可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)概述

第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)目的：熟練掌握可測(cè)函數(shù)的定義，熟悉其性質(zhì)，掌握常見的一些可測(cè)函數(shù)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)的引入，性質(zhì)的證明。第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)基本內(nèi)容：一．可測(cè)函數(shù)的定義為了定義新的積分，我們已經(jīng)對(duì)Rn中的一般集合定義了測(cè)度概念，但同時(shí)也看到了，Rn中的確存在一些集合，它們是不可測(cè)的，因此，有必要對(duì)定義于Rn中某個(gè)可測(cè)子集E上的函數(shù)f，考察形如第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)

的集合這可測(cè)性,假如對(duì)一切的上述集合都是可測(cè)的，則下面的和式就有意義了（見本書的引言），從而可以討論其極限的存在性，本章的目的，就是研究使得集合第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)

對(duì)一切都可測(cè)的函數(shù)之結(jié)構(gòu)。（1）關(guān)于∞的運(yùn)算由于我們?cè)试S函數(shù)值取，所以需作一些規(guī)定，我們所討論的函數(shù)都是指單值實(shí)函數(shù)，并且規(guī)定（i）（ii）對(duì)任意第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)（iii）對(duì)任意（iv）但是第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)

及是沒有意義的，因此，不允許作這種運(yùn)算。（2）定義定義1假設(shè)是可測(cè)集，是E上的函數(shù)，如果對(duì)任意常數(shù)a，集合都是可測(cè)集，則稱f是E上的可測(cè)函數(shù)。第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)問題1：為了定義函數(shù)的Lebesgue積分，須要求這些函數(shù)滿足什么條件？問題2：列舉幾類可測(cè)函數(shù)的例子？第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)（3）簡(jiǎn)單函數(shù)的可測(cè)性定義設(shè)是可測(cè)集,E1，E2，…，En

是E的互不相交的可測(cè)子集，且

C1,C2，…,Cn是常數(shù)，則稱E上的函數(shù)為簡(jiǎn)單函數(shù)。第11講可測(cè)函數(shù)的定義與性質(zhì)記為的特征函數(shù)，則顯然有命題1對(duì)任意可測(cè)集E，E上的簡(jiǎn)單函數(shù)是可測(cè)的。證明：設(shè)是E上的簡(jiǎn)單函數(shù)，不失一般性，假設(shè)第11講鋸可多測(cè)函崇數(shù)的毒定義刊與性堵質(zhì)（若攤，則瞇將看作辱某個(gè)Ek），往械證對(duì)朵任意是可付測(cè)集山。顯獸然，第11講束可戲測(cè)函覺數(shù)的銹定義迷與性裁質(zhì)所以是可歲測(cè)集產(chǎn)。證嗚畢。（4）非泊負(fù)函逼數(shù)可需測(cè)性朝的等密價(jià)定捕義如果螺可測(cè)例函數(shù)妖，則鄰稱其反為非柄負(fù)可測(cè)醒函數(shù)挑。定理1如果借是急可測(cè)崖集上邊的非喝負(fù)函符數(shù)，則下博列各駐陳述尋相互冶等價(jià)湯：第11講蒜可猶測(cè)函做數(shù)的宜定義揉與性模質(zhì)（i）扇在E上非者負(fù)可危測(cè)；（ii）存危在E上的獨(dú)非負(fù)耐簡(jiǎn)單塊函數(shù)體列使得證明針，其皆中第11講距可稍測(cè)函格數(shù)的臭定義威與性虧質(zhì)是E上的碼非負(fù)靈簡(jiǎn)單翁函數(shù)顧，滿扶足則對(duì)印任意逃實(shí)數(shù)a及任退意術(shù)是可測(cè)語(yǔ)集，潮但故稼是次可測(cè)針集。(i調(diào))(i德i)假設(shè)f是E上的材非負(fù)膀可測(cè)熄函數(shù)鐮，即第11講浴可燥測(cè)函艘數(shù)的掠定義瓜與性醋質(zhì)任意債實(shí)數(shù)a,是可灶測(cè)集,不難鍛看到故鎮(zhèn)是可蓄測(cè)集厲，于輪是對(duì)雄任意詠常數(shù)a，b，集龜合也是驢可測(cè)棕的。第11講?？蔁煖y(cè)函撈數(shù)的嶄定義回與性峽質(zhì)對(duì)任掘意正孩整數(shù)m及令則是互招不相膜交的慢可測(cè)聯(lián)集，牙且定義菜簡(jiǎn)單嚴(yán)函數(shù)第11講凳可泊測(cè)函電數(shù)的槳定義勿與性愚質(zhì)可以匆證明迎（請(qǐng)知讀者牙自行驗(yàn)證類）。托下面懶證明若摸使伏則對(duì)凡任意，所善以若牲則可宗取正宰整數(shù)帥則當(dāng)時(shí)，第11講兼可輸測(cè)函冒數(shù)的扮定義避與性期質(zhì)因此弟。鑼證畢削。由于境定理1中（i）與(i侮i)的等鴿價(jià)性皮，所以，權(quán)也可看將（ii）作昆為非拋負(fù)可攀測(cè)函瞞數(shù)的叢定義溫。第11講毒可礦測(cè)函洗數(shù)的點(diǎn)定義光與性渣質(zhì)（5）一懷般可具測(cè)函姥數(shù)的寧等價(jià)濾定義而對(duì)井一般秤的實(shí)劑值函晨數(shù)，鼻可以求作的企正負(fù)顧部分辜解：第11講孔可價(jià)測(cè)函番數(shù)的托定義隱與性搜質(zhì)則,于是柄又可些利用的可令測(cè)性玻來(lái)定濕義的f的可綢測(cè)性膛。即并稱杜可測(cè)單當(dāng)且盆僅當(dāng)范都是陰可測(cè)搏函數(shù)歉?？商宰C背明該鹿定義少與定御義1是等它價(jià)的脊。第11講隊(duì)可嗓測(cè)函降數(shù)的幸定義零與性位質(zhì)定理2設(shè)是Rn中可宜測(cè)集E個(gè)的沸函數(shù)乞，則在E上可介測(cè)當(dāng)浩且僅控當(dāng)下高列條件之皺一成愿立。(i厲)對(duì)任君意常坑數(shù)a,可測(cè)聞；(i銀i)對(duì)任搏意常略數(shù)a,可測(cè)淋；第11講麥可皇測(cè)函幅數(shù)的幫定義堂與性逃質(zhì)(i冤ii奸)對(duì)任境意常嗽數(shù)a,可測(cè)躬；證明嘉：因棋為第11講嘆可浩測(cè)函臭數(shù)的避定義枕與性胡質(zhì)故丸可為測(cè)(i個(gè))(i怒i)(i斃ii紙)可測(cè)映。證畢餐。問題3：可潛否用E{沖x|顆f(傾x)地=α聞}(場(chǎng)α∈奏R)的可所測(cè)性甘作為蒼可測(cè)借函數(shù)榜的定芳義？摧為什蜜么？第11講泉可撤測(cè)函忍數(shù)的盛定義意與性特質(zhì)問題4：可肺否用E{司x|馬α≤叛f(損x)默<β兄}的可轉(zhuǎn)測(cè)性溪作為擱可測(cè)澡函數(shù)嫂的定違義？問題5：若f是可假測(cè)函伶數(shù)，鵝則E{猛f(穩(wěn)x)營(yíng)=±墾∞}是否千可測(cè)更？第11講宿可化測(cè)函鬼數(shù)的離定義綱與性紹質(zhì)命題2若鞋是E上的耐可測(cè)傳函數(shù)皮，則都是俱可測(cè)夠集。證明樂由立得副證明趣。第11講恥可移測(cè)函永數(shù)的盈定義由與性璃質(zhì)二．么可測(cè)殃函數(shù)譜的性釋質(zhì)（1）幾估乎處時(shí)處相畝等的概函數(shù)下面全討論減可測(cè)端函數(shù)笑的基號(hào)本性堤質(zhì)。一般頓地，欠如果E是可億測(cè)集膏，到是回與x有關(guān)旱的命折題，蜂且存框在E的零灘測(cè)子壞集E0，使妹得對(duì)氏任意準(zhǔn)，命冤題成朝立，破則說在E上幾臨乎處翁處成辮立。第11講坊可冠測(cè)函鍋數(shù)的寸定義熱與性遲質(zhì)性質(zhì)1如果梢兩個(gè)冷函數(shù)炕與摔在上幾愚乎處珠處相催等，槍則當(dāng)神其中啞一個(gè)克在E上可女測(cè)時(shí)戰(zhàn)，另來(lái)一個(gè)孕也可倚測(cè)。證明亂：假揉設(shè)跨可援測(cè)，損則對(duì)員任意昆實(shí)數(shù)是可寇測(cè)集不，由絲式于是零鬼測(cè)集頭，且第11講虛可珍測(cè)函暑數(shù)的獎(jiǎng)定義煌與性抽質(zhì)故矩是竭可測(cè)廳集與一悄個(gè)零啞測(cè)集頑的并價(jià)，它購(gòu)當(dāng)然勵(lì)可測(cè)項(xiàng)。證伯畢。第11講齡可挺測(cè)函虛數(shù)的淺定義患與性賓質(zhì)從性逃質(zhì)1可以擁看到香，函茂數(shù)的仆可測(cè)未性與替其在某零測(cè)紗集上鐮的取騙值無(wú)瓶關(guān)，環(huán)因此收，討鄭論的誼函數(shù)菠的可蠻測(cè)性獲允許同在任襖何零孤測(cè)集螞上改制變其蕉值，秒比如旅，我洲們來(lái)腰看看Di勇ri射ch際le管t函數(shù)蘭。第11講簡(jiǎn)可訓(xùn)測(cè)函秀數(shù)的腳定義掘與性矮質(zhì)由于款，誤故可牛以在雜上聯(lián)重新蹦定義D的值招，從孤而得幸新的吐函數(shù)這是繪常值投函數(shù)賀，它撇與腹幾扔乎處獻(xiàn)處相洗等，頃所以蕉與擴(kuò)的性可測(cè)箱性相爽同。秀盡管處處某不連駕續(xù)，須但和牌一個(gè)尚常值撤函數(shù)導(dǎo)卻是凝幾乎映處處紅相等猛的。罩在第勢(shì)四章柔中將害會(huì)看擁到，便這樣全的函需數(shù)雖史然不是Ri浮em引an攔n可積閃的，搖卻是陶最簡(jiǎn)阿單的Le來(lái)be鳥sg點(diǎn)ue可積遍函數(shù)竄。事攜實(shí)第11講偵可遞測(cè)函騙數(shù)的曬定義犧與性便質(zhì)上，丈它正脖是我氣們前護(hù)面定遞義的煤簡(jiǎn)單軍函數(shù)泛。（2）可測(cè)鞭函數(shù)北定義飲域的軍分割性質(zhì)2如果哀是E上的元可測(cè)浴函數(shù)瓣，E0是E的可包測(cè)子幣集，跌則蘭也是E0上的老可測(cè)惕函數(shù)韻。反巨之，蹲如果細(xì)已知抵在每灰一個(gè)Ei上都押可測(cè)波，i=1悠,2哭,3響,…,則悲在渾可測(cè)截。第11講紹可雀測(cè)函牌數(shù)的饞定義蚊與性膽質(zhì)證明肉：由立得塘性質(zhì)2。由于籃我們?nèi)≡试S沒可測(cè)嘗函數(shù)彼取值禾為本，所進(jìn)以討茅論兩醉個(gè)可暈積函幣數(shù)的翻和、懂差、堅(jiān)商的灰可第11講鑒可漫測(cè)函父數(shù)的寸定義總與性任質(zhì)測(cè)性扮，需依假定編這些起運(yùn)算宰是被共允許陣的。（3）可測(cè)概函數(shù)貝的和膜與差忍的可桂測(cè)性性質(zhì)3若貓，泰都是E上的覺可測(cè)曠函數(shù)廟則（i）且在E上可唱測(cè)。(i濟(jì)i)當(dāng)殊在E上幾砍乎處歐處有甩意義踢時(shí)，在E上可淺測(cè)；第11講恨可交測(cè)函污數(shù)的捕定義召與性墓質(zhì)證明艘：若慶，兔則驕，它謎當(dāng)然窯在E上可團(tuán)測(cè)。脂若薯，則刪對(duì)任費(fèi)意從而劑由依的可張測(cè)性第知憂可測(cè)率。第11講史可掘測(cè)函漲數(shù)的贈(zèng)定義喪與性褲質(zhì)若棒則故叢仍可烤測(cè)。重（i）證嫂畢。為證(i點(diǎn)i)，不眾妨設(shè)腰處處碑有意致義，將R1中的好全體疫有理扭數(shù)排溉成序壓列糟，則棒對(duì)任意第11講約可亡測(cè)函益數(shù)的半定義集與性羨質(zhì)由答的必可測(cè)泡性知蘭上式航最后的一項(xiàng)恢是可卡測(cè)集麗，從違而?？蓽y(cè)點(diǎn)，即可測(cè)。第11講夠可贊測(cè)函蛾數(shù)的臣定義燙與性恩質(zhì)問題6：已知糕兩