數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)難點(diǎn)思索及對(duì)策

數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)難點(diǎn)思索及對(duì)策

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是普通全日制本科大學(xué)經(jīng)管類專業(yè)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課也是后續(xù)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》乃至《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》的理論基礎(chǔ)。隨著統(tǒng)計(jì)學(xué)方法在經(jīng)濟(jì)管理理論和實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用學(xué)好這門課對(duì)于經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生未來的工作、學(xué)習(xí)和生活將有極大的幫助和裨益。然而在教學(xué)過程中學(xué)生普遍感覺到這門課程內(nèi)容抽象方法獨(dú)特思想深?yuàn)W不易掌握。因此將一些難點(diǎn)問題集中起來加以總結(jié)和歸納然后有意識(shí)地給學(xué)生講解不失為一種提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和課堂教學(xué)質(zhì)量的好辦法。

難點(diǎn)一：隨機(jī)事件的表示。在求解隨機(jī)事件的概率時(shí)總是先將這個(gè)事件用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來然后再用公式計(jì)算。有些事件表示起來可能比較簡單但有些事件屬于復(fù)合事件表示起來相對(duì)復(fù)雜。初學(xué)者由于對(duì)事件之間的關(guān)系以及運(yùn)算規(guī)律不甚了解而感到無從下手。例：設(shè)袋中有大小相同的個(gè)球個(gè)紅球個(gè)黑球個(gè)白球從中無放回地任取兩次每次取一個(gè)以Ak，Bk，Ck，分別表示第K次取到紅、黑、白球，試表示下列事件：僅取到一個(gè)黑球；第二次取到黑球；沒取到黑球；最多只取到一個(gè)黑球。答案是：B1A2+B1C2+A1B2+C1B2或B1B2+B1B2A1B2+B1B2+C1B2或B2或B2A1C2+C1A2+A1A2+C1C2或B1+B2或B1B2B1B2+B1B2+B1B2或B1+B2或B1B2對(duì)這個(gè)題大多數(shù)同學(xué)只知道按照可能的幾種情況硬性地去拼湊也就是答案里的第一種形式卻不知道還有更簡單的表示方法而且各種方法之間是等價(jià)的。從計(jì)算的角度看我們當(dāng)然希望表示的形式越簡單越好。所以學(xué)會(huì)盡可能簡單地表示事件是概率運(yùn)算的基本功這一關(guān)非過不可。老師除了耐心講解和悉心指導(dǎo)之外還應(yīng)布置一定數(shù)量的習(xí)題供學(xué)生練習(xí)以達(dá)到舉一反三的效果。

難點(diǎn)二：頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系。頻率是事件發(fā)生次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值必須通過試驗(yàn)或觀察才能知曉即使是在同一條件下也具有隨機(jī)波動(dòng)性是不穩(wěn)定的。而概率卻是客觀存在的、唯一的不以人的意志為轉(zhuǎn)移也不因人的主觀喜好而改變。任何一個(gè)隨機(jī)事件都有一個(gè)概率與之相對(duì)應(yīng)只不過我們不知道它只能通過大量的試驗(yàn)和觀察利用頻率去推斷可見頻率只是概率的外在表現(xiàn)形式。但是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)的左右擺動(dòng)而這個(gè)常數(shù)就是所謂的概率。大數(shù)定律用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明了兩者之間的關(guān)系即limPn→∞nA-P10，p≤，np大小適中此時(shí)擬合度較高；而后者則要求n>30，np不能過大。一般來說n越大，越適合于用正態(tài)分布但如果參數(shù)np超過了查表的范圍不論用哪種分布來逼近概率也都是求不出來的。

難點(diǎn)六：利用計(jì)數(shù)隨機(jī)變量求數(shù)學(xué)期望。求數(shù)學(xué)期望一般有兩種方法一種是直接用定義此法只有計(jì)算的難易之分步驟變化不大；還有一種則是先將隨機(jī)變量分解為若干個(gè)計(jì)數(shù)的隨機(jī)變量之和再利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求和。在直接用定義求比較困難的情況下這種方法往往有著意想不到的效果計(jì)算非常簡便但含有一定的技巧性比較難掌握。關(guān)鍵是如何根據(jù)問題引入相應(yīng)的計(jì)數(shù)隨機(jī)變量使得所求的隨機(jī)變量能夠表示成這些計(jì)數(shù)隨機(jī)變量的和。因?yàn)椴煌膯栴}計(jì)數(shù)隨機(jī)變量的設(shè)法也不相同。例如：將n只球放入M只盒子設(shè)每只球落入各個(gè)盒子是等可能的求有球盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)有球盒子數(shù)為X，令Xi=｛｝1，當(dāng)?shù)趇個(gè)盒子有球時(shí)0，當(dāng)?shù)趇個(gè)盒子無球時(shí)M則X=Xi由于Xi的分布律為Xi10i=111p1-nnMM1故E=1-n從而E==MM∑∑Mi=111-nM［］11-nM［］這個(gè)題如果用定義去做的話就太難了。兩相比較孰優(yōu)孰劣一目了然。

難點(diǎn)七：不相關(guān)與相互獨(dú)立的差別。相不相關(guān)是就線性關(guān)系而言獨(dú)不獨(dú)立則是就一般關(guān)系而言。相關(guān)意味著兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系不相關(guān)則不存在線性關(guān)系但可能存在別的關(guān)系；獨(dú)立是指兩個(gè)變量取何值彼此互不影響因此不存在任何關(guān)系不獨(dú)立則是指兩個(gè)變量取值是互相影響的因此肯定有某種關(guān)系存在但未必是線性關(guān)系。所以如果兩個(gè)變量相互獨(dú)立肯定是不相關(guān)的但反過來如果兩個(gè)變量不相關(guān)則它們不一定相互獨(dú)立。有一種情況比較特殊那就是對(duì)于服從二維正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量而言它的兩個(gè)分量之間不相關(guān)與相互獨(dú)立是等價(jià)的。但是這里要注意一個(gè)前提那就是只有在某個(gè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布的情況下這個(gè)結(jié)論才成立不然很容易出現(xiàn)誤判。如選擇題：設(shè)X，Y均服從正態(tài)分布且不相關(guān)則XY一定獨(dú)立服從二維正態(tài)分布X，Y未必獨(dú)