史寧中教授關(guān)于高中數(shù)學(xué)的一些想法

關(guān)于高中數(shù)學(xué)的一些想法東北師范大學(xué)史寧中2014年10月目錄

（一）義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念

（二）高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)體例

（三）高中數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)一、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念教育理念：以人為本（傳統(tǒng)理念以知識(shí)為本）工作方針：育人為本（綱要）；立德樹(shù)人（十八大）以人為本：以學(xué)生的發(fā)展為本；站在學(xué)生的立場(chǎng)思考問(wèn)題轉(zhuǎn)換尊重的教育：教育規(guī)律；認(rèn)知規(guī)律；受教育者的人格人性以學(xué)習(xí)為本：實(shí)現(xiàn)從“如何教”到“如何學(xué)”的轉(zhuǎn)變

了解學(xué)生如何接受（青蛙跳水）

如何啟發(fā)學(xué)生思考（幾何作圖）

課程理念：每個(gè)人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育；

不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。人成功的基礎(chǔ)：知識(shí)技能+把握機(jī)遇+思維方法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了獲取必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和掌握必要的數(shù)學(xué)技能之外，還要獲得基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。會(huì)想問(wèn)題、會(huì)做事情。課程目標(biāo)包括三條提出四基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能+基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提出四能：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題+分析問(wèn)題、解決問(wèn)題科學(xué)精神：敢于質(zhì)疑，善于思考，實(shí)事求是，一絲不茍什么是數(shù)學(xué)的基本思想？數(shù)形結(jié)合、等量替換、消元法、遞歸法？

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展必須依賴的思想；

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與沒(méi)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維差異。抽象：現(xiàn)實(shí)→數(shù)學(xué)。數(shù)量與數(shù)量關(guān)系；圖形與圖形關(guān)系。

數(shù)學(xué)具有一般性。學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人抽象能力強(qiáng)。推理：數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)。得到并且驗(yàn)證數(shù)學(xué)的結(jié)果：命題。

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人推理能力強(qiáng)。模型：數(shù)學(xué)→現(xiàn)實(shí)。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事。

數(shù)學(xué)具有應(yīng)用的廣泛性。學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人會(huì)一般性思考。關(guān)于抽象亞里士多德：數(shù)學(xué)家用抽象的方法對(duì)事物進(jìn)行研究，去掉事物中那些感性的東西（顏色、溫度）。對(duì)于數(shù)學(xué)而言，線、角、或者其他的量的定義，不是作為存在而是作為關(guān)系。數(shù)學(xué)抽象包括：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系。通過(guò)抽象得到：研究對(duì)象的概念、研究對(duì)象的關(guān)系；運(yùn)算方法和運(yùn)算法則、度量方法。抽象分兩個(gè)層次：對(duì)應(yīng)起名（外延）；本質(zhì)描述（內(nèi)涵）。關(guān)于數(shù)的抽象（對(duì)應(yīng)、去掉物理屬性）什么是數(shù)：數(shù)量→數(shù)（估算與近似計(jì)算的區(qū)別）數(shù)量的本質(zhì)多與少→數(shù)的本質(zhì)大與小

3個(gè)蘋果比2個(gè)蘋果多→3比2大什么是加法：□□□←□，所以3+1=4？□□□□□□□哪邊的小方塊多？□□□←□□□□□哪邊的小方塊多？所以3+1=4。等號(hào)是指兩邊的量相等。方程的意義：講兩個(gè)故事，兩個(gè)故事量相等。自然數(shù)（加法）→整數(shù)（減法：加法的逆運(yùn)算）→有理數(shù)（除法：乘法的逆運(yùn)算）；有理數(shù)=分?jǐn)?shù)→無(wú)理數(shù)（不能寫成分?jǐn)?shù)的形式）→實(shí)數(shù)=有理數(shù)+無(wú)理數(shù)（小數(shù)形式的表達(dá)）為了解釋微積分、為了解釋極限運(yùn)算需要實(shí)數(shù)的連續(xù)性：可以理解1/n→0，如何理解x→0?需要無(wú)理數(shù)的運(yùn)算：√2+√3=?

√2·√3=√2·3?極限運(yùn)算：柯西(1821)

從柯西開(kāi)始，現(xiàn)代數(shù)學(xué)走向了符號(hào)化、形式化、公理化1872年，康托用柯西基本序列的方法定義了實(shí)數(shù)

解決了實(shí)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題√a·√b=√a·b？

柯西有理數(shù)列：an→√a,bn→√b,

極限運(yùn)算法則：an2→a,bn2→b，an2·bn2→a·b

有理數(shù)列：{an2·bn2}≡{(an·bn)2}確定實(shí)數(shù)a·b

柯西有理數(shù)列：an·bn確定實(shí)數(shù)√a·b，所以√a·√b=√a·b1872年，戴德金用有理數(shù)分割的方法重新定義了實(shí)數(shù)

有理數(shù)分割三種可能；實(shí)數(shù)分割兩種可能

解決了實(shí)數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題1889年，皮亞諾用公理體系重新定義了自然數(shù)（九個(gè)公理）

后續(xù)數(shù)方法：從1開(kāi)始，后續(xù)為2=1+1；加法1+1=2。

后來(lái)（10年）從0開(kāi)始。1908年，策梅羅構(gòu)建了集合公理化體系（九個(gè)公理）抽象的存在鄭板橋：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。

關(guān)于數(shù)學(xué)的推理推理：一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過(guò)程。命題：可以進(jìn)行是否判斷的陳述句。

數(shù)學(xué)命題可供判斷：這個(gè)三角形是紅的（不是數(shù)學(xué)命題）

數(shù)學(xué)命題僅供判斷：三角形內(nèi)角和180度

三角形內(nèi)角和120度（都是命題）數(shù)學(xué)命題兩種形式：

性質(zhì)命題（系詞結(jié)構(gòu)：…是…）關(guān)系命題（條件結(jié)論：如果…，那么…）數(shù)學(xué)推理是有邏輯的推理：命題內(nèi)涵之間具有傳遞性。演繹推理：命題內(nèi)涵由大到小，得到結(jié)果是必然的。驗(yàn)證結(jié)論。

A→P，x∈A，x→P。

凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。歸納推理：命題內(nèi)涵由小到大，得到結(jié)果是或然的。發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

x→P，x∈A，A→P。

蘇格拉底是人，蘇格拉底有死，所以凡人都有死。無(wú)邏輯的推理：命題之間沒(méi)有傳遞性。

蘋果是酸的，酸是一種味道，所以蘋果是一種味道。演繹推理基礎(chǔ)：同一律、矛盾律、排中律、公理（定理）、假設(shè)包括：三段論、假言三段論、反證法、完全歸納法、數(shù)學(xué)歸納法、

數(shù)字與符號(hào)運(yùn)算（算法邏輯）形式：已知A

求證B。

A和B都是確定性命題。功能：可以驗(yàn)證結(jié)論。

不能用于發(fā)現(xiàn)真理，但可以發(fā)現(xiàn)謬誤。歸納推理

通過(guò)經(jīng)驗(yàn)過(guò)的東西推斷沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的東西從小范圍的結(jié)論推斷大范圍的結(jié)論。包括：歸納法、類比、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、試驗(yàn)數(shù)據(jù)、調(diào)查數(shù)據(jù)歸納法：代數(shù)（哥德巴赫猜想、平方和公式）類比法：幾何（龐加萊猜想、愛(ài)因斯坦時(shí)空)

歸納推理就是“看出”結(jié)果，這是創(chuàng)新的根本。在我國(guó)，過(guò)去的數(shù)學(xué)教育缺少這種能力的培養(yǎng)。因此，這種能力的培養(yǎng)將是我國(guó)未來(lái)教育教學(xué)改革的難點(diǎn)和重點(diǎn)。針對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)化、形式化、公理化的特點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)采取有相應(yīng)的教學(xué)方法：

表達(dá)是符號(hào)的，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的；證明是形式的，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是直觀的；體系是公理的，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是歸納的。即：教學(xué)需要反其道而行之

抽象到具體：舉例說(shuō)明、直觀描述。一般到特殊：高維空間到低維空間。是教學(xué)改革的一個(gè)難點(diǎn)，也是為廣大教師提供了一個(gè)舞臺(tái)。關(guān)于數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型？2x、y=5x2

是不是模型？數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界中的故事。語(yǔ)言：概念、符號(hào)、公式；故事：與數(shù)量（數(shù)字化）有關(guān)、與圖形有關(guān)。力的模型（第二定律）：F=ma重力加速度模型：s=gt2/2伯努利模型：B(1,p)→B(n,p)凱恩斯學(xué)派強(qiáng)調(diào)政府對(duì)于市場(chǎng)的干預(yù)凱恩斯靜態(tài)模型兩個(gè)方程第一個(gè)方程：收入=消費(fèi)+投資第二個(gè)方程：消費(fèi)=基本+收入比例其中Y：國(guó)民收入；C：國(guó)民消費(fèi)；I：國(guó)民投資；a0為基本消費(fèi)；a為消費(fèi)傾向：a≦1。通過(guò)計(jì)算可以得到a越接近1，消費(fèi)傾向越強(qiáng)，國(guó)民收入越高。二、高中課程標(biāo)準(zhǔn)體例高中階段教育：基礎(chǔ)性、選擇性、時(shí)代性必修（8學(xué)分、一學(xué)年）：學(xué)業(yè)水平考試；分等級(jí)選修Ⅰ（6學(xué)分、二學(xué)年）：?？瓶梢圆粚W(xué)；作為高考成績(jī)選修Ⅱ

（6學(xué)分、三學(xué)年）：自主招生院校必修：強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性與時(shí)代性函數(shù)與數(shù)列：集合、函數(shù)、基本初等函數(shù)、數(shù)列、不等式向量與幾何：向量、立體幾何初步、平面解析幾何初步統(tǒng)計(jì)與概率：隨機(jī)抽樣、誤差模型、估計(jì)、古典概型選修Ⅰ（6學(xué)分）：選擇性與基礎(chǔ)性導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、優(yōu)化、算法、伯努利模型、列聯(lián)表選修Ⅱ

（6學(xué)分）：選擇性與時(shí)代性

理工方向：變換、基于模型的統(tǒng)計(jì)與概率社會(huì)方向：經(jīng)濟(jì)模型、運(yùn)籌優(yōu)化人文方向：概念命題、邏輯推理藝術(shù)方向：基于數(shù)學(xué)的美，對(duì)稱、周期、和諧自主招生考試：學(xué)校指定、學(xué)生選擇、分類錄取

三、高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)兩個(gè)層次：通識(shí)、數(shù)學(xué)通識(shí)素養(yǎng)：會(huì)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)用能力（應(yīng)用意識(shí)），創(chuàng)新意識(shí)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)：抽象概括（數(shù)感、符號(hào)意識(shí)），運(yùn)算能力，推理能力，

數(shù)學(xué)建模（模型思想），幾何直觀（+空間觀念），

數(shù)據(jù)分析觀念。表述：數(shù)學(xué)理解，審美能力，數(shù)學(xué)表達(dá)交流合作能力?？荚嚕阂院诵乃仞B(yǎng)為準(zhǔn)則。謝謝！什么是：除法是乘法的逆運(yùn)算？關(guān)聯(lián)問(wèn)題：為什么除分?jǐn)?shù)等于乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)？

有鵝4只，是鴨子的1/3，問(wèn)有幾只鴨子？

4÷1/3=4×3=12?分?jǐn)?shù)：等分關(guān)系；比例關(guān)系。除法是乘法的逆運(yùn)算：？=

4÷1/3→？×1/3=

4

？×1/3×3=

4×3？=

4×3？=

4÷1/3=

4×3已知

1+2+…+n=n(n+1)/2，推斷平方和

12+22+…+n2=？立方和13+23+…+n3=？歸納的方法：

n12345

和

1361015

平方和

15143055

立方和

1936100225→立方和=和×和=n2(n+1)2/4

平方和=和×A

n=2，和

=

5=3×5/3；n=3，和

=

14=6×7/3；

n=4，和

=30=10×9/3；n=5，和

=55=15×11/3。→

A=(2n+1)/3→

平方和

=n(n+1)(2n+1)/6

如何理解集合？集合的定義由描述走向符號(hào)化

研究對(duì)象的全體→可分辨的、研究對(duì)象的全體→具有某種特性的、研究對(duì)象的全體1918年羅素給出悖論：

一個(gè)鄉(xiāng)村理發(fā)師說(shuō)，他不給村里自己刮臉的人刮臉，但給所有不自己刮臉的人刮臉。

后來(lái)他遇到了尷尬，他是否應(yīng)當(dāng)給自己刮臉呢？

如果他給自己刮臉，那么按照他說(shuō)的前一半，就不應(yīng)當(dāng)給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那么按照他說(shuō)的后一半，就應(yīng)當(dāng)給自己刮臉。理發(fā)師陷入了邏輯兩難的困境。符號(hào)化定義（Z-F公理體系）

用大寫字母A表示集合；用小寫字母a表示元素；用∈表示屬于關(guān)系。如果元素a屬于集合A，則表示為a∈A。集合由元素唯一確定：

1.外延公理。對(duì)于兩個(gè)集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，則這兩個(gè)集合是同一集合，記為：A≡B。集合的性質(zhì)與分類。集合的不重復(fù)性是什么意思？集合的無(wú)序性是什么意思？函數(shù)：初中變量說(shuō)、高中對(duì)應(yīng)說(shuō)，為什么？

f1(x)=sin2x+cos2x，f2(x)=1。這兩個(gè)函數(shù)是一樣的嗎？對(duì)應(yīng)說(shuō)：定義域、值域、對(duì)應(yīng)（映射）；集合、對(duì)應(yīng)關(guān)系。三角函數(shù)：初中在直角三角形中講、高中在單位圓中講，為什么？對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系？如何定義幾何的點(diǎn)線面？歐幾里得概念：點(diǎn)沒(méi)有部分。線只有長(zhǎng)度沒(méi)有寬度。面只有長(zhǎng)度和寬度。

平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)能且只能做一條平行線。帶來(lái)很多的問(wèn)題點(diǎn)線：兩條直線相交一定交于一點(diǎn)？平行：兩條永遠(yuǎn)不相交的直線？全等：兩個(gè)圖形重合？希爾伯特：基本概念符號(hào)化（點(diǎn)、線、面；桌子、椅子、啤酒杯）

設(shè)想有三組不同的對(duì)象：第一組的對(duì)象叫做點(diǎn)，用A，B，C，…表示；第二組的對(duì)象叫做直線，用a，b，c，…表示；第三組的對(duì)象叫做平面，用α，β，γ，…表示。關(guān)聯(lián)公理：兩點(diǎn)唯一決定一條直線、三點(diǎn)唯一決定一個(gè)平面順序公理：直線上一個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)點(diǎn)之間、直線通過(guò)三角形兩個(gè)邊合同公理：線段相等、角相等、三角形邊角邊全等平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與這條直線平行連續(xù)公理：阿基米德公理、完備性公理（龐加萊）過(guò)直線外一點(diǎn)有一條平行線：歐幾里得幾何無(wú)數(shù)平行線：羅巴切夫斯基幾何沒(méi)有平行線：黎曼幾何三角形內(nèi)角和高斯曲率在三角形上的積分=三個(gè)角的和–π曲率：歐式幾何=0；內(nèi)角和等于180度。

羅氏幾何﹤0；內(nèi)角和小于180度。

黎曼幾何﹥0；內(nèi)角和大于180度。這些幾何都有鮮明的物理背景。公理→假設(shè)羅巴切夫斯基幾何

從無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)出發(fā)，可以在地球上得到無(wú)數(shù)多條平行直線。北極出地=北緯：北半球所有點(diǎn)到北極星的射線都平行。

北極星到地球：434光年；地球半徑：6369公里。Aaab赤道ONN黎曼幾何：球面上的幾何兩點(diǎn)間直線段最短？?jī)牲c(diǎn)間所有連線中直線段最短。

北京和紐約都在北緯40度

沿緯度：14311公里