初等數(shù)論論文-2

初等數(shù)論論文素數(shù)及其應用摘要：質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)。指在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。因為合數(shù)是由若干個質(zhì)數(shù)相乘而得來的，所以，沒有質(zhì)數(shù)就沒有合數(shù)，由此可見素數(shù)在數(shù)論中有著很重要的地位。比1大但不是素數(shù)的數(shù)稱為合數(shù)。1和0既非素數(shù)也非合數(shù)。質(zhì)數(shù)是與合數(shù)相對立的兩個概念，二者構(gòu)成了數(shù)論當中最基礎的定義之一?；谫|(zhì)數(shù)定義的基礎之上而建立的問題有很多世界級的難題，如哥德巴赫猜想等。算術(shù)基本定理每一個比1大的數(shù)（即每個比1大的正整數(shù)）要么本身是一個素數(shù)，要么可以寫成一系列素數(shù)的乘積，如果不考慮這些素數(shù)的在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的。這個定理的重要一點是，將1排斥在素數(shù)集合以外。關(guān)鍵詞：素數(shù)，無窮性，著名問題，應用素數(shù)的概念概念\o"編輯本段"只有1和它本身兩個正因數(shù)的自然數(shù)，叫素數(shù)(PrimeNumber)，又稱質(zhì)素。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數(shù)只有1和它本身2這兩個約數(shù)，所以2就是質(zhì)數(shù)。與之相對立的是合數(shù)：“除了1和它本身兩個因數(shù)外，還有其它因數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)?！比纾?÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數(shù)除了1和它本身4這兩個因數(shù)以外，還有因數(shù)2，所以4是合數(shù)。）100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100內(nèi)共有25個質(zhì)數(shù)。注：（1）2和3是所有素數(shù)中唯一兩個連著的數(shù)。（2）2是唯一一個為偶數(shù)（雙數(shù)）的質(zhì)數(shù)。（3）質(zhì)數(shù)的平方數(shù)只有三個因數(shù).素數(shù)無窮性的證明素數(shù)的個數(shù)是無窮的。最經(jīng)典的證明由歐幾里得證得，在他的《幾何原本》中就有記載。它使用了證明常用的方法：反證法。具體的證明如下：假設質(zhì)數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素數(shù)或者不是素數(shù)。如果N+1為素數(shù)，則N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數(shù)集合中。如果N+1為合數(shù)，因為任何一個合數(shù)都可以分解為幾個素數(shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設的素數(shù)集合中。因此無論該數(shù)是素數(shù)還是合數(shù)，都意味著在假設的有限個素數(shù)之外還存在著其他素數(shù)。對任何有限個素數(shù)的集合來說，用上述的方法永遠可以得到有一個素數(shù)不在假設的素數(shù)集合中的結(jié)論。所以原先的假設不成立。也就是說，素數(shù)有無窮多個。其他數(shù)學家也給出了他們自己的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素數(shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，HillelFurstenberg則用拓撲學加以證明。素數(shù)計算盡管整個素數(shù)是無窮的，仍然有人會問“100,000以下有多少個素數(shù)?”，“一個隨機的100位數(shù)多大可能是素數(shù)?”。素數(shù)定理可以回答此問題。素數(shù)、即質(zhì)數(shù)，是在大于1的整數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。梅森素數(shù)以法國數(shù)學家馬蘭.梅森命名，指的是形如2的P次冪減一的素數(shù)，而P本身也是素數(shù)。迄今為止，數(shù)學界共計發(fā)現(xiàn)48個梅森素數(shù)。中央密蘇里大學在2013年1月25日協(xié)調(diào)世界時23:30:26發(fā)現(xiàn)的那一素數(shù)2的57,885,161次冪減一為迄今發(fā)現(xiàn)的最大素數(shù)。素數(shù)檢驗\o"編輯本段"檢查一個正整數(shù)n是否為素數(shù)，最簡單的方法就是試除法，將該數(shù)n用小于等于根號n的所有素數(shù)去試除，若均無法整除，則n為素數(shù)，參見素數(shù)判定法則。2002年，印度人M.Agrawal、N.Kayal以及N.Saxena提出了AKS質(zhì)數(shù)測試算法，證明了可以在多項式時間內(nèi)檢驗是否為素數(shù)。著名問題哥德巴赫猜想\o"編輯本段"在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和。因現(xiàn)今數(shù)學界已經(jīng)不使用“1也是素數(shù)”這個約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數(shù)想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個素數(shù)的和，或是一個素數(shù)和一個半素數(shù)的和"。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會是對的。若哥德巴赫猜想尚未完全解決，但1937年時前蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫已經(jīng)證明充分大的奇質(zhì)數(shù)都能寫成三個質(zhì)數(shù)的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數(shù)定理”，數(shù)學家認為弱哥德巴赫猜想已基本解決。黎曼猜想黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點分布的猜想，由數(shù)學家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德國數(shù)學家希爾伯特列出23個數(shù)學問題．其中第8問題中便有黎曼假設。素數(shù)在自然數(shù)中的分布并沒有簡單的規(guī)律。黎曼發(fā)現(xiàn)素數(shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼ζ函數(shù)緊密相關(guān)。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數(shù)ζ(s)非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點的值）的實數(shù)部份是1/2。即所有非平凡零點都應該位于直線1/2+ti（“臨界線”（criticalline））上。t為一實數(shù)，而i為虛數(shù)的基本單位。至今尚無人給出一個令人信服的關(guān)于黎曼猜想的合理證明。在黎曼猜想的研究中，數(shù)學家們把復平面上Re(s)=1/2的直線稱為criticalline。運用這一術(shù)語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點都位于criticalline上。黎曼猜想是黎曼在1859年提出的。在證明素數(shù)定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函數(shù)的零點都在直線Res(s)=1/2上。他在作了一番努力而未能證明后便放棄了，因為這對他證明素數(shù)定理影響不大。但這一問題至今仍然未能解決，甚至于比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函數(shù)論和解析數(shù)論中的很多問題都依賴于黎曼假設。在代數(shù)數(shù)論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。孿生素數(shù)猜想1849年，波林那克提出孿生質(zhì)數(shù)猜想（theconjectureoftwinprimes），即猜測存在無窮多對孿生質(zhì)數(shù)。猜想中的“孿生質(zhì)數(shù)”是指一對質(zhì)數(shù)，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孿生質(zhì)數(shù)。費馬數(shù)被稱為“17世紀最偉大的法國數(shù)學家”的費馬，也研究過質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。他發(fā)現(xiàn)，設Fn=2^(2^n)+1，則當n分別等于0、1、2、3、4時，F(xiàn)n分別給出3、5、17、257、65,537，都是質(zhì)數(shù)，由于F5太大（F5=4,294,967,297），他沒有再往下檢測就直接猜測：對于一切自然數(shù)，F(xiàn)n都是質(zhì)數(shù)。這便是費馬數(shù)。費馬死后67年，25歲的瑞士數(shù)學家歐拉證明：F5=641×6,700,417是一個合數(shù)。以后的Fn值，數(shù)學家再也沒有找到哪個Fn值是質(zhì)數(shù)，全部都是合數(shù)。由于平方開得較大，因而能夠證明的也很少?，F(xiàn)在數(shù)學家們?nèi)〉肍n的最大值為：n=1,495，其位數(shù)多達10^10584位，當然它盡管非常之大，但也不是個質(zhì)數(shù)。高斯已經(jīng)證明，一個正多邊形能用直尺和圓規(guī)作出當且僅當邊數(shù)為質(zhì)數(shù)的Fn或若干個為質(zhì)數(shù)的Fn的乘積。梅森素數(shù)17世紀還有位法國數(shù)學家叫梅森，他曾經(jīng)做過一個猜想：當2^p-1中的p是質(zhì)數(shù)時，2^p-1是質(zhì)數(shù)。他驗算出：當p=2、3、5、7、17、19時，所得代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù)，后來，歐拉證明p=31時，2^p-1是質(zhì)數(shù)。p=2，3，5，7時，2^p-1都是素數(shù)，但p=11時，所得2,047=23×89卻不是素數(shù)。梅森去世250年后，美國數(shù)學家科勒證明，2^67-1=193,707,721×761,838,257,287，是一個合數(shù)。這是第九個梅森數(shù)。20世紀，人們先后證明：第10個梅森數(shù)是質(zhì)數(shù)，第11個梅森數(shù)是合數(shù)。質(zhì)數(shù)排列得雜亂無章，也給人們尋找質(zhì)數(shù)規(guī)律造成了困難。目前最大的已知質(zhì)數(shù)是梅森質(zhì)數(shù)2^57,885,161－1。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)48個梅森質(zhì)數(shù)。由于這種質(zhì)數(shù)珍奇而迷人，它被人們稱為“數(shù)學珍寶”。中國數(shù)學家和語言學家周海中根據(jù)已知的梅森質(zhì)數(shù)及其排列，巧妙地運用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年正式提出了梅森素質(zhì)分布的猜想(即周氏猜測)。相關(guān)定理\o"編輯本段"素數(shù)定理素數(shù)定理描述素數(shù)的大致分布情況。素數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學家。一個個地看，素數(shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒有什么規(guī)律?？墒强傮w地看，素數(shù)的個數(shù)竟然有規(guī)可循。對正實數(shù)x，定義π(x)為不大于x的素數(shù)個數(shù)。數(shù)學家找到了一些函數(shù)來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。π(x)≈x/lnx其中l(wèi)nx為x的自然對數(shù)。上式的意思是當x趨近∞，π(x)和x/lnx的比趨近1（注：該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。下面是對π(x)更好的估計：π(x)=Li(x)+O(xe^(-(lnx)^(1/2)/15)，當x趨近∞。其中Li(x)=∫(dt/lnx2,x)，而關(guān)系式右邊第二項是誤差估計。素數(shù)定理可以給出第n個素數(shù)p(n)的漸近估計：p(n)～n/lnn.它也給出從整數(shù)中抽到素數(shù)的概率。從不大于n的自然數(shù)隨機選一個，它是素數(shù)的概率大約是1/lnn。這定理的式子於1798年法國數(shù)學家勒讓德提出。1896年法國數(shù)學家哈達瑪(JacquesHadamard)和比利時數(shù)學家普森(CharlesJeandelaVallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了復分析，尤其是黎曼ζ函數(shù)。因為黎曼ζ函數(shù)與π(x)關(guān)系密切，關(guān)于黎曼ζ函數(shù)的黎曼猜想對數(shù)論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素數(shù)定理誤差的估計。1901年瑞典數(shù)學家HelgevonKoch證明出，假設黎曼猜想成立，以上關(guān)系式誤差項的估計可改進為:π(x)=Li(x)+O(x^(1/2)lnx)至於大O項的常數(shù)則還未知道。素數(shù)定理有些初等證明只需用數(shù)論的方法。第一個初等證明于1949年由匈牙利數(shù)學家保羅·艾狄胥（“愛爾多斯”，或“愛爾多?！保┖团餐?shù)學家阿特利·西爾伯格合作得出。在此之前一些數(shù)學家不相信能找出不需借助艱深數(shù)學的初等證明。像英國數(shù)學家哈代便說過素數(shù)定理必須以復分析證明，顯出定理結(jié)果的「深度」。他認為只用到實數(shù)不足以解決某些問題，必須引進復數(shù)來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素數(shù)定理的初等證明動搖了這論調(diào)。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數(shù)學，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，雖然該初等證明只用到初等的辦法，其難度甚至要比用到復分析的證明遠為困難。算術(shù)基本定理任何一個大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個質(zhì)數(shù)的乘積N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an),這里P_1<P_2<...<P_n是質(zhì)數(shù)，其諸方冪ai是正整數(shù)。這樣的分解稱為N的標準分解式。算術(shù)基本定理的內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數(shù)分解為素數(shù)乘積的方式是唯一的）。算術(shù)基本定理是初等數(shù)論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發(fā)點。此定理可推廣至更一般的交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論。高斯證明復整數(shù)環(huán)Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解整環(huán)，歐幾里得整環(huán)等等概念。更一般的還有戴德金理想分解定理。素數(shù)等差數(shù)列等差數(shù)列是數(shù)列的一種。在等差數(shù)列中，任何相鄰兩項的差相等。該差值稱為公差。類似7、37、67、97、107、137、167、197。這樣由素數(shù)組成的數(shù)列叫做等差素數(shù)數(shù)列。2004年，格林和陶哲軒證明存在任意長的素數(shù)等差數(shù)列。2004年4月18日，兩人宣布：他們證明了“存在任意長度的素數(shù)等差數(shù)列”，也就是說，對于任意值K，存在K個成等差級數(shù)的素數(shù)。例如K=3，有素數(shù)序列3,5,7（每兩個差2）……K=10，有素數(shù)序列199,409,619,829,1039,1249,1459,1669,1879,2089（每兩個差210）。未解之謎哥德巴赫猜想：是否每個大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和？孿生素數(shù)猜想：孿生素數(shù)就是差為2的素數(shù)對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數(shù)？斐波那契數(shù)列內(nèi)是否存在無窮多的素數(shù)？是否有無窮多個的梅森素數(shù)？在n2與（n+1）2之間是否每隔n就有一個素數(shù)？是否存在無窮個形式如X2+1素數(shù)？黎曼猜想素數(shù)的應用質(zhì)數(shù)被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找素數(shù)的過程），將會因為找質(zhì)數(shù)的過程（分解質(zhì)因數(shù)）過久，使即使取得信息也會無意義。在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數(shù)最好設計成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強耐用度減少故障。在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明。實驗表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產(chǎn)生抗藥性。以質(zhì)數(shù)形式無規(guī)律變化的導彈和魚雷可以使敵人不易攔截。多數(shù)生物的生命周期也是質(zhì)數(shù)（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機會。素數(shù)的最新成果\o"編輯本段"數(shù)論是純粹數(shù)學的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。而整數(shù)的基本元素是素數(shù)（也稱質(zhì)數(shù)），所以數(shù)論的本質(zhì)是對素數(shù)性質(zhì)的研究。數(shù)論被高斯譽為“數(shù)學中的皇冠”。因此，數(shù)學家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵人們?nèi)ァ罢　?。發(fā)現(xiàn)已知的最大素數(shù)美國中央密蘇里大學數(shù)學家柯蒂斯·庫珀領(lǐng)導的研究小組通過參加一個名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大索”（GIMPS）的國際合作項目，于2013年1月25日發(fā)現(xiàn)了目前已知的最大素數(shù)——2^57885161-1（即2的57885161次方減1）。該素數(shù)是第48個梅森素數(shù)，有17425170位；如果用普通字號將它連續(xù)打印下來，其長度可超過65公里！美國數(shù)學學會發(fā)言人邁克·布林宣稱：這是數(shù)論研究的一項重大突破。研究小組在大約1000臺大學里的計算機上運行GIMPS的軟件，每臺計算機都不間斷地用了39天時間證明2^57885161-1是個素數(shù)。之后其他研究者也獨立驗證了這一結(jié)果。庫珀通過參加GIMPS項目一共發(fā)現(xiàn)了3個梅森素數(shù)。尋找梅森素數(shù)已成為發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑。如今世界上有180多個國家和地區(qū)近28萬人參加了GIMPS項目，并動用超過79萬臺計算機聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。梅森素數(shù)是否有無窮多個？這是一個尚未破解的著名數(shù)學謎題。證明“弱孿生素數(shù)猜想”美國新罕布什爾大學數(shù)學家張益唐經(jīng)過多年努力，在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下，率先證明了一個“弱孿生素數(shù)猜想”，即“存在無窮多個之差小于7000萬的素數(shù)對”。4月17日，他將論文投稿給世界頂級期刊《數(shù)學年刊》。美國數(shù)學家、審稿人之一亨里克·艾溫尼科評價說：“這是一流的數(shù)學工作?！彼嘈挪痪脮泻芏嗳税选?000萬”這個數(shù)字“變小”。盡管從證明弱孿生素數(shù)猜想到證明孿生素數(shù)猜想還有相當?shù)木嚯x，英國《自然》雜志在線報道還是稱張益唐的證明為一個“重要的里程碑”。由于孿生素數(shù)猜想與哥德巴赫猜想密切相關(guān)（姐妹問題），很多數(shù)學家希望通過解決這個猜想，進而攻克哥德巴赫猜想。值得一提的是，英國數(shù)學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個“強孿生素數(shù)猜想”。這一猜想不僅提出孿生素數(shù)有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。中國數(shù)學家周海中指出：要證明強孿生素數(shù)猜想，人們?nèi)砸鎸υS多巨大的困難。解開“弱哥德巴赫猜想”2013年5月13日，秘魯數(shù)學家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師范學院宣稱：證明了一個“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個大于7的奇數(shù)都能被表示成3個奇素數(shù)之和”。他將論文投稿給全球最大的預印本網(wǎng)站（arXiv）；有專家認為這是哥德巴赫猜想研究的一項重大成果。不過，其證明是否成立，還有待進一步考證。赫爾弗戈特在論證技術(shù)上主要使用了哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法。在這一圓法中，數(shù)學家創(chuàng)建了一個周期函數(shù)，其范圍包括所有素數(shù)。1923年，哈代和李特爾伍德證明，假設廣義黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對充分大的奇數(shù)是正確的；1937年，蘇聯(lián)數(shù)學家伊萬·維諾格拉多夫更進一步，在無須廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數(shù)可以表示為3個素數(shù)之和。英國數(shù)學家安德魯·格蘭維爾稱，不幸的是，由于技術(shù)原因，赫爾弗戈特的方法很難證明“強哥德巴赫猜想”，即“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。如今數(shù)學界的主流意見認為：要證明強哥德巴赫猜想，還需要新的思路和工具，或者在現(xiàn)有的方法上進行重大的改進。初等證明\o"編輯本段"素數(shù)定理有些初等證明只需用數(shù)論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數(shù)學家保羅·艾狄胥（“愛爾多斯”，或“愛爾多?！保┖团餐?shù)學家阿特利·西爾伯格合作得出。在此之前一些數(shù)學家不相信能找出不需借助艱深數(shù)學的初等證明。像英國數(shù)學家哈代便說過素數(shù)定理必須以復分析證明，顯出定理結(jié)果的「深度」。他認為只用到實數(shù)不足以解決某些問題，必須引進復數(shù)來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比別的更高等也更厲害，而素數(shù)定理的初等證明動搖了這論調(diào)。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數(shù)學，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，雖然該初等證明只用到初等的辦法，其難度甚至要比用到復分析的證明遠為困難。質(zhì)數(shù)趣談\o"編輯本段"孿生素數(shù)和廣義孿生素數(shù)眾所周知，孿生素數(shù)指的是恰好相差2的兩個質(zhì)數(shù)。為什么是相差2，不是相差1呢？相差1的質(zhì)數(shù)只有2和3一對（偶質(zhì)數(shù)只有一個），太平凡；而相差2的有無窮多對，而且規(guī)律難以捉摸，這就成為了數(shù)學家們樂此不疲的研究課題。不少人相信，孿生素數(shù)有無窮多對，不過這個猜想至少未證明，卻成為了數(shù)學界上最著名的未解問題之一[6]。而“廣義”的“孿生”素數(shù)則是指相差不超過k的一對素數(shù)。有人說，這種素數(shù)不是很常見嗎？比如k等于10的時候，在1000以內(nèi)這種“廣義”的孿生素數(shù)俯拾即是，不是很平凡嗎？非也。眾所周知，離原點越遠，質(zhì)數(shù)越稀疏，故數(shù)字大的時候這種廣義孿生質(zhì)數(shù)沒有想象中這么容易找到。同時，既然孿生素數(shù)猜想這么難證明，我們可以退求其次，證明“廣義孿生素數(shù)”有無窮多對，哥德巴赫猜想就是這么一步一步發(fā)展的——從（9+9）到（1+5）再到（1+4）（1+3）（1+2），至今距離哥德巴赫猜想本身——（1+1）只剩一步之遙了。數(shù)論一般都是如此，用最普通的數(shù)學歸納基本上是不可