二項分布與普哇松分布及其應用

關于二項分布與普哇松分布及其應用第1頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三二項分布與普哇松分布及其應用

一．二項分布（binomialdistribution）的概念及應用條件二．二項分布的應用三．Poisson分布的概念及應用條件四.Poisson分布的應用第2頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三一．二項分布（binomialdistribution）的概念及應用條件

1．概念拋一枚均勻硬幣,正面朝上的出現(xiàn)次數(shù)X:X01P0.50.5X的分布稱作為二點分布,如果將此試驗重復若干次，如10次，正面朝上的出現(xiàn)次數(shù)X可以為0,1,2,…,10第3頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三從一個人群中隨機抽樣，假定已知這個人群中某病的患病率為0.10，則隨機抽出一人，患病人數(shù)的分布服從二點分布，X01p0.90.1第4頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三將此過程重復若干次，如n次，即抽取了n人，則患病人數(shù)的分布即為二項分布。

X0123……np?????第5頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三應用條件：①每個觀察單位只能有2個互相對立的一個結果，如陽性與陰性，生存與死亡，發(fā)病與未發(fā)病。②

每次試驗的條件不變。③

n個觀察單位的結果相互獨立。第6頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例1設小白鼠接受某種毒物一定劑量時。其死亡率為80%，對于每只小白鼠來說，死亡概率0.8，生存概率0.2。如果每組有甲乙丙三只小白鼠第7頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第8頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2．二項分布的概率

設陽性結果發(fā)生的概率為π，則n個觀察單位有x個呈陽性的概率第9頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三3．二項分布的累計概率最多有k例陽性的概率p(x≤k)=P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=k)最少有k例陽性的概率p(x≥k)=P(X=k)+P(X=k+1)+……+P(X=n)第10頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例2（藥效的判斷問題）已知某種疾病患者自然痊愈率為0.25，為了鑒定一種新藥是否有效，醫(yī)生把它給10個病人服用，且事先規(guī)定一個決策規(guī)則：若這10個病人中至少有4人治好此病，則認為這種藥有效，提高了痊愈率，反之，則認為此藥無效。求新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率。第11頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三

4．二項分布的性質

(1)π=0.5時分布對稱，π≠0.5分布偏態(tài)第12頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第13頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第14頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第15頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三(2)

π不接近0或1，n較大時，近似正態(tài)，一般地要求nπ>5且n(1-π)>5第16頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三(3)

均數(shù)μ=nπ標準差σ=(4)

陽性率的均數(shù)μp=π

標準差σp=

（率的標準誤）第17頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例3在某鎮(zhèn)按人口的1/20隨機抽取329人，作血清登革熱血凝抑制抗體反應檢驗，得陽性率p=8.81%,則此陽性率的抽樣誤差

第18頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三二．二項分布的應用

1.總體率的區(qū)間估計①查表法n≤50②正態(tài)近似法np>5n(1-p)>5p±uasp第19頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三

例4在血吸蟲病流行區(qū)中，某縣根據(jù)隨機原則抽查4000人， 其血吸蟲感染率為15%，如全縣人口為205000人，試以99%的可信區(qū)間估計該縣血吸蟲感染人數(shù)至少有多少？至多有多少？總體率的99%可信區(qū)間即0.1354~0.1646至少0.1354×205000=27757至多0.1646×205000=33743

第20頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2．率的假設檢驗

①樣本率與總體率比較比較的目的是推斷該樣本所代表的未知總體率π與已知的總體率π0是否相等。②兩樣本率比較的u檢驗第21頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三①樣本率與總體率比較

方法一：直接計算概率法

例5據(jù)以往經驗，新生兒染色體異常率一般為1%，某醫(yī)院觀察了當?shù)?00名新生兒，只有1例異常，問該地新生兒染色體異常率是否低于一般？H0:π=0.01H1:π<0.01α=0.05P=p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)p>0.05不拒絕H0第22頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三問題:P=P(x≤1),而不是P=P(x≤2)P=P(x≤1),而不是P=P(x=1)3.P=P(x≤1),而不是P=P(x≥1)第23頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例用一種新藥治療某種寄生蟲病,受試者50人在服藥后1人發(fā)生某種嚴重反應,這種反應在此病患者中也曾有發(fā)生，但過去普查結果約為每5000人中僅有1人出現(xiàn)。問此新藥是否提高了這種反應的發(fā)生率?第24頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三

方法二：正態(tài)近似法（n較大）第25頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例6根據(jù)以往經驗，一般胃潰瘍病患者有20%發(fā)生胃出血癥狀，現(xiàn)某醫(yī)院觀察65歲以上潰瘍病人304例，有31.6%發(fā)生胃出血癥狀,問老年胃潰瘍病患者是否較容易出血?H0:π=0.2H1:π>0.2α=0.05

p<0.05拒絕H0，認為……第26頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三

②兩樣本率比較的u檢驗第27頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例7某山區(qū)小學男生80人，其中肺吸蟲感染23人，感染率為28.75%,女生85人感染13人,感染率為15.29%,問男女生的肺吸蟲感染率有無差別?H0:π0=π1H1:π0≠π1α=0.05pc=(23+13)/(80+85)=0.2182查u界值表得0.01<p<0.05第28頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三三．Poisson分布的概念及應用條件

Poisson分布常用于研究單位容積內某事件的發(fā)生數(shù)，如:

某交換臺在某一段時間內所接到的呼喚次數(shù)某公共汽車站在一固定時間內來到的乘客數(shù)在物理學中，放射性分裂落到某區(qū)域的質點數(shù)顯微鏡下落在某區(qū)域中的微生物的數(shù)目在工業(yè)生產中，每米布的疵點數(shù)紡織機上的斷頭數(shù)等等都服從Poisson分布。

第29頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三醫(yī)學研究中，單位容積中大腸桿菌數(shù)粉塵在單位容積的數(shù)目放射性物質在單位時間內放射質點數(shù)一定人群中患病率較低的非傳染性疾病患病數(shù)（或死亡數(shù)）的分布。第30頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三1．概率x=0，1，2，……μ是總體均數(shù)第31頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三

2．分布特征①

非對稱，但μ增大時趨于對稱第32頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第33頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三第34頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三②

均數(shù)與方差均為μ③

分布的可加性，可使μ>20,使得可用正態(tài)近似第35頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三3.應用條件平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關獨立增量性：在某個觀察單位X的取值與前面n個觀察單位上X的取值獨立.普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1第36頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三四．Poisson分布的應用

1.區(qū)間估計①查表法x≤50例8將一個面積為100cm2的培養(yǎng)皿置于某病室中，1小時后取出，培養(yǎng)24小時,查得8個菌落,求該病室平均1小時100cm2細菌數(shù)的95%可信區(qū)間.X=8,查表得,μ的95%可信區(qū)間是(3.4,15.8)第37頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三②正態(tài)近似法x>50例9用計數(shù)器測得某放射性物質半小時內發(fā)出的脈沖數(shù)為360個，試估計該放射性物質每30分鐘平均脈沖數(shù)的95%可信區(qū)間。第38頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三2．假設檢驗①樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較比較的目的是推斷該樣本所代表的未知總體均數(shù)μ是否等于已知的μ0（理論值、標準值或經大量觀察所得的穩(wěn)定值）方法一：直接計算概率法第39頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例9據(jù)以往大量觀察得某溶液中平均每毫升有細菌3個。某研究者想了解該溶液放在5°C冰箱中3天，溶液中細菌數(shù)是否會增長。現(xiàn)采取已放在5°C冰箱中3天的該溶液1毫升，測得細菌5個。問該溶液放在5°C冰箱中3天是否會增長？H0：不會增長，即μ=3溶液中細菌數(shù)服從Poisson分布P=P（X≥5）=1-P（X=0）-…-P（X=4）=0.1847所以……第40頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例10已知接種某疫苗時，一般嚴重反應率為1‰，現(xiàn)用一批該種疫苗接種150人，有2人發(fā)生嚴重反應，問該批疫苗的嚴重反應率是否高于一般。H0:μ=μ0=0.001×150=0.15H1:μ>0.15α=0.05p(x≥2)=1-p(x=0)-p(x=1)=0.0102<α所以拒絕H0注:此題也可用二項分布計算得p=0.0101529第41頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三方法二:正態(tài)近似法（μ≥20）例11某溶液原來平均每毫升有細菌80個,現(xiàn)欲研究某低劑量輻射能否殺菌。研究者以此低劑量輻射該溶液后取1毫升，培養(yǎng)得細菌40個。試作統(tǒng)計分析。H0:輻射后溶液中平均每毫升細菌數(shù)μ0=80H1:μ<80α=0.05u=-4.47,p<0.05拒絕H0,認為……第42頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三②兩樣本均數(shù)比較的u檢驗應用條件：μ1>20μ2>20檢驗統(tǒng)計量

第43頁，講稿共48頁，2023年5月2日，星期三例11分別從兩個水源各取10次樣品，從每個樣品取出1ml水作細菌培養(yǎng),甲水源共生長890個菌落，乙水源共生長785個菌落,問兩水源菌落數(shù)有無差別？H0:兩水源菌落數(shù)相等，即μ1=μ2H1:μ1≠μ2α=0.05

=2.566查表得p=0.0102所以拒絕H0，認為兩水源