關(guān)于量綱分析法課件

一、量綱齊次原則物理量的量綱物理量的量綱長度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時間

t

的量綱記T=[t]動力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2國際單位制SI制的基本量長度l

米L質(zhì)量m

公斤M時間t

秒T電流強(qiáng)度I

安培A溫度開爾文K光強(qiáng)J

堪德拉cd物質(zhì)的量摩爾N其他所有物理量的單位都由這7個基本量復(fù)合得到。量綱齊次原則引力常數(shù)

k

的量綱[k]對無量綱量，[]=1(=L0M0T0)量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系單擺運(yùn)動示例假設(shè)：1、不考慮空氣阻力；2、忽略地球自轉(zhuǎn)對單擺運(yùn)動的影響；3、擺線是剛體，在擺動中無形變；4、擺軸部分沒有摩擦。在這樣的假設(shè)條件下，與單擺運(yùn)動有關(guān)的物理量分別有：t、m、l、g、單擺運(yùn)動的規(guī)律由公式F(t,l,m,g,)=0給出。例:單擺運(yùn)動求擺動周期t

的表達(dá)式假設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式對比對比這里計算出的公式和實(shí)際公式參數(shù)通過測量和最小二乘法計算可以得到。原理分析對x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式？設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為單擺運(yùn)動中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),Δ為無量綱量設(shè)f(q1,q2,,qm)=0ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價,F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,,

Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作即線性齊次方程組有m-r

個基本解，記作為m-r

個相互獨(dú)立的無量綱量,且則Pi定理的意義Pi定理實(shí)際上給出了一個量綱分析法建模的方法和理論支持，即這個定理證明了：量綱分析法是可行的，沒有任何理論上的疑點(diǎn)。下面就利用Pi定理中給出的步驟和方法來解決一個新的建模問題。[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3二、波浪對航船的阻力與航船阻力有關(guān)的物理量：Ay=0有m-r=3個基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個無量綱量而且存在一個未定的函數(shù)關(guān)系：航船阻力模型注意3中含有f

，為了得到f的關(guān)系式，不妨設(shè)則至此我們已經(jīng)建立了阻力

f

與其他各物理量之間的關(guān)系式。仍是未知的函數(shù)關(guān)系，看起來似乎沒什么用，其實(shí)不然。由得及航船阻力模型的意義以我們上面得出的最后模型為例：在設(shè)計制造艦船、飛機(jī)、汽車等產(chǎn)品時，研究人員需要先制作出非常逼真的仿真實(shí)物模型，然后對實(shí)物模型進(jìn)行阻力、運(yùn)動特征實(shí)驗(yàn)，以此來驗(yàn)證設(shè)計是否合理。如果我們能使模型船的中兩個數(shù)據(jù)與真實(shí)船相同，則得到：這就為我們根據(jù)模型船評估實(shí)體船的阻力提供了有效途徑，至于究竟是什么已經(jīng)不重要了。量綱分析法的評注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個數(shù)n;選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識對量綱分析法的評價正確確定物理量（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和概念，寧多勿缺）恰當(dāng)確定基本量綱構(gòu)造基本解（如果構(gòu)造得當(dāng)，可以直接得到期望的結(jié)果）結(jié)果的效用和局限性量綱分析法能在建立物理問題的數(shù)學(xué)模型中得到一些重要、有用的結(jié)果，但也存在局限性，應(yīng)用時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、從未知定律到用量綱分析法得到的等價形式不僅物理量減少了r個，降低了問題復(fù)雜性，同時也得到了一些關(guān)鍵的無量綱量i

。2、當(dāng)然，這種建模方法也是有局限性的，它始終是初等建模方法，一些物理公式中常見的三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)都得不到。另外，在航船阻力模型中也能看到，還有未定函數(shù)和一些常量無法得到，因此模型得實(shí)用價值有限。數(shù)學(xué)模型?微分法建模北京理工大學(xué)王宏洲（靜態(tài)優(yōu)化模型）關(guān)于靜態(tài)優(yōu)化模型飛機(jī)外形布局快餐店的店內(nèi)布置和服務(wù)方式工廠、商店的訂貨、儲貨策略乒乓球團(tuán)體賽中的對陣安排靜態(tài)優(yōu)化（微分法）建模的主要內(nèi)容一、存儲模型二、森林救火模型三、最優(yōu)價格四、消費(fèi)者均衡模型一、存儲模型問題背景工廠需要訂購并儲存原料，商場需要進(jìn)貨并庫存進(jìn)行零售，水庫雨季蓄水為旱季準(zhǔn)備灌溉和發(fā)電用水。這里都有一個儲存多少的問題，儲存太多，則占用了工廠和商場的資金、場地；儲存太少則可能影響生產(chǎn)、銷售進(jìn)度。對于水庫而言，儲存太多還有一個安全問題。仔細(xì)考慮會發(fā)現(xiàn)，這些問題其實(shí)都有隨機(jī)因素在起作用。比如顧客對商品的需求，天氣對蓄水的影響等。但為了簡化模型，這里沒有考慮隨機(jī)因素，只給出靜態(tài)優(yōu)化模型。在討論具體問題之前，必須說明：此類尋找最優(yōu)值的問題并非找到數(shù)學(xué)最優(yōu)解即可，而是要認(rèn)真考慮實(shí)際問題的環(huán)境。1、不允許缺貨模型煉鋼廠訂購廢鋼鐵供煉鋼使用，需求量一定，而且不允許缺貨。制訂最優(yōu)存儲策略，即多長時間訂一次貨，訂多少貨才能使費(fèi)用最低。在不缺貨條件下，需要考慮兩種費(fèi)用：訂貨費(fèi)（訂貨需要的一次性費(fèi)用）；儲貨費(fèi)（占有場地、占用資金的費(fèi)用）。至于購買原料本身的費(fèi)用與決策無關(guān)。模型分析與假設(shè)設(shè)T天訂貨一次（訂貨周期），訂貨量為Q噸，則總費(fèi)用=訂貨費(fèi)+儲存費(fèi)，設(shè)法求T和Q，使得總費(fèi)用最低。模型假設(shè)1：鋼廠單位時間的需求量為r；模型假設(shè)2：一次性訂貨費(fèi)c1，每天每噸貨物儲存費(fèi)為c2

。模型假設(shè)3：每T天訂貨Q噸，當(dāng)存量為0時立即訂貨。目的：求T、Q的值，使費(fèi)用最低。需要平衡的地方：頻繁訂貨則c1增加而儲存費(fèi)降低，T??；減少訂貨次數(shù)則c1減少而儲存費(fèi)增加，T大。構(gòu)造模型記q(t)為t時刻貨物的存量，具體形式為：q(t)=Q-rt，0tT且Q=rt考慮一個定貨周期的總費(fèi)用：tQT2Tqr從此模型不難看出，當(dāng)T=0時總費(fèi)用最低。即不設(shè)倉庫，隨時購買隨時使用，將庫存費(fèi)用完全省去就可以將一次訂貨的總費(fèi)用降到最低。這個結(jié)論有什么問題嗎？模型結(jié)果分析隨時購買隨時使用，這個結(jié)論對于企業(yè)而言是沒有意義的。這樣做雖然節(jié)省了每一個訂貨周期的費(fèi)用，但卻大大增加了訂貨次數(shù)，由此增加的費(fèi)用對企業(yè)來說是得不償失的。庫存費(fèi)用訂貨費(fèi)用由于每次訂貨費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)比庫存費(fèi)用要高，所以如果計算單位時間的總費(fèi)用，那么拉長訂貨周期可能費(fèi)用更低。因此用一個訂貨周期的總費(fèi)用來作為目標(biāo)函數(shù)并不適合。模型修正取目標(biāo)函數(shù)為每天的平均費(fèi)用，記作C(T)：這樣做的合理性在于企業(yè)生產(chǎn)是一個長期、連續(xù)的過程，只有降低單位時間（每天）的費(fèi)用，才能起到降低企業(yè)每年總費(fèi)用的目的。注：做數(shù)學(xué)模型必須注意到實(shí)際背景和對方的真實(shí)意圖，不能簡單地給出一個脫離實(shí)際的結(jié)果。求T、Q使C(T)最?。航?jīng)濟(jì)訂貨批量公式簡單檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相吻合，所以說模型是基本合理的。2、允許缺貨模型背景：為商場解決最優(yōu)訂貨周期和批量問題。由于商場銷售并非必須隨時有貨物，所以允許在一定時間內(nèi)缺貨。模型假設(shè)1：單位時間的需求量為r；模型假設(shè)2：一次性訂貨費(fèi)c1，每天每噸貨物儲存費(fèi)為c2

；模型假設(shè)3：允許缺貨，每天每噸缺貨損失費(fèi)c3

；模型假設(shè)4：每T天訂貨Q噸。構(gòu)造模型構(gòu)造：記q(t)為t時刻貨物的存量，具體形式為：q(t)=Q-rt，Q=rtT1時貨物售完，在[T1,T]時間內(nèi)缺貨。TT1T+T1rQ一次性訂貨周期的總費(fèi)用：構(gòu)造模型仍取目標(biāo)函數(shù)為每天的平均費(fèi)用：求T、Q，使得C(T,Q)最小。模型分析說明：在允許缺貨的情況下，周期可以比不允許缺貨的情形長一些，同時每次訂貨的數(shù)量也可以少一些。3、訂貨多者優(yōu)惠情形批發(fā)單位對一次性訂貨較多的訂戶在價格上給予一定的優(yōu)惠。設(shè)單位貨物的價格為e(Q)。模型之外的話現(xiàn)代企業(yè)管理信息系統(tǒng)正在逐漸普及，這使得企業(yè)管理層可以及時了解到貨物、原料的庫存情況。那么是不是就能實(shí)現(xiàn)零庫存管理呢？即隨時使用隨時采購？零庫存是不可能的，如國內(nèi)的dangdang.com等，國外的亞馬遜?，F(xiàn)代企業(yè)信息系統(tǒng)的意義在于實(shí)現(xiàn)信息的快速收集、傳遞，類似貨物存儲策略這樣的問題屬于決策問題，所以企業(yè)信息系統(tǒng)不僅不會削弱我們數(shù)學(xué)模型的作用，反而會進(jìn)一步使得數(shù)學(xué)模型的實(shí)用效果更好。二、森林救火模型森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問題分析問題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小模型分析

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設(shè)

3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）

1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）

2）t1tt2,

降為-x

(為隊(duì)員的平均滅火速度）

4）每個隊(duì)員的單位時間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.構(gòu)造模型b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型構(gòu)造結(jié)果分析參數(shù)估計：c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個隊(duì)員單位時間滅火費(fèi),c3~每個隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊(duì)員平均滅火速度.三、最優(yōu)價格模型1、問題背景：一個經(jīng)理有權(quán)制訂產(chǎn)品的銷售價格，那么怎樣定價才能讓企業(yè)的利潤最大化？定價高單個產(chǎn)品的利潤上升市場銷量下降企業(yè)總利潤不見得高產(chǎn)銷平衡——工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品等于市場上的銷量。這時不存在壟斷效應(yīng)和積壓降價壓力，可以從容考慮定價問題。經(jīng)濟(jì)學(xué)概念利潤=總收入-總成本總成本：指生產(chǎn)一批產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入的費(fèi)用總額。由固定成本和可變成本兩部分組成。固定成本：固定資產(chǎn)消耗、保險費(fèi)用等；可變成本：原料、勞動力成本等?？偸杖耄撼鍪垡欢慨a(chǎn)品所得的全部收入。模型分析模型假設(shè)：I(p)=

xpC(p)=xq需求函數(shù)建模目的：求p，使得利潤最大化。模型構(gòu)造解：模型結(jié)果分析根據(jù)假設(shè)注意：最優(yōu)價格p*

由兩部分組成，一是成本的一半；另一部分由需求函數(shù)中的參數(shù)a、b決定。參數(shù)估計模型中有兩個參數(shù)：a和b

，如何估計？當(dāng)p=0時，得到x(p)=a

。a解釋為“絕對需求量”，即產(chǎn)品免費(fèi)供應(yīng)時社會的需求量。在實(shí)際工作中如何尋找a、b？這里的辦法并不實(shí)用。參數(shù)估計注意到需求函數(shù)x(p)關(guān)于p是線性函數(shù)，我們可以找出幾個點(diǎn)，利用最小二乘法得到參數(shù)。請大家思考：1）

x(p)取做其他減函數(shù)可以嗎？2）在靜態(tài)模型中p不變，但在市場經(jīng)濟(jì)下p

是隨t變化的，如果取p(t)，模型該怎樣建立？2、供需不平衡情形的最優(yōu)價格問題前面討論的是供需平衡情形，可是在大多數(shù)情況下，供需并不平衡，即或者供大于求，或者供不應(yīng)求。在這種情形下，企業(yè)如何定價？八十年代，中國家電生產(chǎn)能力無法充分滿足市場能力，家電行業(yè)銷售旺盛，價格可以定的比較高；到九十年代，生產(chǎn)能力又出現(xiàn)過剩，家電產(chǎn)品又出現(xiàn)大量積壓，價格跌幅極大。模型分析xd表示需求：在一定條件下，單位時間內(nèi)消費(fèi)者欲購且有支付能力的商品量；

xs表示供應(yīng)：在一定條件下，單位時間內(nèi)企業(yè)愿意出售且可供出售的商品量。當(dāng)p比較低時，生產(chǎn)者不愿意多生產(chǎn)，所以xs會減少，g(p)是p的減函數(shù)；反過來，當(dāng)p比較低時，xd會相應(yīng)升高，所以f(p)應(yīng)該是p的增函數(shù)。模型假設(shè)與求解假設(shè)1、市場上供需量相等的價格，即均衡價格是最優(yōu)價格；假設(shè)2、需求量xd=a–bp=f(p)；供給量

xs=-c+dp=g(p).得到：a是市場的絕對需求量；b是消費(fèi)者對價格的敏感度；d是企業(yè)對市場價格變動的敏感度；c反映企業(yè)所能容忍的最低價格(成本).為什么總是取供需平衡的價格為最優(yōu)價格？從生產(chǎn)者的角度，應(yīng)該通過制訂產(chǎn)品的價格來促使供需平衡的局面出現(xiàn)！否則，價格過高會導(dǎo)致供過于求，造成積壓；價格偏低又會導(dǎo)致利潤受損。所以定價的目標(biāo)應(yīng)該是促成供需平衡局面的出現(xiàn)。3、價格隨行就市情形下的最優(yōu)價格問題即假設(shè)p=p(t)；假設(shè)1、市場上供需量相等的價格，即均衡價格是最優(yōu)價格；假設(shè)2、需求量xd=a–bp=f(p)；供給量

xs=-c+