向量及向量的基本運算

28.向量及向量的基本運算

1）向量的有關(guān)概念①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：，或用坐標(biāo)表示。向量的大小即向量的模（長度），記作||。②零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行。<注意與0的區(qū)別>③單位向量：模為1個單位長度的向量。④平行向量（共線向量):方向相同或相反的向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。2）向量加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設(shè),則:向量加法有“三角形法則”（首尾相接）與“平行四邊形法則”（起點相同）

說明：（1）；2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；3)向量的減法

①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。的作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）

向量減法有“三角形法則”（必須起點相同）4)實數(shù)與向量的積①實數(shù)λ與向量的積是一個向量,記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時,λ的方向與的方向相同；當(dāng)時，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時，，方向是任意的。②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。

5)兩個向量共線定理向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。證三點共線方法：6)平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)，使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

推論：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，

例1、判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向(2)若則(3)單位向量都相等(4)向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同(6)若，，則；(7)若，，則(8)四邊形ABCD是平行四邊形,則(9)已知A（3，7），B（5，2），將平移后可能得到的向量的坐標(biāo)為（3,－3）(10）的充要條件是且；

錯錯錯錯對對錯錯錯錯題型一:基本概念問題練習(xí)1:例2、如圖平行四邊形OADB的對角線OD,AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足:BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD＝3CN,設(shè)

題型二:向量的相互表示例3:已知G是△AB挺C的重票心，譜求證漠：例4、設(shè)財,層是兩糾個不錄共線永的非博零向己量，若蛛，求證永：A、扇B、壩C三點思共線舟；練習(xí)3：設(shè)是不共線的向量,已知向量

若A,B,D三點共線,求k的值

題型繭三:平面件向量紅基本險定理鐵與三建點共館線問浩題例6：

O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心B題型辯四:判斷侮動點更軌跡課堂攏小結(jié)僻：1）禁向量礙的有眠關(guān)概辛念:圓①農(nóng)向量偵②零繭向量竟③單泥位向閉量④爛平行喉向量或（共謙線向碌量）惜⑤相膠等向呆量2）姜向量錦加法櫻減法肆:3)貿(mào)實數(shù)炎與向咸量的妙積4)豬兩個庫向量覺共線從定理5)斤平面頑向量紙的基蚊本定喇理,民基