小結(jié)與質(zhì)量評價

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期待你的加入與分享300G等你來下一、系統(tǒng)認知·形成數(shù)學(xué)思維(一)貫通知識體系和聯(lián)系本章研究了不等式的基本性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，探討了二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的關(guān)系．(二)把握數(shù)學(xué)思想和方法解一元二次不等式時，主要考查數(shù)形結(jié)合及函數(shù)方程思想方法．在解決含參數(shù)的不等式問題時，如解含參數(shù)的一元二次不等式、二次項系數(shù)為參數(shù)的不等式恒成立問題，一般都要運用分類討論的思想方法，其實質(zhì)是將大范圍劃分為若干個小范圍來討論研究，各個擊破，化解難點．注意分類討論只能按照一個確定的標(biāo)準(zhǔn)進行，必須堅持不重不漏的原則．解決不等式的恒成立、分式不等式等問題，要應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，其實質(zhì)是把難以解決的問題轉(zhuǎn)化為比較容易解決的問題，通過不斷地將問題轉(zhuǎn)化，使問題達到規(guī)范化、模式化，直至解決問題．二、把握重點·?？碱}型集訓(xùn)(

)題型一

不等式的性質(zhì)及應(yīng)用1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關(guān)系是A．A≤B

B．A≥BC．A<B或A>B

D．A>B

b232

2

2解析：∵A－B＝a

＋3ab－(4ab－b

)＝a－2

＋4b

≥0，∴A≥B.答案：B2．已知實數(shù)0<a<1，則以下不等關(guān)系正確的是(

)21A．a(chǎn)

>a>a>－a21B．a(chǎn)>a

>a>－aaC．1>a>a2>－a

D．12a>a

>a>－a解析：∵0<a<1，∴0<a2<1，1>1，－1<－a<0,0<a2<a，因此，1>a>a2>－a.故選C.a

a答案：C3．(多選)已知a，b，c，d

均為實數(shù)，則下列命題正確的是(

)A．若a>b，c>d，則ac>bdc

dB．若ab>0，bc－ad>0，則a－b>0C．若a>b，c>d，則a－d>b－cD．若

a>b，c>d>0，則a

bd>c解析：若a>0>b,0>c>d，則ac<bd，故A

錯；若ab>0，bc－ad>0，則bc－ad

ab>0，c

d化簡得a－b>0，故B

對；若c>d，則－d>－c，又a>b，則a－d>b－c，故C

對；d

c若

a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，則a＝b

1，故

D

錯．＝－答案：BC4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，則a－b的取值范圍為

．解析：∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6[題型技法]不等式性質(zhì)的應(yīng)用方法作差法比較大小的關(guān)鍵是對差式進行變形，變形的方法一般是通分、分解因式、配方等．不等式真假的判斷，要依靠其適用范圍和條件來確定，舉反例是判斷命題為假的一個好方法，用特例法驗證時要注意，適合的不一定對，不適合的一定錯，故特例只能否定選擇項．題型二

基本不等式及應(yīng)用xy1．若正實數(shù)x，y

滿足x＋y＝2，則1

的最小值為(

)A．1C．3B．2D．4解析：由題意，正實數(shù)x，y

滿足x＋y＝2，則xy≤x＋y22＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1

時，等號成立，即

xy≤1

1

≥1，即

1

的最小值為

1.，所以xy

xy答案：A2．若實數(shù)x，y

滿足x2＋4y2＝1，則xy

的最大值是(

)A．1

B．12

4C．

2

D．

22

4解析：因為實數(shù)x，y

滿足x2＋4y2＝1，為使xy

取得最大值，必有x，y

同號，因為x2

＋4y2

＝

1≥2x2·4y2

＝

4xy

，當(dāng)且僅當(dāng)x

＝

2y

，即x＝22，y＝

2

4或x＝－22，y＝－

24時，等號成立，所以

xy≤1，因此

xy

的最大

1.4

值為4答案：B1

4＝1，則a＋b

的最小值是(

)3．已知實數(shù)a，b>1，且滿足a＋b－1A．9B．10D．12答案：BC．11解析：∵b>1，∴b－1>0，

b－1b－1

a1

4

4a

b－1a＋b＝a＋(b－1)＋1＝[a＋(b－1)]·

＋

＋1＝6＋

＋

≥6＋2ab－1

4a

b－1a·

＝10，b－1a

a當(dāng)且僅當(dāng)

4a

＝b－1且1＋4b－1＝1，即a＝3，b＝7

時，等號成立．故選B.4．已知正實數(shù)x，y滿足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為

(

)A．{m|0<m<9}C．{m|m<9}B．{m|0≤m≤9}D．{m|m≤9}解析：由于x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，4

1由基本不等式可得：x＋y＝(x＋y)

＋

等式兩邊同時除以xy

得x＋y＝1，4

1x

y＝4y＋x＋5≥2

4y

x＋5＝9，x

y x

·y4y

x當(dāng)且僅當(dāng)x

＝y(tǒng)，即當(dāng)x＝2y

時等號成立．因此m≤9.答案：D[題型技法]利用基本不等式求最值的關(guān)注點注意尋求已知條件與目標(biāo)函數(shù)之間的聯(lián)系．利用添項和拆項的配湊方法，使積(或和)產(chǎn)生定值．特別注意“1”的代換．題型三

一元二次不等式的解法2

111．已知不等式

ax

＋bx＋2>0

的解集是x－2

<x<3，則

b－a

的值等于

()A．－14C．10B．－10D．14

1

1

1

12

2解析：∵不等式

ax

＋bx＋2>0

的解集是x－2

<x<3，∴－2，3是方程

ax

＋bx＋2＝0

的兩個實數(shù)根，且a<0.∴1

1

b－2＋3＝－a，1

1

2－2×3＝a，解得a＝－12，b＝－2，∴b－a＝10.答案：C2．已知不等式(a2－9)x2＋(a＋3)x－1≥0

的解集是空集，則實數(shù)

a

的范圍為(

)

A．a(chǎn)|－3<a<59

9B．a(chǎn)|－3≤a<5

9C．a(chǎn)|－3≤a≤59D．a(chǎn)|－3≤a<5或a＝3解析：令a2－9＝0，解得a＝±3.1當(dāng)a＝3

時，不等式化為6x－1≥0，解得x≥6，不合題意，舍去；當(dāng)a＝－3

時，不等式化為－1≥0，無解，符合題意．當(dāng)a2－9≠0，即a≠±3

時，因為(a2－9)x2＋(a＋3)x－1≥0的解集是空集，所以(a2

－9)x2

＋(a

＋3)x

－1<0恒成立，所以a2－9<0，2

2Δ＝(a＋3)＋4(a

－9)<0?－3<a<3，9－3<a<5，9解得－3<a<5.95綜上得，實數(shù)

a

的取值范圍是a|－3≤a<

.答案：B3．已知關(guān)于x

的不等式a2x2－ax－2<0

的解集是M.(1)若2∈M，求a

的取值范圍；1ax2＋(1－a)x＋2<0若方程a2x2－ax－2＝0

的兩個根是－1

和2，求不等式的解集；直接寫出關(guān)于x

的不等式a2x2－ax－2<0

的解集．解：(1)由

2∈M

得

2a2－a－1<0，解得－1

a<1.2<故a

的取值范圍為|12a

－

<a<1.1(2)因為方程a2x2－ax－2＝0

的兩個根是－1

和2，

1

21即方程x＋ax－a＝0

的兩根為－1

和2，則1－a＝－1，2

1a＝2或1

1－a＝2，2a＝－1，解得a＝－2.1x>2.代入ax2＋(1－a)x＋2<0

得2x2－3x－2>0，即x<－2或

1則所求不等式的解集為xx<－2或x>2.(3)

當(dāng)

a

＝

0

時，原不等式的解集為

R

；

當(dāng)

a>0

時，原不等式的解集為

1x－a<x<a2

2

a1；當(dāng)

a<0

時，原不等式的解集為x

<x<－a.[題型技法]對于實數(shù)的一元二次不等式(分式不等式)首先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項系數(shù)為正)，然后能分解因式的變成因式相乘的形式，從而得到不等式的解集．對于不等式的恒成立問題要考慮二次項的系數(shù)、判別式及分離參數(shù)法．

(3)對于含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式分類討論，分類要不重不漏．題型四

不等式在實際問題中的應(yīng)用某汽車租賃公司有200輛小汽車．若每輛車一天的租金為300元，可全部租出； 若將出租收費標(biāo)準(zhǔn)每天提高10x元(1≤x≤50，x∈N*)，則租出的車輛會相應(yīng)

減少4x輛．求該汽車租賃公司每天的收入y(元)關(guān)于x的關(guān)系式；若要使該汽車租賃公司每天的收入超過63 840元，則每輛汽車的出租價格可定為多少元？解：(1)由題意可得每輛車一天的租金為(300＋10x)元，租出的車輛為(200－4x)輛，故該汽車租賃公司每天的收入y

＝

(300

＋10x)(200

－4x)＝－40x2

＋800x

＋60000(1≤x≤50，x∈N*).(2)由題意可得－40x2＋800x＋60

000>63

840，即x2－20x＋96<0，解得8<x<12.因為x∈N*，所以x＝9或x＝10或x＝11，則300＋10x＝390或400或410.故每輛汽車的出租價格可定為390元或400元或410元．2．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，在黨和國家強有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情，之后一方面防止境外輸入，另一方面復(fù)工復(fù)產(chǎn)．某廠經(jīng)調(diào)查測算，某種商品原來每件售價為25

元，年銷售量8

萬件．據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2

000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并將定價提高到

x

元．公司擬

1(x2－600)萬元作投入6為技改費用，投入50

萬元作為固定宣傳費用，

1x

萬元作為