高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)零點(diǎn)知識點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)必修一函數(shù)零點(diǎn)知識點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)必修一：函數(shù)零點(diǎn)知識點(diǎn)1.函數(shù)$f(x)=\log_5(x-1)$的零點(diǎn)是？解析：選C。由$f(x)=\log_5(x-1)=0$，解得$x=2$，因此函數(shù)$f(x)=\log_5(x-1)$的零點(diǎn)是$x=2$。2.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判斷方程$e^x-x-2=0$必有一個根在區(qū)間()？解析：選C。設(shè)$f(x)=e^{-x}-2$，因?yàn)?f(1)=2.78-3=-0.22<0$，$f(2)=7.39-4=3.39>0$，因此$f(1)f(2)<0$，由根的存在性定理知，方程$e^x-x-2=0$必有一個根在區(qū)間$(1,2)$，因此選C。3.函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+2x-3,&x\leq1\\-2+\lnx,&x>1\end{cases}$的零點(diǎn)個數(shù)為？解析：選C。當(dāng)$x\leq1$時，由$f(x)=x^2+2x-3=0$，得$x_1=1$（舍去），$x_2=-3$；當(dāng)$x>1$時，由$f(x)=-2+\lnx=0$，得$x=e^2$，因此函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)個數(shù)為2，因此選C。4.已知函數(shù)$f(x)=x^2-1$，則函數(shù)$f(x-1)$的零點(diǎn)是？解析：由$f(x)=x^2-1$，得$y=f(x-1)=(x-1)^2-1=x^2-2x$，因此$f(x-1)$的零點(diǎn)是0和2。5.若函數(shù)$f(x)=ax+b$只有一個零點(diǎn)2，那么函數(shù)$g(x)=bx^2-ax$的零點(diǎn)是？解析：選B。由題意知$2a+b=0$，因此$b=-2a$，因此$g(x)=-2ax^2-ax=-ax(2x+1)$，令$g(x)=0$，則$x=0$或$x=-\frac{1}{2}$，因此函數(shù)$g(x)=bx^2-ax$的零點(diǎn)是$0$和$-\frac{1}{2}$。6.若函數(shù)$f(x)=x+2x^2+a$沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是？解析：選B。由題意知，$\Delta=4-8a<0$，因此$a>\frac{1}{2}$，即$a>1$。7.函數(shù)$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是？解析：選B。因?yàn)?f(2)=\ln2-1<0$，$f(3)=\ln3-\frac{1}{3}>0$，因此$f(2)\cdotf(3)<0$，因此$f(x)$在$(2,3)$內(nèi)有零點(diǎn)。8.下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是？A.$y=x-1$；B.$y=2x^2-x-1$解析：選A。函數(shù)$y=x-1$的零點(diǎn)是$x=1$，而函數(shù)$y=2x^2-x-1$的判別式$\Delta=9>0$，因此存在兩個不相等的實(shí)根，因此函數(shù)$y=2x^2-x-1$存在零點(diǎn)。1.選D。將四個函數(shù)代入y=0的公式中，發(fā)現(xiàn)只有D中的函數(shù)沒有零點(diǎn)。2.選C。將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，解出方程的解的個數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)。即求loga(x+1)與-x^2+2的交點(diǎn)個數(shù)，答案為2。3.選B。設(shè)f(x)=x^3-x^2，求f(0)、f(1)、f(2)的符號，可知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)。4.零點(diǎn)為1的函數(shù)f(x)=ax^2+2ax+c，另一個零點(diǎn)為-3。將1代入方程得a+2a+c=0，將-3代入方程得9a-6a+c=0，解得c=-4a，代回第一個方程可得a≠0，又可得c=-4a，所以另一個零點(diǎn)為-3。5.答案為a≥1/5或a≤-1。將f(－1)·f(1)≤0代入解得式子，得到a≥1/5或a≤-1。6.正確選項(xiàng)為③④。①錯誤，函數(shù)f(x)=x^2-mx+n在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充要條件是f(a)f(b)<0；②錯誤，函數(shù)f(x)=2x-x^2有三個零點(diǎn)；③正確，奇函數(shù)、偶函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以它們的和為0；④正確，當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)=|x^2-2x|-a的圖像如下，有三個零點(diǎn)。10.若方程$x^2-2ax+a=0$在$(0,1)$恰有一個解，求$a$的取值范圍。解：設(shè)$f(x)=x^2-2ax+a$。由題意知：$f(0)\cdotf(1)<0$，即$a(1-a)<0$，根據(jù)兩數(shù)之積小于零，那么必然一正一負(fù)。故分為兩種情況：$a>1$或$a<0$。∴$a<0$或$a>1$。11.判斷方程$\log_2x+x^2=0$在區(qū)間$[0,1]$內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)根？為什么？解：設(shè)$f(x)=\log_2x+x^2$。因?yàn)?f(1)=\log_21+1^2=1>0$，且$f(0)=\log_20+0^2$不存在，所以$f(0)\cdotf(1)<0$。函數(shù)$f(x)=\log_2x+x^2$的圖象在區(qū)間$[0,1]$上是連續(xù)的，因此，$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$內(nèi)有零點(diǎn)，即方程$\log_2x+x^2=0$在區(qū)間$[0,1]$內(nèi)有實(shí)數(shù)根。12.已知關(guān)于$x$的方程$ax^2-2(a+1)x+a-1=0$，探究$a$為何值時，(1)方程有一正一負(fù)兩根；(2)方程的兩根都大于$1$；(3)方程的一根大于$1$，一根小于$1$。解：(1)因?yàn)榉匠逃幸徽回?fù)兩根，$a-1<0$，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得$a^2-4(a-1)>0$，解得$a<0$或$a>1$。即當(dāng)$0<a<1$時，方程有一正一負(fù)兩根。(2)法一：當(dāng)方程兩根都大于$1$時，函數(shù)$y=ax^2-2(a+1)x+a-1$的大致圖象如圖(1)(2)所示，所以必須滿足$a>0$，且$\Delta<0$，即$a+1<\sqrt{a}$，不等式組無解。所以不存在實(shí)數(shù)$a$，使方程的兩根都大于$1$。法二：設(shè)方程的兩根分別為$x_1,x_2$，由方程的兩根都大于$1$，得$x_1-1>0$，$x_2-1>0$，即$(x_1-1)(x_2-1)>0$，即$x_1+x_2>2$。又因?yàn)?x_1x_2=\frac{a-1}{a}$，所以$a>0$，且$\frac{a-1}{a}>2$，即$a<-\frac{1}{2}$或$a>1$。即不論$a$為何值，方程的兩根不可能都大于$1$。(3)因?yàn)榉匠逃幸桓笥?1$，一根小于$1$，函數(shù)$y=ax^2-2(a+1)x+a-1$的大致圖象如圖(3)(4)所示，所以必須滿足$a>0$，且$f(1)>0,f(-1)<0$，解得$0<a<1$。即當(dāng)$0<a<1$時，方程的一根大于$1$，一根小于$1$。當(dāng)$a>0$時，方程的一個根大于$1$，另一個根小于$1$。這個結(jié)論可以通過求解方程來得到。設(shè)方程為$ax^2+bx+c=0$，其中$a>0$。根據(jù)求根公式，方程的兩個根為$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。由于$a>0$，所以$b^2-4ac<0$。因此，$\sqrt{b^2-4ac}$為虛數(shù)，方程的兩個根為$x_1=\frac{-b}{2a}+\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$和$x_2=\frac{-b}{2a}-\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$。根據(jù)虛數(shù)的性質(zhì)，$\sqrt{4ac-b^2}$為正數(shù)。因此，$x_1$的實(shí)部為$\frac{-b}{2a}$，小于$