高中物理競賽真題4光學（學生版+解析版50題）

競賽專題4光學

50題競賽真題強化訓練

一、解答題

1.（2019?全國?高三競賽）一近視患者不戴眼鏡時，只能看清距眼睛a=20cm以內(nèi)的

物體.他發(fā)現(xiàn)，如果在眼前靠近眼睛處放一帶小圓孔的卡片，通過小圓孔不戴眼鏡看

遠處物體時也能清晰些.

（1）若小網(wǎng)孔的直存為D,試根據(jù)幾何光學的原理，求出當近視患者直視遠處的一個物

點時，在眼睛的視網(wǎng)膜上產(chǎn)生的光斑的直徑.（提示：可將眼睛簡化成一個焦距，可調(diào)

的薄透鏡和一個可成像的視網(wǎng)膜，透鏡兩側的介質均為空氣，視網(wǎng)膜與透鏡的距離為

b.）

（2）再考慮小孔的衍射效應，求小圓孔直徑最恰當?shù)拇笮?

2.（2019全國?高三競賽）在半導體元件的生產(chǎn)中，為了測定Si片上的SiO?薄膜厚

度,將SiO?薄膜磨成劈尖形狀.如圖所示，用波長/L=546.】mn的綠光照射，已知

SiO2的折射率為1.46,Si的折射率了3.42,若觀察到劈尖上出現(xiàn)了7個條紋間距，間

Si。,薄膜的厚度是多少？

3.（2019?全國?高三競賽）將一偏振片沿45。角插入一對正交偏振器之間.自然光經(jīng)過它

們，強度減為原來的百分之幾？

4.（2019?全國?高三競賽）設一束自然光和平面偏振光的混合光通過一個可旋轉的理想

偏振片后，光強隨著偏振片的取向可以有5倍的改變.求混合光中各個成分光強的比例.

5.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，在。點有一個物屏，上面有一個發(fā)光小物體。

垂直于物屏有光軸，共軸放置一個焦距為/的透鏡，光心為C,在距離。點/,處共軸

攔放一個平面鏡.當0C距離為*時，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過透鏡透射，平面鏡反射，再經(jīng)過透鏡

透射，發(fā)光物體在物屏處成了清晰像。向右移動C點到X2處，再次在物屏處成了清晰

像，繼續(xù)向右移動C點到XJ處，乂在物屏處成了清晰像。

⑴求出.0,K2,

（2）當透鏡位于X/處時，向上移動物點距離Ml,則在物屏上的像向什么方向移動了多

少距離。

6.（2019唆國?高三競賽）如圖所示，一正六邊形每邊均為一平而

鏡.現(xiàn)從AA中點〃發(fā)出一條光線，此光線依次經(jīng)AA,…，4A反射，最后

回到A4邊，試求光線出射角。的范困

若將正六邊形A&A兒AA換成正”邊形A&L4.凡要求光線依然從M（A心中

點）發(fā)出，先后依次經(jīng)AA，....八,八反射并回到A4邊，則試求。的范

圍.（以上范圍均用反三角函數(shù)表示）

7.（2019全國?高三競賽）（I）s系為相對觀察者靜止的慣性參照系.s系中存在以速

度「高速運動的鏡子，觀察者看到鏡面與速度方向的夾角為6,一光線經(jīng)鏡面反射，如

圖1所示，入射角為a，反射角為夕.求a、戶、。間滿足的關系式

（2）有一橫截面為半橢圓的反射鏡，半橢圓的形狀為名+[=1的橢圓沿長軸平分

的一半.現(xiàn)討論該鏡面上的反射情況.鏡面以沿長軸（平行于*軸）方向以速度]運

動，一足夠大平行光場照射到鏡面上，光與豎宜方向呈⑺角（逆時針為正），如圖2所

①定義：反射光線與豎直方向的夾角小于90。的反射為有效反射.且已知鏡子前半面

（速度方向為前）的有效反射光線占前半面入射光線的：.求P和后半面有效光線占

后半面入射光線比例

②令8=,，平行光場單位長度光子密度為，%=常量.定義反射光的光子角密度

dN

也產(chǎn)F，°為反射光方向角，求/廣生）2時的方向角與豎直方向的夾角及

IPdO

=時的方向角與豎直方向的夾角.（只考慮在地系同時在某瞬時反射的光

子）

8.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，在與偏振方向垂直的偏振片】、2之間插入一塊

厚度為d的波晶片，波晶片的，軸與偏振片1的偏振方向成。角，且波晶片對。光與，

光的折射率分別為""和"一三元件的平面彼此平行，波長為4的單色光正入射到這一

系統(tǒng)上，試問:

偏振片2

（1）圖中①②③三區(qū)域光的偏振態(tài):

（2）圖中①②③三區(qū)域光的強度（入射單色光的強度為/）

9.（2019唉國?高三競賽）用坐標紙繪制N=6,〃=1.5〃的火瑯禾費衍射強度分布曲

線.橫坐標取sin。，至少畫到第4級主極強，并計算第4級主極強與單縫主極強之

比.

10.（2019?全國?高三競賽）半徑為飛的平凸透鏡平放和半徑為尺的圓柱形玻璃體上,

求相應的牛頓環(huán)形狀.

11.（2019?全國?高三競賽）將焦距/=20cm的凸透鏡從正中切去寬度為a的小部分，

如圖（a）,再將剩下兩半皴接在一起，構成一個,,黏合透鏡’、.見圖（b）.圖中

D=2cm，在黏合透鏡一側的中心袖線上距鏡20cm處，置一波長石50?nn）的單色點

光源S,另一側，垂直于中心軸線放置屏幕，見圖（c）.屏幕上出現(xiàn)干涉條紋，條紋

間距Av=9.2mm.試問：

期…￡……:

（?）（?<C）

（I）切去部分的寬度a是多少？

（2）為獲得最多的干涉條紋，解幕應離透鏡多遠？

12.（2019?全國?高三競賽）如圖所示的洛埃鏡鏡長/=7.5cm,點光源S到鏡面的距離

</=0.15cm,到鏡而左端的距離6=4.5cm,光屏M垂直于平面鏡且與點光源S相距

L=1.2in.如果光源發(fā)出長4=6xl0-7m的單色光，求：

（I）在光屏上什么范圍內(nèi)有干涉的條紋？

（2）相鄰的明條紋之間距離多大？

（3）在該范圍內(nèi)第一條暗條紋位于何處？

13.（2019?全國?高三競賽）內(nèi)半在為R的直立圓柱器皿內(nèi)盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋

轉（水銀不溢，皿底不露），穩(wěn)定后的液而為旋轉拋物面.若取坐標原點在拋物面的最

低點，縱坐標軸■"與圓柱推皿的軸線重合，橫坐標軸r與z軸垂直，則液面的方程為

z="/，式中。為旋轉角速度，g為重力加速度（當代已使用大面枳的此類旋轉水

銀液面作反射式天文望遠鏡）.觀察者的眼睛位于拋物面最低點正上方某處，保持位置

不變，然后使容器停轉，待液面靜止后，發(fā)現(xiàn)與穩(wěn)定旋轉時相比，看到的眼睛的像的

大小、正倒都無變化.求人眼位置至穩(wěn)定旋轉水銀而最低點的距離.

14.（2019?全國?高三競賽）裝在門上的門鏡（乂稱“貓眼全由一個凹透鏡和一個凸透

鏡組成.有一種門鏡的凹透鏡焦距為L，cm,凸透鏡焦距為3.5cm,兩透鏡之間的距離

為2.1cm,如圖所示.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)說明，人在室外看不清室內(nèi)的景物，而在室內(nèi)

的人卻能清筵地看見室外的人.

15.（2019?全國?高三競賽）一束會聚光線.在沒有放入凹透鏡時會聚于A點，若在距

A為a處放人一凹透鏡，該會聚光線經(jīng)透鏡折射后會聚于B點；A、B相距為b,如圖

所示，試求此透鏡的焦距.

16.（2019?全國?高三競賽）常在高速公路上駕駛的司機有這樣的體驗：當氣溫較高

時，高速公路的正前方有一塊地方是濕漉漉的，好像是才被水澆過一樣，波光閃閃，

而且這一區(qū)域還會隨著汽車的行駛而向前移動，這實質上是由于空氣密度的分布不均

勻而造成的折射現(xiàn)象.

在高速公路上，因溫差，公路上方空氣的折射率隨高度線性變化，即〃="。。+*丫），

其中a=1.5xlO?m，結果司機無法看見距離他d處的公路路面（F=（））.若司機的眼

睛離公路高1.7m,求d之值,乂問，溫度隕高度如何變化？

17.（2019?全國?高三競賽）一半徑為R,折射率為n的透明球，其中心為C.在一在

向方向上取P、Q兩點，使CP=2,CQ=nR.試證，從P點發(fā)出的光，經(jīng)界而折射

n

后，總是像從Q點發(fā)出的.

18.（2019?全國?高三競賽）帶電粒子飛過長方體形狀的閃爍計數(shù)器，沿粒子運動機跡

放置閃爍體，閃爍體分子輻射光.在每一點各向輻射等強光，即在各方向強度是均勻

的.求從閃爍瞄有多大部分光能射出到空氣中？如果閃爍體物質的折射率〃=1.6,在

閃爍體中光的吸收不計.附注：圓錐頂立體角等于Q=2;r（l-cos0）,式中。是圓錐軸

與其母線所成為.

19.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，兩鏡面間夾角a=l5。，O4=10cm點發(fā)出的垂

直于G的光線射向4后在兩鏡間反復反射，直到光線平行于某一鏡面射出，則從A點

開始到最后一次反射點，光線所走的路程是多少?

20.（2019?全國?高三競賽）如圖所示為一套干涉裝置，。為半反鏡，氏、4、N為

平面鏡，2為一反射鏡，其外形為旋轉拋物面，由于光屏距d較遠,可以認為只有近

似垂直于光屏入射的光線才能到達.2的光軸與4、。的對稱軸重合.已知激光波

長為義，。，的拋物線方程為F=A1,光屏到光線在2上的反射點的距離為。.問：

光屏上干涉條紋的間距是多少？

21.（2019?全國?高三競賽）一束光入射到一組偏振片上，這個偏振片組由四塊偏振片

組成，每塊的透振方向相對于前面一片沿順時針方向轉過30。角.試問入射光中有多大

一部分透過了這組偏振片？

22.（2019?全國?高三競賽）設一束橢圓偏振光與自然光的混合光沿。軸方向傳播，通

過一偏振片.當偏振片的透振方向沿x軸時，透射光的強度最大，為1.5/。：透振方向沿

）'軸時，透射光的強度般小，為/。.問：當透振方向與z軸成。角時，透射光強是多

少？與入射光中的無偏振部分相關嗎？

23.（2019?全國?高三競賽）一架照相機在離地面210km的高空拍攝地面上的物體.如果

要求它能分辨地面上相距】m的兩點，照相機的鏡頭至少要多大？（設鏡頭的幾何像

差已被很好地消除，感光波長為4（）0nm）

24.（2019?全國?高三競賽）已知地月距離約為3.8x10%”.用口徑為1m的天文望遠鏡能

分辨月球表ifii兩點的最小距離是多少？

25.（2019?全國?高三競賽）一個由暗盒組成的針孔照相機，其小孔直徑為d,喑盒中

像成在小孔后距離為。的感光膠片上，如圖所示，物體位于小孔前/.處，所用波長為

(2)若使用(I)中算出的小孔，試問：物體上兩點之間的最小距離是多少時，該兩

點的像可分辨？

26.(2019?全國?高三競賽)某業(yè)余無線電玩家住在A鎮(zhèn)，他經(jīng)常與分別住在8鎮(zhèn)和C

市的兩位友人用無線電相互通訊聯(lián)絡.他希望當他與其中一人通訊時，另一人不能同時

收到訊號.因此他在住家的空地上豎立了兩根垂直于地面的發(fā)射天線加和S,,可以同時

發(fā)出訊號.并使兩個發(fā)射訊號之間的相位差可在每次發(fā)射前調(diào)整，采用的無線電波的

波長為心如圖所示，給定的；A3方向線朝AC方向線逆時針轉角。＜萬：圖中九

A、，三點共線，連線長度記為，?：A8方向線沿逆時針方向到S,邑方向線的轉角記為

a(順時針方向轉角為負)：A、B間距和A、C間距都遠大于，和區(qū)

(I)取不同的?,找出，?可取得的最小值%..

(2)取公畫出S/S?連線相對A3連線和AC連線的方位圖，標出相應“角的旋轉方

向：

(3)取，溫，對給定的發(fā)射功率，為使〃鎮(zhèn)友人收到的訊號達最強，試求輸入，、5,

訊號間的相位差.

27.(2019?全國淌三競賽)某種蜜蜂的眼睛能夠看到平均波氏為50()nm的光，它是由

5000個小眼構成的復眼，小眼一個個密集排放在眼睛的整個表面上.小眼構造得很精

巧，頂部有一個透光的圓形集光裝置，間角膜鏡：下面連著圓錐形的透明晶體，使得

外部入射的光線會聚到圓錐頂點連接的感光細胞上(進入個小眼的光線不會透過錐

壁進入其他小眼），從而造成一個“影像點”（像素）：所有小眼的影像點就拼成了一個

完整的像.若將兔眼看作球面圓錐，球面半徑為，=1.5〃"”，則蜜蜂小眼加膜鏡的最佳宜

在”約為多少？（請給出兩位有效數(shù)字）

28.（2019?全國?高三競賽）厚玻璃上方鍍有雙層增透膜，％<%<，“>"、，以波長為4

和單色光垂直入射，設三束反射光（只考慮一次反射）“、b、c在空氣中的振幅相

等，欲使這三束光相干疊加后的總強度為0,則第一層膜的坡小厚度4和第二層膜的

坡小厚度&各為多少？

29.（2019,全國?高三競賽）如圖所示，波長2=632.8,〃〃的平行激光束垂直入射到雙棱

鏡上,雙棱鏡的頂向a=3'3（T,寬度W=4.（k,",折射率”=15問:當幕與雙棱鏡的距

離分別為多大時，在幕上觀察到的干涉條紋的總數(shù)最少和最多？最多時能看到幾條干

涉條紋？

30.（2019,全國?高三競賽）圓徘透鏡如圖所示，S,為錐面，A4為底面.通過錐頂A

垂直于底面的直線為光軸.平行光垂直入射于底面，現(xiàn)在把一垂直于光軸的平面屏戶從

透鏡頂點A向右方移動，不計光的干涉與衍射.

（I）用示意圖畫出在屏上看到的圖像，當屏遠離錐頂A時圖像怎樣變化？

(2)設圓錐底面半徑為/?，錐面母線與底面的夾角為"(3-5),透鏡材料的折射率為

〃，令屏離錐頂A的距離為A,求出為描述圖像變化需給出的屏的幾個特殊位置.

31.(2019,全國?高三競賽)有一放在空氣中的玻璃棒，折射率〃=1.5,中心軸線長

L=45cM.一端是半徑為4=10<1>1的凸球面

(1)要使玻璃棒的作用相當于一架理想的天文望遠鏡(使主光釉上無限遠處物成像于

主光軸上無限遠處的望遠系統(tǒng))，取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應磨成什么樣的球

面？

(2)對于這個玻璃棒，山無限遠物點射來的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度

巴時，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度仍，求竺(此比值等于此玻璃棒的望遠

系統(tǒng)的視角放大率)

32.(2019?全國?高三競賽)圖為投影儀的結構示意圖，4是水平放置的凸透鏡，在其

正上方有一個與水平面成40。角的平面鏡在右邊豎直放著一個屏幕，當物體

(AS)的光線經(jīng)。和右后，在屏上成一個清晰的像，己知也=30,切，O,O2=30(??.

QQ二兆a〃.

屏

，四

4B

(1)求凸透鏡。的焦距.

(2)畫出成像的光路圖.

33.(2019?全國?高三競賽)半徑均為“的圓盤發(fā)光面S和不透光的圓盤。共軸放置，相

距24,在P后相距d處旋轉光屏。，在S和p正中有一凹透鏡使距/=T

(I)在S照明下,。上形成的尸的本影和半影的半徑4、4：(透鏡的半徑足魴大)

(2)把凹透鏡換成凸透鏡,位置不變，焦距/=",求此時。的本影和半影的半徑，：、

<?

34.(2019?全國?高三競賽)兩塊共軸放置的凸透鏡匕和。，點光源S.位于，”左側,墩

終在％的右側得到一個實像S,如圖所示.試用作圖法求出透鏡。和％焦點的位置.

。k

c八\s

%?

…?…o；.....................o；.................

+T

35.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，有一半徑R=O.128〃,的玻璃半球，在其主光軸上

放一長/=0.020〃，的條形物4A.在主光軸的E點附近可同時觀察到的兩個像，它們

分別是經(jīng)玻璃半球的平面和凹球面反射而成的.當條形物的4端與半球平面相距0.020m

時，兩個像恰好連接在一起，試求玻璃半球的折射率”.

36.（2019?全國?高三競賽）體溫計橫極面如圖所示，已知細水銀柱頂端A離圓柱面頂

點。的距離為2R,R為該網(wǎng)柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置.玻璃的折射率〃=1.5,

E代表人眼，求圖示橫假面上人眼所見水銀柱像的位置、虛實、正倒和放大倍數(shù).

******2R.

37,（2019?全國?高三競賽）給定一厚度為"的平行平板，其折射率按下式變化：

卜春.束光在。點由空氣垂直射入平板，并在A點以角度a射出，如圖所示求

I——

r

A點的折射率”.，并確定A點的位置及平板的厚度.（設”“=1.2,r=13m八敏=30）

38.（2019?全國?高三競賽）如圖所示，在某非勻質光介質中，折射率〃隨）'變化,

卜］2A處”=讓光從.v=-八，x=處掠入，光線方程為F=Asin*,求”與J1的

2工“

關系

39.（201的全國?高三競賽）圖”是基于全內(nèi)反射原理制備的折射率階躍型光纖及其耦

合光路示意圖.光纖內(nèi)芯在徑50囚”折射率,〃=1.46：它的玻璃外包層的外徑為

125Hm,折射率〃尸1.45.氮笊激光器輸出一圓柱形平行光束，為了將該激光束有炊地耦

合進入光纖傳輸，可以在光纖前端放置一微球透鏡進行聚焦和耦合，微球透鏡的直徑

D=3.00mm,折射率，曰.50.已知激光束中心軸通過微球透鏡中心，且與光纖對稱軸重

合.空氣折射率〃產(chǎn)1.00.

微球透鏡

圖a.激光束經(jīng)微球透鏡耦合進入光纖示意圖

（1）為r使光線能在光纖內(nèi)長距離傳輸，在光纖端面處光線的最大入射角應為多大？

（2）若光束在透鏡聚焦過程中滿足近軸條件，為了使平行激光束剛好聚焦于光纖端面（與

光纖對稱軸垂直）處，微球透鏡后表面中心頂點。與光纖端面距離應為多大？

（3）為了使進入光纖的全部光束能在光纖內(nèi)長距離傳輸，平行入射激光束的直徑最大不

能超過多少？

40.（2019?全國?高三競賽）一束橢圓偏振光通過一偏振片，透射光的強度將隨著偏振

片的透振方向的轉動而變化.若測得城大的透射光強和出小的透射光強分別為/心和

/皿,，問當透射方向與光強最大透射方向間的夾角為〃時，透射光強為多少？

41.（2019?全國?高三競賽）在焦距為20.00cm的薄凸透鏡的主軸上離透鏡中心

30.00cm處有一小發(fā)光點S,一個厚度可以忽略的光楔C（頂角a很小的三棱鏡）放在

發(fā)光點與透鏡之間，垂直于主軸，與透鏡的距離為2.00cm,如圖所示.設光楔的折射

率〃=1.5,楔向a=0.028rad.在透鏡另一側離透鏡中心46.25cm處放一平面鏡M,其

反射面向著透鏡并垂直于主軸.問最后形成的發(fā)光點的像相對發(fā)光點的位置在何處？

（只討論近軸光線，小角度近似適用.在分析計算過程中應作必要的光路圖.）

42.（2019?全國?高三競賽）田野中有一條直路.一只山羊沿路奔跑的速度不超過v,

沿田野奔跑的速度不超過u,且“<r.求山羊在時間t內(nèi)可能到達的區(qū)域.

43.（2019?全國?高三競賽）將焦距為10?！ǖ囊粔K雙凸透鏡沿其表面的垂直方向切割成

相同的兩部分，把這兩部分沿垂直于主軸的方向移開一段距離S=0.1<7",并用不透明

的材料將其擋住，若在原透鏡左側主軸上，距透鏡光心20c,”處放一點光源M,如圖

所示，點光源能射出波長為。5川〃的單色光，那么在透鏡另一側距透鏡50c,”的扉幕

（垂直于透鏡主軸放置）上，將出現(xiàn)多少條亮條紋？

44.（2019?全國?高三競賽）焦距均為/的兩個凸透鏡乙、%與兩個圓形平面反射鏡

加？放置如圖所示.二透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過二平面鏡的

中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點光源。.

（I）畫出由光源向右的條光線GM（如圖所示）在此光學系統(tǒng)中的光路.

（2）分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（。點除外）形

成光源。的能看到的像，哪些是實像？哪些是虛像？

（3）現(xiàn)在用不透明板把。和乙的下半部（包括透鏡中心）都遮住，則這些像石,什么變

化？

45.（2020?全國?高三競賽）如圖，一半徑,"50cm的球形薄壁玻璃魚缸內(nèi)充滿水，水中

4

有一條小魚。玻璃和水的折射率都是“=§,觀察者在不同位置和不同角度對玻璃魚缸

里的魚進行觀察。

（1）當魚位于魚缸的中心時，求觀察者看到的魚的表觀位置和橫向放大率：

（2）當魚位于某些位置時，有時觀察到魚缸里的魚"消失'、，試找出魚可能“消失”的位

置范困以及觀察者的觀測位置范困，并于圖中標出，并作簡要說明。

46.（2020?全國?高三競賽）光纖陀螺儀是一種能夠精確測定運動物體方位的光學儀

器，它是現(xiàn)代航海、航空和航天等領域中被廣泛使用的一種慣性導航儀器。光纖陀螺

儀導航主要里于下述效應：在一個半徑為乩以角速度。轉動的光纖環(huán)路（見下圖）

中，從固定在環(huán)上的分束腮A分出的兩束相干光分別沿逆時針（CCW）和順時針

（CVV）方向傳播后回到人，兩者的光程不一樣。檢測兩束光的相位差或干涉條紋的變

化，可確定該光纖環(huán)路的轉動角速度口。真空中的光速為c.

圖6a

(I)如下圖，光纖山內(nèi)、外兩層介質構成，內(nèi)、外層介質的折射率分別為，〃、小

("/>”2)。為了使光能在光纖內(nèi)傳輸，光在輸入端口(端口外介質的折射率為,M)的

入射角，應滿足什么條件？

(2)考慮沿環(huán)路密統(tǒng)N而光纖，首尾相接于分束滯人，光纖環(huán)路以角速度Q沿逆時針方

向旋轉。從八分出兩束相干光沿光纖環(huán)路逆時針和順時針方向傳播，乂回到，已知

光傳播介質的折射率為，〃，兩束光在真空中的波長為兒，間兩束相干光分別沿光纖環(huán)

路逆時針和順時針方向傳播的時間心CW和心卬為多少？這兩束光的相位差為多少？

試指出該相差與介質折射率〃/之間的關系。

(3)為了提高陀螺系統(tǒng)的微型化程度，人們提出了諧振式光學陀螺系統(tǒng)。該系統(tǒng)中含有-

一個沿逆時針方向旋轉的光學環(huán)形腔，其半徑為上旋轉角速度為Q(KQ?c),己知

腔中的介質折射率為〃，在腔內(nèi)存在沿逆時針和順時針方向傳播的兩類共振模式?當

環(huán)形腔靜止時，這些模式的波長%由周期邊界條件2乃田="4。決定,其中"，為正整

數(shù)，稱為共振模式的級次。當環(huán)形腔旋轉時，同一級次(均為〃，)的沿順時針和逆時

針方向傳播的共掘模式存在-一個共振頻率差/1/.試導制環(huán)形腔轉動角速度。與該共振

頻率差力之間的關系。

47.(2020?全國?全三競賽)1=11964年Yeh和Cummins觀察到水流中粒子的散射光多

普勒頻移至今，激光多普勒測速技術己獲得了廣泛應用。為了得到足簪的散射光強，

通常在流體中散播尺寸和濃度適當?shù)氖聚櫳⑸淞Ｗ?，激光照射到運動粒子上時發(fā)生散

射，從而獲得粒子(和流體)的速度信息。設粒子速度「與豎直方向的夾角為夕。

(I)如下圖所示，?束頻率為/的光被流體中的運動粒子所散射。光在流體中的傳播速

率為c/〃(n為流體的折射率)，粒子以速度「運動入射光和觀測到的散

射光的傳播方向與粒子速度的夾角分別為4和%。求散射光相時于入射光的頻移量M

與散射光方向的關系。設粒子的速率v=ln"s。光的頻率/=IO“Hz,曠能否可以直

接用分辨率為5MHz的光譜儀進行檢測？

（2）如下圖所示，用頻率為/的兩束相干平行光（其傳播方向在同一豎直平面內(nèi)）照射

流體中同一粒子，兩束光與水平面的夾比均為a/2（a比較?。?兩束光的散射光到

達光電探測器的相位分別為4和內(nèi)，放射光的電場矢量方向近似相同且振幅均為E”

光電探測器輸出的電流強度正比于它接收到的光強，比例常量為h假設光電探測器

的頻率響應范圍為IO,~107］以，求光電探測器的輸出電流表達式。為簡單起見，假設

（3）設XOZ平面內(nèi)兩束相干平行光相對于X軸對稱入射到達相交區(qū)域（見下圖），求干

涉條紋間距：粒子（其速度在XOZ平面內(nèi)）經(jīng)過明暗相間的干涉條紋區(qū)招散射出光脈

沖，求光脈沖的頻率。

48.(2020?全國?高三競賽)反粒子最早由狄拉克的理論所預言。1932年，安德森研究

宇宙射線時發(fā)現(xiàn)了電子的反粒子——正電子。此后，人類又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了反質子等反粒

子。

用單粒子能量為6.8GeV的高能質子束轟擊頻止的質子靶，可產(chǎn)生反質子，其反應式為

p+p---------------------p+P+P+

!

TT+…

質子和反質子湮滅時可產(chǎn)生1r介子，因此在反質子束流中還伴隨有大量兀介子。下圖

是探測反質子的實驗裝置原理圖。反質子面和K介子流依次通過閃爍計數(shù)器S1、S2

和S-S」與，相距/=|2m,在s?和5之間放置有切倫科夫計數(shù)器a和C-切倫科夫

it數(shù)器通過探測切倫科夫輻射(帶電粒子在介質中的運動速度超過介質中光速時所激

發(fā)的電磁輻射)而確定帶電粒子的運動速度。3僅記錄速度較快的兀-介子，C?僅記錄

速度較慢的反質子。實驗中S)的作用是檢驗前面的計數(shù)結果是否真實。

(1)在上述反應中，假設末態(tài)質子和反質子速度相同，求反質子從4運動到S?所需的時

問上若七介子與反質子動能相同，求仁介子從加運動到當所需的時間。

(2)運動速率為v(v><?/〃)的帶電粒子通過折射率為n的介質，求所產(chǎn)生的切倫科夫輻

射傳播方向與帶電粒子的運動方向的夾角。。

(3)微分式切倫科夫計數(shù)器可以記錄速率在某一個區(qū)間的粒子數(shù)。下圖是其關于軸線

(圖中虛線)旋轉對稱的原理剖面圖.光收集系統(tǒng)包括半件為R的球面鏡和半彳仝可調(diào)

的環(huán)狀光闌。當切倫科夫幅射傳播方向與帶電粒子運動方向的夾角6很小時，球面鏡

將帶電粒子激發(fā)的切倫科夫輻射會聚在其焦平而上，形成半徑為，?的輻射光環(huán)。投射

在計數(shù)器上。對于速率為v的帶電粒子激發(fā)的輻射，求光環(huán)的半彳仝。

(4)反質子與質子相遇會發(fā)生源滅反應p+p->3/。反應末態(tài)粒子的總動能與反應初態(tài)

粒子的總動能之差即為反應能。。為簡單起見，假設質子和反質子的動能可忽略。末

態(tài)三個兀?介子的總動能是一個常量，可用Dalitz圖表示總動能在三個兀"介子之間的分

配。如下圖所示，Dalitz圖是一個高為1的等邊三角形，P點到三邊的距離等于三個小

介子的動能占反應能的比率，即4=4,/。，表示第i個心介子的動能，

,=123。以底邊為X軸，底邊中點為原點，底邊上的中垂線為丫軸建立坐標系。求P

點可能的分布范圍邊界的表達式，用反應能Q、介子質量”。和真空中的光速，表

示。并討論若叫。=°時，P點的分布范圍邊界的表達式。

己知：真空中的光速c=2.998x|0"m/s,質子質量%=938.2720MeV/c：中性n介子

質量=134,9766MeV/c2,帶電/介子質量=139.57O2MeVd。

49.(2021?全國?高三競賽)如圖，一薄凹透鏡焦距為-20.00cm,一點光源。位于該透

鏡左邊并在透鏡主軸的正上方，P在該透鏡主軸上的投影距透鏡中心。點32.00cm,P

離光軸距離為0.30cm。透鏡的右邊40.00cm處有一曲率半徑為10.00cm的凹面鏡，其

反射面對著透鏡并垂百于主軸放置。試在近軸近似條件下，求最終點光源戶所成的像

點尸相對于2點的位置，說明此像是實像還是虛像？

尸

?

卜----------,+*■--------------H

32.00cm40.00cm

50.(2021?全國?高三競賽)(1)一寬束平行光正入射到折射率為〃的平凸透鏡左側平

面上，會聚于透鏡主軸上的點尸，系統(tǒng)過主軸的筱面如圖所示。已知凸透鏡頂點。到

廠點的距離為0.試在極坐標系中求所示平凸透鏡的凸面形狀，并表示成迎角坐標系

中的標準形式。

(2)在如圖所示的光學系統(tǒng)中，共軸地插入一個折射率為"'的平凹透鏡(平凹透鏡的

平面布凹面的右側，頂點在。、尸點之間的光軸上，到尸的距離為為'，%'<%)，使原

來匯聚到F點的光線經(jīng)平凹透鏡的凹面折射后平行向右射制。

(i)在極坐標系中求所插入的平凹透鏡的凹面形狀，并表示成直角坐標系中的標準形

式：

(ii)已知通過平凸透鏡后的匯聚光線與主軸的夾角。的坡大值為斗ML求入射平行圓

光束與出射平行圓光束的橫截面半徑之比。

競賽專題4光學

50題競賽真題強化訓練

一、解答題

1.(2019?全國?高三競賽)一近視患者不戴眼鏡時，只能看清距眼睛。=20cm以內(nèi)的

物體.他發(fā)現(xiàn)，如果在眼前匏近眼睛處放一帶小圓孔的卡片，通過小圓孔不戴眼鏡看

遠處物體時也能清晰些.

⑴若小惻孔的直徑為D,試根據(jù)幾何光學的原理，求出當近視患者直視遠處的一個物

點時，在眼睛的視網(wǎng)膜上產(chǎn)生的光斑的直徑.(提示：可將眼睛簡化成一個焦距，可調(diào)

的薄透鏡和一個可成像的視網(wǎng)膜，透鏡兩側的介質均為空氣，視網(wǎng)膜與透鏡的距熟為

b.)

(2)再考慮小孔的衍射效應，求小圓孔直徑最恰當?shù)拇笮?

【答案】⑴A/()=-/J(2)。=>/2.44〃)=0.49mm

【解析】

【詳解】

眼睛和眼鏡都是幾何光學成像元件，都是通過透鏡的折射成像的.對于題中的近視患

者，其眼鏡的遠點是20cm.

通過小孔，不戟眼鏡也能看清遠處的物體，是由于小孔限制了進入眼鏡的物光束的張

角，從而每個物點在視網(wǎng)膜上成一個發(fā)散較小的像斑，其光斑越小.感覺的像就越清

晰，圖示為近視眼觀察物體在有小孔與無小孔時成像的像斑大小的比較.

(I).當物點較遠，其入射光束近似為平行光束.小孔對眼K晶狀體焦點的張角為

K中人為看遠處物體時眼睛的焦矩.即眼睛的最大焦距.視網(wǎng)膜到眼睛晶狀

體的距離為b,從圖中可看出,?個物點在眼陋的焦點處可會聚成?個像點，但到視

網(wǎng)膜上則散成?個像斑，像斑的直徑為

△4=鄉(xiāng)*(〃-/“).

近視是因為眼軸的長度大于眼睛的最大焦距.當遠點的物剛好能夠在視網(wǎng)膜上成像

時,根據(jù)成像公式人齊齊可得“生代入像斑人小的公式，得到

A/=-?

oa

該像斑對小孔的張角是AC=3=S

ha

⑵考慮小孔的衍射，遠處物點經(jīng)小孔所成的艾里斑對小孔的張角為=2x1.22-.

在眼睛焦平面上的艾里斑和在視網(wǎng)膜上的艾里斑對小孔的張角是一樣的，因而.確定

出最適合孔徑的條件是2A4=的即可得到

D=Jl.44a2M0.49nun.

【點睛】

本題有兩個層面的問題需要了解：一是要明白眼睛是一個構造比較復雜的光學系統(tǒng)，

入射光線要經(jīng)過用膜表面上的折射和晶體前后表面上的多次折射，眼時角膜外的介演

是空氣，角膜與晶體之間和晶體與視網(wǎng)膜之間都充滿了折射率為1.336的液體.本題

為了使學生能進行分析計算，提出了一個簡化模型,眼球的折射作用簡化為一個凸透

鏡，且透鏡兩側的介質都是空氣，這些都與實際情況本同.此外，眼睛的焦距是可以

調(diào)節(jié)的,觀察者觀察遠處物體時，眼睛會自動地調(diào)節(jié)到能看清楚的最遠處，叫物距為

a處，所以解答中的眼睛系統(tǒng)就處于a處物體在視網(wǎng)膜上成像的狀態(tài).另外，作為競賽

學習者，熟悉塞本的光學儀器的原理及性能是必需的.二是利用光學儀器觀媒物體

時,其分辨率取決于艾里斑的大小,這與衍射相關，我們一定要清楚觀察到清晰像的

條件.

2.（201,唉國?高三競賽）在半導體元件的生產(chǎn)中，為了測定Si片上的SiQ薄膜厚

度，將SiQ?薄膜磨成劈尖形狀.如圖所示，用波長2=546Jim的綠光照射，已知

Si5的折射率為1.46,Si的折射率了3.42,若觀察到劈尖上出現(xiàn)了7個條紋間距，問

SiO：薄膜的厚度是多少？

【答案】0=1,31x10^111

【解析】

【詳解】

設圖中從上到卜,依次為空氣、Si（）2和Si,由于Si（）2的折射率”2小于Si的折射率，所

以光從空氣射入SiO?劈尖的上、下表面反射時都有半波損失，因此在棱邊（劈膜厚度

"=。處）為明條紋.當劈膜厚度d等于光在膜層中半波長的奇數(shù)倍時（或者膜層厚度

d的2倍等于光在膜層中波長的整數(shù)倍時）都將出現(xiàn)明條紋.所以明條紋的位置應滿

足

2d=—A,（=0,1.2,...）.

"2

因此相鄰明條紋對應的劈膜厚度差為

所以在劈膜開口處對應的膜層厚度為

D=7x—=1.31xl0-6m

2n,.

【點睛】

干涉發(fā)生在光程差極小的背景下，利用干涉圖像，可以測量一些微小尺度或一些微小

的變化.

物理學的研究是離不開應用，相對于宏觀狀態(tài)的應用，對微小量的測量對中學生而

言，似乎星得“鬲、大、上”一典,其“科研性''也要強一些,因此,它也就自然而然地

成了命題的熱點內(nèi)容.

3.（2019?全國?高三競賽）將一偏振片沿45°角插入對正交偏振微之間.自然光經(jīng)過它

們，強度減為原來的百分之幾？

【解析】

【詳解】

設偏振片1，鳥止交，則鼓終通過A的光強為

/：=（）（消光）.

若在片，鳥之間插入另一塊偏振片尸，P與片夾用為。（如圖所示），則坡終通過巴的

光強為

/；=!sin?。=/,cos20siire=-rsin?2,.

80

式中/。為入射光強，/分別為通過匕，/）后的光強.當（9=45。時，有

-^2,=!=12.5%

/（,8

偏振也是波所特有的現(xiàn)象之一，光的偏振的計算屬新大綱增加的內(nèi)容之一，應熟練掌

握有關偏振光的強度的計算.

4.（2019?全國?高三競賽）設一束自然光和平面偏振光的混合光通過一個可旋轉的理想

偏振片后，光強隨著偏振片的取向可以有5倍的改變.求混合光中各個成分光強的比例.

【答案】自然光占33.3%,偏振光占66.7%

【解析】

【詳解】

自然光透過偏振片后，光強變?yōu)樵瓉淼摹?；偏振光有一個可以消光的位置.因此，

5/1+4=5x34,

解得4=2/一即自然光占33.3%,偏振光占66.7%.

了解自然光與平面偏振光的通過偏振片的屬性，便能理解光強5倍變化的原因，進而

問題得解.

5.（2019全國?高三競賽）如圖所示，在。點有一個物屏，上面有一個發(fā)光小物體。

垂直于物屏有光軸，共釉放置一個焦距為/的透鏡，光心為C,在距離。點Z.處共軸

擺放一個平面鏡。當0C距離為*時，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過透鏡透射，平面鏡反射，再經(jīng)過透鏡

透射，發(fā)光物體在物屏處成了消晰像。向右移動C點到總處，再次在物扉處成了清晰

像，繼續(xù)向右移動C點到山處，又在物屏處成了清晰像。

（1）求出.\。，I2,.口；

（2）當透鏡位于M處時，向上移動物點距離A/n則在物屏上的像向什么方向移動了多

少距離。

【答案】（1）5=.九x,=H”內(nèi)=上史三遠：（2）將會向相反方向移動

?22

A//o

【解析】

【詳解】

（1）在經(jīng)過透鏡L折射之后的像h,作為平面鏡的物所成的像L再反射回透鏡成像回到

原物平面.需要滿足以下條件上與h或者甫疊在平而鏡上，或者都在無窮遠處。我們

現(xiàn)在畫出2,心，分別對應的光路圖

左圖

折射后的平行光被反射成像，右圖則是4,右的情況，物體經(jīng)過折射成像在平面鏡h.

反射之后成像在原物平面上，對應

J—+-?---=-1-

X1--Xf

的兩個解，整理得到

fx+/（￡-,v）=Lv-.v2

,r-Lx+幾=0

解得

_L±y]l；-4_fL

2

綜上列出

、=于，”±但竺L,

-22

（注意，有個先決條件是/>4/；但是如果不滿足的語根本不會有后而兩種成像情況，

所以不需要分類討論）

（2）當物體在七處時，我們知道經(jīng)透鏡第一次折射之后得到平行光，角度正比于物的大

小，反射后角度相同，再次折射之后在物平面成的像為倒立的實像，根據(jù)像比例關系

的傳遞可知與原物等大，故而當物體移動時，像將會向相反方向移動△兒

6.（201，?全國?高三競賽）如圖所示，一正六邊形入444人入，每邊均為一平而

鏡.現(xiàn)從A4中點M發(fā)出一條光線，此光線依次經(jīng)4兒，…，AA反射，最后

回到A4邊，試求光線出射角o的范圍

若將正六邊形444444換成正“邊形A&L4，口要求光線依然從例(A&中

點)發(fā)出，先后依次經(jīng)&A,AA，4A反射并回到AA邊，則試求。的范

圍.(以上范圍均用反三角函數(shù)表示)

.2n

"sin——

【答案】arcsin-j,〃—<0

斤+(〃+1)~+2〃(〃+l)cos一“

<arcsin-”一(〃為偶數(shù))

jn1+(〃-+2/7(H-1)CO5—

\，？

(7:-l)sin—(n+l)sin—

arcsin—j”—<0<arcsin_〃(〃為

7、,―/.、271

+(/?-1)2+2/,(?-1)cos—Vr+(〃+I)-+2〃(〃+l)cos-

奇數(shù))

【解析】

【詳解】

如圖所示,設A仞=4例=1，=由三角形的相似性可知各邊長度如圖所示，

從而有

6-5x

A,xMA,

T\-x

A\

寫\y~

x44-3x3x-24

0<.V<2

0<—<2

x

0<3.r-2<2

x

0<5.v-4<2

0<^-^<2

x

再由余弦定理，則MN=Vl+x+x2.

,,,介sin120°.

故sin6=A.貝n!]arcsin<0<arcsin

MN

若換成ML1同樣有不等式組，解得+方舐

sin180。-2n

而，sin^=-1=^

Y-2ACOS(180°-I+.r+2Acos—

n

.2n

〃sin——

arcsinn<0

于是有f2兀

"+(〃+1『+2〃(〃+1)cos—

n

<arcsin=5=(〃為偶數(shù))

2〃〃zn

ffi+2(-1)cos一

n

(/j-l)sin—

arcsin"----V0

Jn2+(0-1)+2n(o-l)cos—

//+l)sin—〃

Warcsin==(〃為奇數(shù))

2n

+(〃+if+2〃(〃+1)cos—

n

（注：本題也可采用鏡面作圖法解答）

7.（2019嚏國?高三競賽）（1）S系為相對觀察者靜止的慣性參照系.S系中存在以速

度高速運動的鏡子，觀察者看到鏡面與速度方向的夾用為8,一光線經(jīng)鏡面反射，如

圖1所示，入射角為a,反射角為/?.求a、0、夕間滿足的關系式

（2）有一橫截面為半橢圓的反射鏡，半橢圓的形狀為工二+1=1的橢網(wǎng)1沿長軸平分

4QR

的一半.現(xiàn)討論該鏡面上的反射情況.鏡而以沿長軸（平行于X軸）方向以速度］運

動，一足夠大平行光場照射到鏡面上，光與豎直方向呈8角（逆時針為正），如圖2所

①定義：反射光線與豎直方向的夾加小于90°的反射為有效反射.且已知鏡子前半面

（速度方向為前）的有效反射光線占前半面入射光線的:.求。和后半面有效光線占

后半面入射光線比例

②令8=,，平行光場單位長度光子密度為，b=常量.定義反射光的光子角密度

dN

勺磯=「7，。為反射光方向角，求4。）=〃⑼皿x時的方向角與豎直方向的夾角及

5de

⑼a時的方向角與豎直方向的夾角.（只考慮在地系同時在某瞬時反射的光

子）

【答案】（I）ta“=『」——（2）?彳=054②見解析

Q+/?；Jcosa-2/?v4

【解析】

【詳解】

（I）從波陣而加度考慮易知，沿鏡面方向速度對光反射無作用,直接考慮垂直鏡面方

向關系可為

sina______sin0sinasin/?「〃sina(l-

cosa-/7vcos/7+戶，'或l-/7“co$aI+/?.cos6‘或⑶'-0+幻c<)sa-2A.

其中月=EsinC,以上三式等價，推導從略.(能的化歸的關系均正確)

C

(2)①由尺縮效應，運動后鏡子的半長軸為R，==R

因此，在S系看來.鏡子是半圓柱面鏡，而要形成有效反射,其柱面上反射的臨界點

在反射部位的坡卜端(反射光向前平射，當有效反射光線占前半面入射光線的;時,

反射部位的反射面傾角為

6=900x二=60。

3

此時豎亙向上的反射光線的反射角夕二30。.

對前半面：考慮反射的臨界部位遵循的幾何條件，有

9=60。、a=60?！?30。，且g=2.逆=且

'224

sin(60°-^)sin30°

代入(I)中的公式有j々IJ解得夕=-8.21。

1-4cos(60°-(p)1+A，cos30°

sin(tf-1^1)sin(90°-0)(\\

后半面：臨界狀態(tài)時行"八，.刀=/。卬〃.q—二彳

cos(。一例)一月.sin。cos(90°一8)+0sin612)

解得6=37.6。.

,力.一sin夕

在鏡子系中平行光方向：(即3=-----===f解得”=22.6。

cos%/l-Q

dvv3

鏡而有部分無入射光線孑=-J；=-coi0'，v=O34/7

d.ry4

故地系有入射光的角度劣=arccot三=70.2°

R

所以有效入射光線比例；不=°$4

②由(I)結論：

22

sina(l-/?(sina)

tan(/?-<7)=

22

(I+/?sina)cosa+2sinaftt

-2tana(I+tana/3\

=tanft--------——；——一一①

2

(/?viana+l)--tana

光子反肘前后dN=d(/?sina)為=%Rcosada=%.即

cda

=%產(chǎn)/Rcosa.訪

tana

"渦4+—+--------------------—)+—!—

22tana1?1(tan2a+1)，仕」

2(andr/12lana

當心尸Ma時,，.2=1.30,4=27.8

當"(〃)=；"⑺M時，%=65.787445