北京郵電大學(xué)版線性代數(shù)課后題答案

習(xí)題六(A類)檢驗以下集合對丁?所指的線性運算是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.2階反對稱(上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法：平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：k?a=a.2階可違矩陣的全體，對于通常矩陣的加法與數(shù)量乘法：與向量(1,1,0)不平行的全體3維數(shù)組向量，對于數(shù)組向量的加法與數(shù)量乘法.【解】〔1)是.由于矩陣加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義中的1-8條性質(zhì)，因此只需考慮反對稱〔上三角)矩陣對于加法和數(shù)量乘法是否封閉即可.下面僅對反對稱矩陣驗證：設(shè)A,8均為2階反對稱矩陣，&為任一實數(shù)，則(A+B)'=A'+B=-A-B=-(A+B).(kA)'=kA'=k(-A)=-(.kA),所以2階反對稱矩陣的全體對于矩陣加法和數(shù)量乘法構(gòu)成一個線性空間.(2)否.因為伙+/)?a=a，而A?a+/?a=a+a=2a,所以這種數(shù)量乘法不滿足線性空間定義中的第7條性質(zhì).〔3)否.因為零矩陣不可逆(又因為加法和數(shù)量乘法都不封閉).(4)否.因為加法不封閉.例如，向量(1,0,0),(0,1,0)都不平行于(1,1,0),但是它們之和(1,0,0)+〔0,1,0)=〔1,1,0)不屬于這個集合.設(shè)〃是線性空間V的一個子空間，試證：假設(shè)“與卩的維數(shù)相等，則"=V.【證明】設(shè)u的維數(shù)為也，且《，％，…，a,”是u的一個基，因U3,且胤維數(shù)也是也，自然也是卩的一個基，故在R'中求向量a=(0,0,0,1)在基勻=(1,1,0,1)。=(2,1,3,1),%=(],1,0,0),碼=(0,1,—1,一1)下的坐標(biāo).【解】設(shè)向量[在基6"2，灸，旦下的坐標(biāo)為(工"2，與，氣),則即為解之得(為,易，易，*4)=(],o,_],0).在R'中，取兩個基%=(1,2,1),%=(2,3,3),%=(3,7,1)；月=(3,1,4),崑=(5,2,1),夕3=(i,1,一6),試求到，間間的過渡矩陣與坐標(biāo)變換公式.【解】取R'中一個基(通常稱之為標(biāo)準(zhǔn)基)勺=(1,0,0), =(0.1,0),為=(0,0,1).于是有所以由基到基處"間的過渡矩陣為坐標(biāo)變換公式為其中(工"2,勺與為同一向量分別在基％，％'%與0*間F的坐標(biāo).

設(shè)ai,a2,a3與61,82,83為的兩個基,且由基a"、a3到基81,82,83的過渡矩陣為2112-11求由基Bi,82，B3到基。"2,a3的過渡矩陣B：假設(shè)向量a在基P1,02,3a下的坐標(biāo)為（2,3,1）',求a在基a…％a3下的坐標(biāo).⑴（崗，四伊3）=0，。2，％）人，由于A又逆，所以得0"。2，％）=（#'凡詢）A',可見A」為從°'*￥火到,，％，%的過渡矩陣B利用求逆矩陣方法（2）由定理3知，6.在R'中取兩個基（1）f、（2）由定理3知，6.在R'中取兩個基（1）f、X1-2、121、「2、毛=A3=0123=56丿1z1-11?LO⑵(3)(al,a2,a!,a4)=(ffP￡2,^.ff4)A,AI-1031053216613【解】⑴這里?就是由基到基的過渡矩陣（2） 設(shè)二=（工"2，工3*），由于（6],與同咼）=（】,％,）4-1,所以因此向量a在基％%,as下的坐標(biāo)為（3） 設(shè)向量#在這兩個基下有一樣的坐標(biāo)那么也就是T7.T7.說明平面上變換Ly」-1o'4=(1)解得（佑,知#3，婦=（C，C，C,-C），其中c為任—非零實數(shù).

寸]L、」的幾何意義，其中_00

A(4)-10「牛尸°F1=MLdL°iA(4)-10「牛尸°F1=MLdL°i」L)'」L^J.Tte平面上任一點變到它關(guān)于)，軸對稱的點.(DT【解】?M=r°°pi=r°il_y」L°HL)’」"J,財巴平面上任一點變到它在)，軸的投影點."["牛I"。i]|"牛卩]3」L1°」L)'」官」,7把平面上任一點變到它關(guān)于直線x=y對稱的點.(2)T(4)T」,洗平面上任?點變到它繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后所〃(〃+1)設(shè)V是〃階對稱矩陣的全體構(gòu)成的線性空間[維數(shù)為 2 ],給定〃階方陣P,變換T(A)=P'", VagV稱為合同變換，試證合同變換r是v中的線性變換.【證明】因為PA.BWkeR,有7\A+B)=P'(A+B)P=PfAP+P'BP=7\A)+T(B),7\kA)=P'(kA)P=k(P'AP)=kl\A).所以r是線性空間卩的一個線性變換.在R3中取兩個基：卜=(?1,0,.2)皿=(0,1,2)仙=(1,2,5);們=(?1,1,0),02=(1,0,1),03=(0,1,2).定義線性變換T：T(ai)=(2.0,-1),T(a2H0,0,1),T(a3)=(0.1,2),求線性變換T在基B6\B定義線性變換T：解：設(shè)&=(1，0,0待2=(0，1，0)，&=(0,0，1)'2?■(%,%,%)=(§,&,畐)0-1所以故(T(^1),T?2),T(^))=(T(aI),T(a2),T(a3))所以故(rg),T(S2(rg),T(S2),TG))=(4/2，&)=‘200、'1 2‘24-2、001-4-3 2=(務(wù)§2'&3)=22-112；<2 2—1,廠1-1 1,r-i1o0，A幅)=(§，&，￡)=IoiJ110、-1‘24-2)‘-110、22-1)10122-1101=42-1所以T在基狀下的矩陣為,012.< Z-1T1>012Z成-11；io.函數(shù)集合巧={a=(a2xi+aix+ao)eKI如，對于函數(shù)的加法與數(shù)乘構(gòu)成3維線性空間，在其中取一個基ai=A2e\a2=2xe\a3=3ex,求微分運算D在這個基下的矩陣.【解】即100'1100-1因此。在基下的矩陣為L3」11.2階對稱矩陣的全體對于矩陣的加法與數(shù)乘構(gòu)成3維線性空間，在*中取一個基(1)在巧中定義合同變換求在基4,4，冬下的矩陣及別秩與零度.(2)在巧中定義線性變換求玷基4，4,冬下的矩陣及珊像空間與肅核.【解】⑴121A/=011由此知，。在基iaa下的矩陣為 L0°1顯然M的秩為3,故這線性變換珊秩為3,零度為0.⑵即濯，^，人牛吊/方頃，M=M=1其中L1所以2121」就是斑基人下的矩陣.顯然有71V3)=L(T(Ai))=Z.(Ai+A2+A3).最后求出"(0).設(shè)4=西爲(wèi)+*12+心13仁"(0),那么7U)=0，即也就是()MX=O,它等價于齊次方程組A/X=O,解之得根基解系(2-1,0),(1.0-D.故T-'(0)=￡(2A|-A24i-A3).

〔B類)AA設(shè)。I,a2是線性無關(guān)的n維向量，那么V={Xa|+Ua2|X,PGR)的維數(shù)為.解：由于V中任何元素都可由％線性表示，且％，外線性無關(guān)，所以4，務(wù)的維數(shù)為2.在R3中線性變換T(X|,X2,X3)=(2xi-X2,X2+X3,X|),那么T關(guān)于基J=(1,O,O)',e2=(0,l,0)',七=(0,0,1)'的矩陣為.解：由于T(xi,x2,x3)=(2xi-x2,x2+x3txi)故=(2,0,1)T?2)=(-1,1,0)‘2-10、7(砧，如=(彩,釦011‘2-10>0 1 1J00下的矩陣為5.在R3‘2-10>0 1 1J00下的矩陣為5.在R3中，向量a在基a]=(],l,O),a2=(l,l,l),a3=(l,O,l)下的坐標(biāo)為(2,1,0)',向量B在基B1=(1,0,0),P2=(0,11),P3=(0,1,1)T的坐標(biāo)為(0,-1,1)',求：由基a],a為a3到基B"2,B3的過渡矩陣；向量a+B在基aI,a2,a3下的坐標(biāo).[1)由崗+%伊2=/ =-1+2%_%所以解:所以11-1(崗，外間)=(%，%，%)T。21-1-1.故過渡矩陣為-11-1)02-1-1(2)P,故在％，％，％下坐標(biāo)為0+5=(%,%，%)3,故在％，％，％下坐標(biāo)為所以6,設(shè)B是秩為2的5X4矩陣,ai=(l,1,2,3)' 2=(-1,1,4,-1)',。3=(5,-1,-&9)'是齊次線性方程組Bx=0的解向量，求Bx=0的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.解：由B的秩為2知，Bx=0的解空間的維數(shù)為2.由％線性無關(guān)11、11仁2、1而2357^1=(1,1,2,3)；A=?3-令/1=^1=(1,1,2,3)；A=?3-令/1=單位化得為解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基.7.設(shè)3維線性空冋V3的線性變換T在基￡2,￡3下的矩陣為單位化得求T在基ni=ei+e3,n2=-?3,n3=?i"2下的矩陣;求T的像空間及維數(shù)；（3）求T的核及維數(shù).（%，%，%）=（￡話2,4）°00-1r-i，所以T在如％，〃3下的矩陣為‘10］、-1112)(\0］、4-3-1)00-101100-1=6-401-10.-10-1?,1-10.-111/解：⑴7（女，簽&3