數(shù)學(xué)建模微分方程與模糊數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)建模

微分與模糊專題專題板塊系列概率統(tǒng)計專題1優(yōu)化專題2模糊方法及微分方程專題3圖論專題4模糊方法及微分方程專題Part1:微分方程模糊微分Part2:模糊數(shù)學(xué)part1：微分方程一微分方程模型二差分方程模型在研究實際問題時,我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系，但卻能容易得出包含變量導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式，這就是微分方程.

在現(xiàn)實社會中，又有許多變量是離散變化的，如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價格等,而且離散的運算具有可操作性,差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁.不管是微分方程還是差分方程模型，有時無法得到其解析解(必要時，可以利用計算機求其數(shù)值解)，既使得到其解析解，尚有未知參數(shù)需要估計.而在實際問題中，討論問題的解的變化趨勢很重要，因此，以下只對其平衡點的穩(wěn)定性加以討論.如果則稱平衡點x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程

f(x)=0的實根x=x0為方程(4-1)的平衡點(或奇點).它也是方程(4-1)的解.設(shè)一維微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性由于在討論方程(4-1)的來代替.穩(wěn)定性時，可用一階微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性易知

x0也是方程(4-2)的平衡點.(4-2)的通解為關(guān)于x0是否穩(wěn)定有以下結(jié)論：①若則x0是穩(wěn)定的；②

若則x0是不穩(wěn)定的.這個結(jié)論對于(4-1)也是成立的.一階微分方程模型平衡點的穩(wěn)定性代數(shù)方程組的實根x=x0,y=y0稱為方程(4-3)的平衡點,記作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分肚方程駐組的紅平衡繳點的棗穩(wěn)定殲性如果則稱轟平衡柱點P0是穩(wěn)定的.微分歲方程舌組的地平衡殺點的屆穩(wěn)定加性下面栽給出鋒判別胖平衡蜂點P0是否倘穩(wěn)定赴的判別菊準則.設(shè)則當(dāng)p＞0且q＞0時，零平衡逃點P0是穩(wěn)威定的鄙；當(dāng)p＜0或q＜0時，解平衡脫點P0是不彎穩(wěn)定謝的.微分蚊方程刑組的族平衡哭點的瞧穩(wěn)定駝性穩(wěn)定別性模鬼型建模疑目的聞是研壓究時摧間充攤分長廉以后棟過程貞的變呆化趨柳勢——平衡翁狀態(tài)萄是否裹穩(wěn)定琴。不求服解微鎮(zhèn)分方敵程，堂而是協(xié)用微率分方耗程穩(wěn)精定性晉理論謹研究謎平衡紋狀態(tài)糖的穩(wěn)勁定性熟。再生共資源罰（漁谷業(yè)、跑林業(yè)釣等）洞與非襪再生稿資源攻（礦謝業(yè)等粱）再生滾資源與應(yīng)適哀度開取發(fā)——在持叔續(xù)穩(wěn)蘋產(chǎn)前輩提下妻實現(xiàn)厲最大殃產(chǎn)量伶或最匆佳效軍益。問題擦及車分陵析在捕撈雀量穩(wěn)蔥定的條映件下筋，如磨何控禾制捕宰撈使系產(chǎn)量功最大度或效榨益最步佳。如果擺使捕作撈量禁等于蛇自然迎增長辣量，漁場稍魚量絮將保脈持不笨變，則統(tǒng)捕撈左量穩(wěn)內(nèi)定。背景實例虹：梨捕魚老業(yè)的頂持續(xù)來收獲假設(shè)無捕移撈時貿(mào)魚的強自然軟增長勤服從Lo辰gi渴st已ic規(guī)律單位擋時間儀捕撈狂量與觀漁場澆魚量建成正扒比建模捕撈論情況倡下漁微場魚晚量滿番足r~固有紀增長寇率,N~最大獄魚量h(x)=Ex勾,席E~捕撈怠強度x(t)畢~漁場逆魚量寶，產(chǎn)量歉模型平衡點穩(wěn)定睛性判識斷x0穩(wěn)定蔑,豆可得捕到穩(wěn)簽定產(chǎn)辮量x1穩(wěn)定娘,漁場料干枯E~捕撈厲強度r~固有惕增長純率產(chǎn)量換模型圖解罪法P的橫羊坐標x0~平衡您點y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱幫坐標h~產(chǎn)量產(chǎn)量稼最大f與h交點Phmx0*=N/2P*y=E*x控制脫漁場傘魚量雕為最羅大魚袖量的藥一半產(chǎn)量饞模型蛾－最敬大產(chǎn)擋量效益咸模型假設(shè)魚銷僚售價榮格p單位歲捕撈學(xué)強度絞費用c單位白時間堂利潤穩(wěn)定窯平衡附點求E使R(E)最大漁場鐮魚量收入T=ph(x)委=pE跡x支出S=cE對于k階差宋分方缸程F(n;xn,xn+1,訪…包,xn+k)奇=爺0閣(慕4-己6)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+戲1)坊,…,x(n+k))呈=尋0濾,則稱xn=x(n)是差潛分方掀程(4兆-6束)的解,包含k個任嫌意常猾數(shù)的柴解稱損為(4別-6策)的通解,x0,x1,…,xk-1為已拍知時自稱為(4丸-6娘)的初始蛛條件,通解槐中的扇任意肚常數(shù)贈都由芽初始驅(qū)條件熔確定恥后的軟解稱抗為(4林-6風(fēng))的特解.差分居方程浮模型若x0,x1,…,xk－1已知，則形映如xn+k=g(n;xn,xn+1,戰(zhàn)…感,xn+k-1)的差攻分方毀程的眨解可醬以在恐計算稱機上糖實現(xiàn).若有農(nóng)常數(shù)a是差晃分方秘程(4容-6禾)的解，即F(n;a,a,…,a)粗=耐0,則稱a是差來分方去程(4陳-6榜)的平衡思點.又對傾差分贏方程(4擁-6盈)的任巡壽意由促初始跌條件笛確定狹的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱勝這個愉平衡撇點a是穩(wěn)定的.差分支方程泛模型一階灘常系犧數(shù)線擺性差某分方賄程xn+1+axn=b,(其中a,b為常欲數(shù)，曉且a≠-1,旋0刷)的通辨解為xn=C(-a)n+b/(a+掩1)易知b/(a+1麗)是其苗平衡書點，雖由上騎式知息，當(dāng)炊且僅避當(dāng)|a|＜1時，b/(a+1敘)是穩(wěn)歲定的宜平衡妨點.差分磁方程升模型二階同常系橋數(shù)線煌性差滔分方愛程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常病數(shù).當(dāng)r=園0時，仰它有晨一特尾解x*=互0；當(dāng)r≠較0，且a+b+浙1≠規(guī)0時，估它有瞧一特途解x*=r/(a+b+1綿).不管串是哪應(yīng)種情造形，x*是其促平衡軍點.設(shè)其難特征漿方程2+a+b=才0的兩速個根廢分別清為=1,=2.差分盡方程匠模型①男當(dāng)1,2是兩凱個不余同實樓根時便，二階崇常系肅數(shù)線堤性差亞分方程胃的通胞解為xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;②當(dāng)1,僅2=是兩則個相搞同實狗根時椅，二階軋常系鎮(zhèn)數(shù)線親性差刮分方程骨的通類解為xn=x*+舌(C1+C2n)n;則差分從方程則模型③當(dāng)1,法2=(c案os±isi錘n)是一鐘對共摟軛復(fù)潛根時皮，二階淡常系滔數(shù)線社性差傍分方程誓的通欠解為xn=x*+n(C1co腳sn+C2si窩nn).易知眾，當(dāng)啦且僅越當(dāng)特卡征方爺程的餓任一睬特征憲根|i|＜1時,平衡造點x*是穩(wěn)倘定的.差分缺方程回模型對于性一階傘非線垂性差跌分方堪程xn+1=f(xn)其平慕衡點x*由代牽數(shù)方痰程x=f(x)解出.為分氧析平職衡點x*的穩(wěn)菊定性,將上嘗述差沈分方降程近鼠似為見一階辦常系嚇數(shù)線葛性差維分方翁程時,上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.

因此當(dāng)時,x*是穩(wěn)定的；當(dāng)時,x*是不穩(wěn)定的.當(dāng)差分睜方程保模型問題供大關(guān)于求現(xiàn)象商品冊數(shù)量錯與價吸格的郊振蕩支在什禍么條滴件下服趨向速穩(wěn)定當(dāng)不條穩(wěn)定紛時政翼府能據(jù)采取荷什么釀干預(yù)渣手段匠使之叫穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應(yīng)求描述啞商品刺數(shù)量餅與價慈格的郊變化真規(guī)律數(shù)量稀與價駁格在侄振蕩市場趕經(jīng)濟胸中的獸蛛網(wǎng)件模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段徒商品觸數(shù)量刺；yk~第k時段渡商品瞞價格消費涂者的部需求渣關(guān)系生產(chǎn)候者的育供應(yīng)媽關(guān)系供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交仔點P0(x0,y0)撲~平衡敲點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…片=x0,凈yk+1,yk+2,損…=雪y0模型將建立設(shè)x1偏離x0P0是穩(wěn)命定平榴衡點P0是不賊穩(wěn)定爸平衡商點蛛杏網(wǎng)盒模租型穩(wěn)定賤性分猴析xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0x0P0fg曲線斜率穩(wěn)定醋性分朋析在P0點附斯近用沙直線螺近似此曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)觀定方倚程務(wù)模繩型方程恢模型放與蛛曾網(wǎng)模菠型的虎一致穩(wěn)定蒜性分禍析~商品抖數(shù)量珍減少1單位,價格縱上漲田幅度~價格忍上漲1單位,沖(下時敘段)供應(yīng)過的增欺量~消費壘者對受需求跡的敏叫感程企度~生產(chǎn)塔者對濱價格防的敏廳感程序度小,有利值于經(jīng)論濟穩(wěn)飼定小,有利稍于經(jīng)樣濟穩(wěn)押定xk~第k時段淘商品低數(shù)量義；yk~第k時段狗商品夫價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果頁解釋1.使盡量智小，直如=0以行宇政手淡段控幼制價逮格不注變2.使盡量梅小，竟如=0靠經(jīng)劇濟實互力控飄制數(shù)棒量不役變xy0y0gfxy0x0gf需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直結(jié)果猴解釋私－政澡府干乏預(yù)生產(chǎn)飼者根團據(jù)當(dāng)套前時吸段和磁前一汗時段幻玉的價柱格決桃定下蘭一時訴段的漁產(chǎn)量盲。生產(chǎn)遼者管兔理水滿平提唐高設(shè)供播應(yīng)函創(chuàng)數(shù)為需求吃函數(shù)秋不變二階遞線性條常系絮數(shù)差權(quán)分方忌程模型煌的推北廣方程通解(c1,c2由初怪始條饞件確柏定)1,2~特征根，即方程的根平衡倆點穩(wěn)蜘定的條表件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了x0為平看衡點研究餃平衡斜點穩(wěn)塞定，利即k,xkx0的條休件模型擺的推諷廣一模糊集合及其運算二模糊聚類分析三模糊導(dǎo)綜合且評判四模糊寺線性油規(guī)劃Pa垮rt勇2:模糊覽數(shù)學(xué)一、甘經(jīng)典囑集合主與特版征函窮數(shù)集合：具有某種特定屬性的對象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對局限于一定范圍內(nèi)進行討論的對象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的穩(wěn)每個濤對象u稱為U的元素。模糊光集合垮及其蹄運算在論域U中任意給定一個元素u及任意給定一個經(jīng)典集合A，則必有或者，用函數(shù)表示為：其中函數(shù)頃稱買為集冠合A的特繼征函朱數(shù)。模糊松集合奶及其旨運算羅素攻（Ru吩ss察el騾l）悖熔論：在一創(chuàng)個孤民島上崇唯一頑的一患個理宮發(fā)師揮，其慢工作餅是“技專門芝替那惰些不琴給自獅己刮揪胡子偶的人獻刮胡桿子”殿，現(xiàn)拴問理瀉發(fā)師群本人鵲該不損該給警自己批刮胡忍子？取論域U={全島刮胡子的人}，集合A={不給自己刮胡子的人}，用特征函數(shù)刻畫為問題：顯然理發(fā)師，那么理發(fā)師是否屬于A？模糊劑集合削及其務(wù)運算二、勁模糊呈集合督及其天運算美國控制論專家Zadeh教授正視了經(jīng)典集合描述的“非此即彼”的清晰現(xiàn)象，提示了現(xiàn)實生活中的絕大多數(shù)概念并非都是“非此即彼”那么簡單，而概念的差異常以中介過渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文“FuzzySets”,標志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。模糊拼集合放及其遵運算1、模抄糊子費集定義：設(shè)U是論域，稱映射確定了一個U上的模糊子集。映射稱為隸屬函數(shù)，稱為對的隸屬程度，簡稱隸屬度。模糊子集由隸屬函數(shù)唯一確定，故認為二者是等同的。為簡單見，通常用A來表示和。模糊杯集合準及其仆運算模糊騾子集求通常擴簡稱遮模糊欺集，必其表題示方新法有逼：（1）Zadeh表示法這里表示對模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個小數(shù)的集合”可表示為可省江略模糊社集合伍及其徑運算（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：模糊并集合前及其看運算2、模饞糊集謙的運定算定義遺：設(shè)A，B是論乘域U的兩油個模丙糊子醫(yī)集，責(zé)定義相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊蘆集合和及其倍運算幾個始常用騙的算侄子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環(huán)和、乘積算子模糊幟集合助及其絡(luò)運算（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子模糊揭集合講及其經(jīng)運算3、模喉糊矩牽陣定義：設(shè)稱R為模糊矩陣。當(dāng)只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當(dāng)模糊方陣的對角線上的元素都為1時，稱R為模糊自反矩陣。（1）模既糊矩筋陣間英的關(guān)綁系及踩運算定義：設(shè)都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊坊集合檔及其逐運算并：交：余：例：模糊誼集合購及其散運算（2）模展糊矩袋陣的降合成定義：設(shè)稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。例：模糊遲集合熄及其黎運算（3）模膛糊矩碰陣的嘩轉(zhuǎn)置定義：設(shè)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中。（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中模糊向集合示及其肢運算例：模糊黑集合菠及其庫運算三、袋隸屬叢函數(shù)省的確鈔定1、模興糊統(tǒng)碎計法模糊諒統(tǒng)計童試驗蟲的四挺個要歉素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運動?？梢愿采w也可以不覆蓋致使對A的隸屬關(guān)系是不確定的。模糊霉集合士及其謹運算特點庸：在益各次君試驗流中，逢是固繪定的告，而杜在筒隨機秧變動袋。模糊順統(tǒng)計典試驗燦過程毫：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對A的隸屬度：模糊沸集合哀及其戲運算2、指縱派方跪法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。3、其趟它方飛法德爾菲法：專家評分法；二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。主要有以下方法：相對比較法、擇優(yōu)比較法和對比平均法等。模糊唐集合句及其忽運算模糊墨聚類裳分析一、惕基本狼概念耳及定橫理模糊面聚類呢分析例：救設(shè)婦對辜于模孝糊等頓價矩綿陣模糊叫聚類醒分析模糊黨聚類致分析例：餐設(shè)有圓模糊搭相似鑰矩陣模糊必聚類飯分析二、囑模糊息聚類已的一著般步孔驟１、折建立阿數(shù)據(jù)辟矩陣模糊妥聚類五分析（1）標巖準差騰標準召化模糊念聚類乏分析（2）極差正規(guī)化（3）極差標準化（4）最大值規(guī)格化其中：模糊湖聚類環(huán)分析２、罪建立謝模糊索相似求矩陣（1）相傷似系匠數(shù)法①夾角余弦法②相關(guān)系數(shù)法模糊昆聚類渴分析（2）距談離法①Hamming距離②Euclid距離③Chebyshev距離模糊義聚類革分析（3）貼懇近度誘法①最大最小法②算術(shù)平均最小法③幾何平均最小法模糊巡壽聚類躁分析3、聚搞類并昆畫出海動態(tài)倆聚類氣圖（1）模濁糊傳彼遞閉粱包法步驟麗：模糊肺聚類汪分析模糊膚聚類尾分析解：由題緒設(shè)知甘特性培指標艦矩陣耀為采用摟最大引值規(guī)久格化牢法將生數(shù)據(jù)掃規(guī)格捷化為模糊意聚類江分析用最慘大最欺小法鴨構(gòu)造模糊穩(wěn)相似公矩陣逐得到用平消方法世合成傳央遞閉脂包模糊剝聚類市分析取，得模糊國聚類乖分析取鵝，仗得取，得模糊視聚類轉(zhuǎn)分析取，得取，得模糊邁聚類相分析畫出孫動態(tài)束聚類眾圖如腿下：0.70.630.620.531模糊碑聚類胸分析模糊蹤蝶聚類愧分析妨的簡族要流傲程:YN模糊給模式滑識別模式識別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標準模式，稱為標準模式庫；二是