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文檔簡介

曲線簇的包絡(luò)曲線一、包絡(luò)的定義定義1

對于給定的一個單參數(shù)曲線簇：

曲線簇(1)的包絡(luò)是指這樣的曲線,它本身不包含在曲線簇(1)中,但過這曲線的每一點有(1)中的一條曲線和它在這點相切.對于給定的一個單參數(shù)曲線族：

其中為參數(shù).若存在一條曲線滿足下列條件:(1)則稱為曲線族的一條包絡(luò)線,簡稱為包絡(luò).(2)對任意的

存在唯一的使得且與在有相同的切線.或定義：例如單參數(shù)曲線簇：（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一簇圓.如圖從圖形可見,此曲線簇的包絡(luò)顯然為:xyo注:并不是每個曲線族都有包絡(luò).例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.

如圖從圖形可見,此曲線族沒有包絡(luò).問題:對于給定的單參數(shù)曲線族:

如何判斷它是否有包絡(luò)?如果有包絡(luò),如何求?根據(jù)定義,假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò)則對任意的存在唯一的使得于是得到對應(yīng)關(guān)系:從而得到二元函數(shù)使得若可用參數(shù)形式表示為:記則于是,上任取一個固定點M,則M在某一條曲線上.由于與在M點有相同的切線,而與在M點的切線的斜率分別為與所以,有從而由于在上不同的點也在不同的上,即因此現(xiàn)在因此,包絡(luò)線上任意一點M不僅要滿足而且還要滿足把聯(lián)立方程組:中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線稱為曲線族的c-判別曲線二、包絡(luò)的求法曲線族(1)的包絡(luò)包含在下列兩方程注:解

記則即例1

的包絡(luò).求曲線族因此c-判別曲線包括兩條曲線(4)和(5),xyO例2

求直線族:的包絡(luò).這里是參數(shù),是常數(shù).解

記則消

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