可測函數(shù)的定義及其簡單性質(zhì)

第一節(jié)

可測函數(shù)的定義及其簡單性質(zhì)第三章

可測函數(shù)

新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1

用

mEi表示

Ei的“長度”

問題：怎樣的函數(shù)可使Ei都有“長度”(測度)?1可測函數(shù)定義例

(1)零集上的任何函數(shù)都是可測函數(shù)。注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集定義：設(shè)f(x)是可測集E上的實函數(shù)(可取

)，若

可測，則稱f(x)是E上的可測函數(shù)

(2)簡單函數(shù)是可測函數(shù)可測函數(shù)注：Dirichlet函數(shù)是簡單函數(shù)01若

(Ei可測且兩兩不交），f(x)在每個Ei上取常值

ci，則稱f(x)是E上的簡單函數(shù)；（3）可測集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)必為可測函數(shù)

對比：設(shè)f(x)為(a,b)上有限實函數(shù)，

()()()f(x)在

處連續(xù)(對閉區(qū)間端點則用左或右連續(xù))設(shè)f(x)為E上有限實函數(shù)，稱f(x)在

處連續(xù)可測集E上的連續(xù)函數(shù)f(x)定為可測函數(shù)

證明：任取x∈E[f>a],則f(x)>a,由連續(xù)性假設(shè)知，()x０

f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa則G為開集，當然為可測集，且⑷R中的可測子集E上的單調(diào)函數(shù)f(x)必為可測函數(shù)。aIax1x2由f單調(diào)增知下面的集合為可測集證明：不妨設(shè)f單調(diào)增，對任意a∈R⒊可測函數(shù)的等價描述證明：利用（1）與（4），（2）與（3）互為余集，以及⒈定義：設(shè)f(x)是可測集E上的實函數(shù)，則

f(x)在E上可測

對前面等式的說明([a-1/na([aa+1/n⒋可測鴨函數(shù)耀的性概質(zhì)⑴可測壘函數(shù)傘關(guān)于子集、并集的性億質(zhì)反之，若

,f(x)限制在En上是可測函數(shù)，則f(x)在E上也是可測函數(shù)。即:若f(x)是E上的可測函數(shù),可測，則f(x)限制在E1上也是可測函數(shù)；若m榜(E[f≠g])=兆0,則稱f(弓x)喚=g越(x青)在E上幾喊乎處扇處成據(jù)立,記作f(監(jiān)x)克=g嗚(x燙)幸a.武e.于E。（al稍mo顧st貿(mào)e忍ve刪ry筍wh駛er何e）注：械在一婦零測蔑度集居上改什變函留數(shù)的造取值峽不影悅響函票數(shù)的厚可測妨性證明給：令E1=愁E[f≠g]，E2=桿E[f伴=g替]，則m溜E1=0從而g(獅x)在E1上可刪測，即：設(shè)f(啟x)暖=g權(quán)(x哄)貧a.追e.于E，f(蜂x)在E上可搞測，瘡則g(游x)在E上也仿可測注：靜用到衫了可測勵函數(shù)賭關(guān)于酒子集賣、并凈集的胡性質(zhì)另外f(霞x)在E2上可臉測，頃從而g(奇x)在E2上也曲可測，進一蠟步g(昌x)在E=捏E1∪E2上也券可測。⑵可測象函數(shù)縣類關(guān)酒于四衡則運論算封躲閉即:若f(油x)本,g坡(x欄)是E上的派可測丘函數(shù),則f(涂x)原+g匠(x留)渴,鑼f(湯x)碌-炊g(啄x)債,悲f供(x把)g態(tài)(x路)犯,跌f(惱x)量/g欣(x腎)仍為E上的嚇可測獵函數(shù)驕。a-g(x)rf(x)⑵可測朝函數(shù)笛類關(guān)斗于四奸則運薄算封蓬閉即:若f(預(yù)x)羅,g膝(x劫)是E上的躲可測隊函數(shù),則f(艷x)校+g希(x抵)智,止f(龍x)索-灰g(碼x)軍,業(yè)f全(x唇)g違(x巧)屑,欠f(核x)肢/g昌(x蹤蝶)仍為E上的惡可測拼函數(shù)毯。a-g(x)rf(x)類似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測函數(shù)，則

為可測集。證明的中利斗用了Q是可數(shù)雨集和R中的稠密千集兩個票性質(zhì)a-g(x)rf(x)類似可證：設(shè)f(x),g(x)是E上可測函數(shù)，則

為可測集。證明麥中利惡用了Q是可數(shù)防集和R中的稠密凱集兩個補性質(zhì)a-g(x)rf(x)⑶可測炕函數(shù)術(shù)類關(guān)腦于確晶界運巡壽算和它極限陵運算呢封閉威。推論趙：可燭測函葵數(shù)列觀的極限員函數(shù)仍為末可測乘函數(shù)（連肌續(xù)函極數(shù)列崖的極繼限函溉數(shù)不園一定癢為連馳續(xù)函縫數(shù)）謎。若fn(x)是E上的可測函數(shù),則下列函數(shù)仍為E上的可測函數(shù)。對上去式的惜說明朗：下確界：

([a-1/na例：R1上的窩可微巾函數(shù)f(挎x)的導(dǎo)拌函數(shù)f江`(湊x)是可拾測函康數(shù)利用忘了可伴測函荷數(shù)列姓的極限壇函數(shù)仍為越可測車函數(shù).從而f供`(材x)是一擾列連餃續(xù)函吼數(shù)（針當然彈是可多測函際數(shù)）的極秧限，越故f散`(萍x)是可現(xiàn)測函娛數(shù).

證明：由于gn(x)例設(shè){fn}是可電測函萄數(shù)列惡，則這它的銀收斂柜點全潮體和極發(fā)散什點全阻體是遙可測差集.注意強：函數(shù)癥列收亮斂與函數(shù)懼列收睡斂于f之間祝的不賭同.證明：發(fā)散點全體為

收斂點全體為再⒌可測至函數(shù)拋與簡封單函喇數(shù)的趣關(guān)系可測遣函數(shù)f(目x)總可逐表示腹成一獄列簡尾單函較數(shù)的禍極限MmMmMmn0例：維設(shè)f(擠x)是R上連續(xù)進函數(shù)，g(絮x)是E上可測耐函數(shù)，則f(庸g埋(x查))是可嬸測函皆數(shù)。證明索：要罩證f(眨g步(x報))是可洞測函半數(shù)，跡只要濤證對斗任意a，E[臭f絕g>貪a]腥={危x|些f賤(凱g(絨x)釀)>淹a}可測披即可,g可測f連續(xù){x肚|拌f(惑g鍵(x窗))崇>a優(yōu)}=比(芬f胸g)-1((a堪,+∞))=捏g-1(f-1((a并,+∞)))f-1((a,+∞))=第二差節(jié)可測李函數(shù)慨的收迅斂性第三絮章可測濤函數(shù)⒈函數(shù)銳列的狼幾種故收斂渴定義⑵一致收斂:注：寒近似頂?shù)卣f一致廣收斂是函奴數(shù)列收斂慢的程度則能有黑個控立制近似送地說一致販連續(xù)是函拜數(shù)圖象陡的程度集能有牧個控丑制fn(x)=xn⑴點點收斂:記作1-δ例：籮函數(shù)綱列fn(x腥)=盡xn,診n誦=1女,2激,…在(0估,1犬)上處處尤收斂到f(憶x)申=0熄,但不一躲致收射斂，但去掉侄一小岔測度谷集合(1婆-δ,1替),在留如下的度集合上一牧致收卵斂fn(x著)=初xn⑶幾乎刮處處集收斂:記作(a容lm帶os沸t憶ev徒er爆yw憤he尿re）即：鏡去掉某個零測度鋸集，么在留揪下的較集合翻上處處廉收斂即：躲去掉某個?。ㄈ我鈩澬。y易度集御，在窄留下馬的集圓合上一致趁收斂⑷幾乎一致收斂:記作

(almostuniformly)⑸依測笑度收端斂:記作注：鐮從定斑義可珠看出影，幾乎躍處處縱收斂垮強調(diào)旺的是站在點上函胳數(shù)值眼的收帶斂（剃除一朗零測齒度集稱外）依測卵度收歡斂并底不指出職函數(shù)究列在絹哪個尋點上草的收赴斂，危其要蜓點在昂于誤崗差超蹦過σ的點趁所成傷的集博的測度應(yīng)隨n趨于檢無窮腦而趨捏于零原，而不論洲點集嶺的位錄置狀北態(tài)如何不依散測度編收斂依測度收斂⒉幾種怒收斂書的區(qū)孔別說明臨：當n越大毯，取1的點售越多秒，故{fn(x咽)}在R+上處兄處收鐵斂于1（1）處角處收摩斂但邀不依賢測度鴨收斂n

在R+上處處收斂于

f(x)=1,所以{fn(x惕)}在R+上不探依測讓度收輛斂于1，另外{fn}不幾撤乎一市致收嫩斂于1fn不幾驕乎一值致收縣斂于f幾乎一致收斂:記作

(almostuniformly)即：頂去掉某個?。ㄈ我鈮蛐。y驢度集相，在德留下繡的集驚合上一致授收斂即：斷去掉測度啄集，閘在留芬下的減集合蛛上仍不一錘致收領(lǐng)斂任意（）適當呆小小fn不幾習(xí)乎一房誠致收藝斂于f即：熄去掉任意小（適當直小）測忘度集坦，在劍留下招的集靠合上菊仍不一耍致收黎斂不幾乎一致收斂于f(x)=1n（2）依嫁測度獅收斂井但處旺處不躺收斂01f1f601/4?3/4101/4?3/4101/4?3/4101/4?3/41f7f5f40?1f30?1f201/81/4?1f8依測紐奉度收朗斂但塘處處后不收芹斂⑵取E=由(0祝,1獵],勾n壟=2k+i既,0≤i<劃2k,k季=0減,1步,2憤,3乏,…說明糊：對雹任何x∈(0賢,1農(nóng)]褲,挺{fn(x瞇)}有兩個約子列，一參個恒還為1，一個模恒為0，所嶼以{fn(x厘)}在(0渴,1細]上處積處不悠收斂唱；例：黑函數(shù)釀列fn(x登)=蠢xn在(0孕,1錯)上處處扒收斂到f(項x)巖=0擦,但不一舅致收菌斂，但去掉用一小卻測度渾集合(1撲-δ,1致),在留液下的印集合上一性致收嗎斂收斂范的聯(lián)蕉系（葉果柴洛夫呈定理傷的引織入）1-δfn(x)=xn⒊三種購收斂桶的聯(lián)恭系即：去掉某個小（任意?。y度集，在留下的集合上一致收斂

⑴幾乎福處處肢收斂貿(mào)與幾鈔乎一震致收畫斂（葉果煎洛夫可定理傷）設(shè)mE譜<+∞，fn，f在E上幾靜乎處麥處有藏限且?guī)每蓽y殼，（即哀：可降測函瘦數(shù)列頃的收舒斂“基本耽上”是一宗致收甩斂）即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂

引理乳：設(shè)mE容<+∞，fn，f在E上幾蟲乎處殖處有扔限且運可測煌，證明：由于

為零測度集，故不妨令

fn

，f在E上處處有限，從而有：關(guān)于N單調(diào)減小幾乎挎處處習(xí)收斂樂與依留測度抗收斂（Le慎be鳴sg愉ue定理昂）設(shè)mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，第三父節(jié)可測污函數(shù)恰結(jié)構(gòu)Lu篇si剝n定理第三徐章可測甚函數(shù)可測片函數(shù)簡單冷函數(shù)是可輩測函平數(shù)可測盲函數(shù)春總可深表示渾成一野列簡色單函秘數(shù)的極限（當軌可測賠函數(shù)創(chuàng)有界截時，異可作姨到一享致收疾斂）問：可測惑函數(shù)醉是否渡可表變示成皆一列釘連續(xù)里函數(shù)淋的極限？可測頑集E上的連續(xù)袍函數(shù)定為筒可測烈函數(shù)魯津涉定理實變她函數(shù)預(yù)的三俱條原部理（可）（1）任付一可測畢集差不妙多就倘是開禿集（壞至多光可數(shù)按個開區(qū)序間的并盯）設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則

使得

m(E-F)<ε且f(x)在F上連續(xù)。

（去會掉一唯小測陶度集顛，在寸留下很的集堪合上澇成為倚連續(xù)泛函數(shù)莖）即：榜可測灰函數(shù)“基本慌上”是連匙續(xù)函冷數(shù)（3）任啦一點點題收斂的可城測函孝數(shù)列既集差往不多敘就是一致名收斂列（2）任腎一可測格函數(shù)差不耐多就低是連續(xù)晝函數(shù)魯津臉定理皂的證妨明證明范：由袋于mE鴨[|譯f|儲=+∞]=容0，故粒不妨哨令f(斤x)為有哥限函丹數(shù)(1殖)當f(股x)為簡單嘉函數(shù)時，當x∈Ei時，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在

上連續(xù)顯然F為閉集，且有對f(徒x)在F連續(xù)興的說割明若f(逗x)在Fi上連鴉續(xù)，震而Fi為兩時兩不寸交閉叉集，規(guī)則f(唐x)在上連眠續(xù)故對怠任意x`∈O(網(wǎng)x,δ)∩F，有|f爸(x距`)率-f系(x茄)|慨=0，故f連續(xù)Fi0()x證明：任取則存在

i0，使得x∈Fi0，f(x)=ci0，又Fi為兩兩不交閉集，從而x在開集

中所以存在δ>0,使得對f(辱x)在F連續(xù)己的說罰明說明胞：取岸閉集死的原質(zhì)因在騎于閉集的余集為開集，開雞集中止的點偏為內(nèi)點，從貫而可焦取x∈Fi足夠脫小的碧鄰域不含其他Fi中的旨點函數(shù)必在每休一塊寶上為妻常值家，故霧在每一覺塊上都錦連續(xù)規(guī)，但函卵數(shù)在R上處夕處不錫連續(xù)條件Fi為兩兩不交閉集必不可少，如：魯津喝定理童的證混明(2勝)當f(譜x)為有界可測雙函數(shù)時，存在簡單跡函數(shù)列{φn(x淚)}在E上一致客收斂于f(腹x)，由{φn(x六)}在F連續(xù)及一致飾收斂于f(x迷)，易知f(貞x)在閉芬集F上連諒續(xù)。利用(1)的結(jié)果知魯津查定理色的證蜻明則g(秤x)為有霸界可肉測函皺數(shù)，示應(yīng)用(2兄)即得路我們蜘的結(jié)洋果（連征續(xù)函幣數(shù)類璃關(guān)于潮四則苦運算否封閉芒）(3)當f(x)為一般可測函數(shù)時，作變換注：(1愁)魯津圣定理當推論魯津奪定理叉（限制悄定義陣域）（即離：去運掉某省個小脾測度待集，撒在留下踩的集離合上連午續(xù)）（在渣某個萄小測賊度集歷上改變孟取值并補闊充定線義變園成連碧續(xù)函暗數(shù)）若f(x)為

上幾乎處處有限的可測函數(shù)，使得在F上g(剩x)燃=f歸(x由)且m(羊E-暑F)排<ε（對n維空廚間也闊成立而）則

及R上的連續(xù)函數(shù)g(x)開集補的余挽集是吸閉集閉集潤的余攤集是端開集aibi直線上的開集構(gòu)造

直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個或可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并魯津感定理她推論癢證明襯的說鞋明魯津定理：設(shè)f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則