.差分與差分方程的概念

特征方程特征根解：∴通解為:

課前練習(xí)代入通解得所求特解：將代入以上兩式，得：安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.6差分與差分方程的概念三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)一、差分的概念二、差分方程的概念微積分電子教案§10.6差分與差分方程的概念微分方程差分方程區(qū)別未知函數(shù)為連續(xù)型未知函數(shù)為離散型兩者性質(zhì)相近，差分方程在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用更廣泛，象統(tǒng)計(jì)某經(jīng)濟(jì)量，以天、日為單位。研究函數(shù)y=f(t)在t時(shí)刻的變化速度問題.①若y=f(t)為連續(xù)函數(shù),在點(diǎn)t

處的變化速度為一、差分的概念1、問題②若y=f(t)為離散函數(shù),變化速度差商——微商差商：——差分表示f(t)在t(整數(shù))處變化速度的近似值。

設(shè)y=f(x),記為yx

,其中

x(通常表示時(shí)間)的取值為離散的等間隔整數(shù)值:x=0,±1,±2,…,則yx+1-yx稱為函數(shù)yx在x處的差分,也稱一階差分,記為:2、差分的定義一、差分的概念例1.求下列函數(shù)的差分：⑴解：⑵⑶常數(shù)的差分為0冪函數(shù)的差分次數(shù)降低1次指數(shù)函數(shù)的差分是原指數(shù)函數(shù)的若干倍一、差分的概念解：一、差分的概念例2

求下列函數(shù)的差分3、差分的四則運(yùn)算法則一、差分的概念參照導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)習(xí)⑴二階差分:差分△yx在x處的差分稱為yx在x處的二階差分,記為△2yx類似地有:⑵高階差分:二階和二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.4、高階差分一、差分的概念解一、個(gè)差分杰的概囑念例3求解：一、器差分殼的概夢念例4解：（公式）一、愚差分風(fēng)的概仔念例5引例：已知此電視暑機(jī)廠窮第x個(gè)月硬月初織的庫丹存量埋為Rx，該半月內(nèi)凳生產(chǎn)須、銷充售分刑別為m,n，則鍛下月忽初庫緞存量Rx+1為：差分孝方程二、涉差分側(cè)方程寄的概濱念定義1:含有洞自變木量x以及未知唉函數(shù)猾不同吉時(shí)期黎值的幕函數(shù)金方程,稱為專差分窮方程擋。未知末函數(shù)下標(biāo)嶄的最尤大差召值稱為就該差分紗方程條的“該階”。二階趁差分亂方程一階游差分含方程一階訪差分嬌方程1、兩以種定喪義與威階一般怎形式:反映容了未搭知函模數(shù)不誤同時(shí)李期值二、夸差分倍方程隙的概院念定義2：含有笑未知立函數(shù)撲差分灘的方電程，井稱為不差分咱方程筑。如：二階談差分盯方程三階施差分序方程其中哄未知療函數(shù)差分紫的最土高階芝數(shù)稱為京該差分毀方程無的階。一階乒差分燦方程1、兩澆種定秀義與途階一般惠形式:二、杏差分寫方程近的概承念差分軌方程盛的兩屆種形蝦式可刮以相惱互轉(zhuǎn)膜化,但“階數(shù)”可能度會不嘆等價(jià)杜。如表：二階趴差分藥方程轉(zhuǎn)化貓為另脆一種路形式忌：即：一階閘差分控方程⑵約定以定義1為準(zhǔn)陵，今恭后遇隸到第換二種孕形式踐的差洽分方盞程要毅展開貼，化惠為第耐一種國形式碌后再辰定它瘋的階踐數(shù)(∵經(jīng)濟(jì)剝領(lǐng)域狹中只摧討論絕形如悉定義1型的霞差分牽方程)2、對駕定義裳的說賞明與橋約定⑴對定求義的鳴說明二、創(chuàng)差分扮方程敬的概賴念解例6下列真等式努是差缺分方俘程的治有(精).二、低差分味方程示的概帽念解例7確定便下列厭方程挪的階若將垂已知順函數(shù)y=(x)代入之差分枕方程化，使偶得方碼程兩級邊成送為恒兩等式昏，則犬稱此蘿函數(shù)巨為差分不方程念的解.3、解泥的定越義二、謊差分氧方程逆的概艙念4、通盞解、生特解菊與特迷注⑴通解:含有獨(dú)立的任意艱常數(shù),且常詢數(shù)個(gè)數(shù)無與差風(fēng)分方佳程的膀階數(shù)打相同,這樣蘆的解魔稱為糞差分港方程菊的通歪解。⑵特解:不含均有任津意常來數(shù)的解歡稱為招特解襲。(或在希通解鑰中給粱任意謊常數(shù)諸以確揚(yáng)定的弓值而叛得到施的解倆稱為瞎差分沒方程釣的特婆解)★⑶差分馬方程默解的泛重要所性質(zhì)讀：“時(shí)滯淺性”差分薄方程滾中自拾變量片超前曬或滯原后相船同的插時(shí)間呢間隔促，而敏方程生結(jié)構(gòu)窄不變泄，則孕由此邀得到鄙的新湯方程慰與原兼方程績有相紐奉同的棋解，惕換言襪之，銳新老傭方程州為同公解方隙程。二、租差分彼方程稍的概掏念規(guī)定：標(biāo)準(zhǔn)掘差分方程塌中最以小下套標(biāo)為x。例如材：即：注：盡標(biāo)準(zhǔn)值化就踐是變議量替岔換。應(yīng)將畢差分蹄方程戚化成謹(jǐn)標(biāo)準(zhǔn)浮方程,然后證再求病解。如：二、含差分弱方程憤的概岡念⑴n階常角系數(shù)筍線性嗚齊次畫差分桶方程三、續(xù)常系癥數(shù)線炮性差干分方刺程解循的結(jié)兆構(gòu)1、標(biāo)準(zhǔn)果形式⑵n階常割系數(shù)還線性非齊次饒差分球方程二階常系嚴(yán)數(shù)非糾齊次差分奧方程一階常系春數(shù)非鐘齊次差分言方程三階線性站非齊姑次差分無方程三階線性栽齊次差分壘方程(系數(shù)艱不是陣常數(shù))三、月常系開數(shù)線斑性差謊分方薦程解辛的結(jié)凝構(gòu)定理1(疊加盼原理)若y1(x),y2(x),辮…,yk(x)是n階線宏性齊扮次方認(rèn)程⑴的k個(gè)特裳解，葉則它努的線表性組結(jié)合仍為⑴的解。(其中C1,C2,…伸,Ck為k個(gè)任坦意常醫(yī)數(shù))2、線災(zāi)性差轉(zhuǎn)分方桃程解距的結(jié)對構(gòu)定撞理⑴齊次漢線性精差分幻玉方程憤的通蘭解結(jié)估構(gòu)：(與線習(xí)性微聞分方絡(luò)程類縣似)三、墊常系梢數(shù)線蹲性差萄分方自程解賴的結(jié)惰構(gòu)問題:定理2(通解帳結(jié)構(gòu)逐定理)若y1(x)，y2(x)，…，yn(x)是n階線猶性齊欠次差尤分方鮮程⑴的n個(gè)線菠性無瀉關(guān)的橋特解,則其書通解廉為(其中C1,C2,…射,Cn為n個(gè)任膝意常慕數(shù)）三、全常系躺數(shù)線棍性差妄分方由程解朗的結(jié)狗構(gòu)那么遼稱這閥些函蹦數(shù)在味區(qū)間恥內(nèi)線性橋相關(guān)簡；否則脫稱線性低無關(guān).注：設(shè)為定義在區(qū)間內(nèi)的個(gè)函數(shù)．如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立三、矩常系耐數(shù)線錢性差熊分方攝程解賞的結(jié)挑構(gòu)⑵非齊次漲線性確差分勝方程地的通熄解結(jié)她構(gòu)：定理3設(shè)是階常系數(shù)非齊次線性差分方程

的一個(gè)特解,是與(2)對應(yīng)的齊次方程(1)的通解,那么