化為x2

－2x－15≥0

則不等式的解為x≥5或x≤－3∵x＞0∴不等式的解集為{x│x≥5}

當x≤0時，原不等式可化為x2

＋2x－15≥0

則不等式的解為x≥3或x≤－5∵x≤0∴不等式的解集為{x│x≤－5}

由以上可知原不等式的解為{x│x≥5或x≤－5}。

分析2：也可用絕對值定義去掉絕對值將不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的求解。例3：解不等式:x2－2│x│－15≥0第17頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

例4

.已知一元二次不等式ax2

＋bx+6>0

的解集為{x│－2＜x＜3},求a－b的值.

解：由條件可知：方程ax2

＋bx+6＝0的根－2，3

又解在兩根之間;

分析:二次不等式的解是通過二次方程的根來確定的，∴a＜0∵6/a＝－2×3＝－6∴a＝－1∵b/a＝－2＋3＝1∴b＝1

則a－b＝－2

由此可以理解為ax2

＋bx+6＝0的根為－2，3。第18頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

例4.已知一元二次不等式ax2

＋bx+6>0

的解集為{x│－2＜x＜3},求a－b的值.4a－2b+6＝09a＋3b+6＝0

另解：由條件可知：方程ax2

＋bx+6＝0的根－2、3，代入方程可得：則a－b＝－2a＝－1b＝1解方程組得：第19頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三練習:已知不等式ax2+bx+2＞0的解為求2x2+bx+a<0的解.第20頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三∴a=－12b=－2∴不等式2x2+bx+a＜0即2x2

－2x－12＜0其解集為{x|－2＜x＜3}。第21頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

例5.已知二次函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c

的圖象與直線

y=25

有公共點,且不等式

ax2+bx+c>0

的解集是(-1/2,1/3),求

a,b,c

的取值范圍.解:由已知,二次方程

ax2+bx+c

-25＝0

有實根.∴

△=b2-4a(c

-25)≥0.又不等式

ax2+bx+c>0

的解集是(-,),

1213∴

a<0,且有

-=-,=-.1616abac∴

b=

a,c=-

a>0.1616∴

b=-c,

c2+24c(c

-25)≥0.解得:c≥24.∴

b≤-24,a≤-144.故

a,b,c

的取值范圍分別是

a≤-144,b≤-24,c≥24.代入b2-4a(c

-25)≥0

得:第22頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

例6、已知集合A={x│x2

－(a+1)x+a≤0},B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A,求實數(shù)a取值范圍。解：A∩B=A，則AB∩若a＞1，則A＝｛x│1≤x≤a｝，

若a＜1，則A＝｛x│a≤x≤1｝，∴a取值范圍是1≤a≤3X31aABBAaX13則1＜

a≤3那么,A不可能是B的子集；分析:

觀察不難發(fā)現(xiàn)：a、1是x2

－(a+1)x+a=0的根.

若a＝1，則A＝｛1｝，滿足條件;∴a＝1第23頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三

解一元二次不等式的方法步驟是：

（3）根據(jù)圖象寫出解集

步驟：（1）化成標準形式(a>0)：

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

（2）求⊿，解方程，畫圖象；

方法：數(shù)形結(jié)合課堂小結(jié):序軸標根法第24頁，講稿共26頁，2023年5月2日，星期三練習:

函數(shù)f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定義域為R,求k的取值范圍解：∵f(x)=lg(kx2－6kx+k+8）的定義域為R,UX0即△=(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ＜0∴0