離散數(shù)學(xué) 第章 圖的基本概念

計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(上)

第2編

圖論第三章圖的基本概念3.1圖的概念與性質(zhì)

一、圖的定義與表示1。圖由結(jié)點(diǎn)的集合V和邊的集合E組成的有序?qū)?lt;V,E>稱為圖G。2。有向圖、無(wú)向圖每條邊都是有向邊的圖稱為有向圖，每條邊都是無(wú)向邊的圖稱為無(wú)向圖，否則稱為混合圖。3。孤立點(diǎn)、零圖不與其它結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的結(jié)點(diǎn)稱為孤立點(diǎn)，全部由孤立點(diǎn)構(gòu)成的圖叫做零圖。4。邊的重?cái)?shù)具有相同始點(diǎn)和終點(diǎn)的邊稱為平行邊，平行邊的條數(shù)稱為邊的重?cái)?shù)。5。n階圖具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的圖稱為n階圖，具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和m條邊的圖稱為(n,m)圖6。結(jié)點(diǎn)的度數(shù)圖中與某結(jié)點(diǎn)v相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)(自回路算兩條邊)，稱為該結(jié)點(diǎn)的度數(shù)，記作deg(v)。其中以v為始點(diǎn)的邊數(shù)稱為出度deg+(v)，以v為終點(diǎn)的邊數(shù)成為入度deg-(v)因此有圖G中結(jié)點(diǎn)的最大、最小度數(shù)記做Δ(G)、δ(G)二、圖的基本概念與握手定理1。握手定理圖G中所有結(jié)點(diǎn)的度數(shù)之和等于邊數(shù)的二倍。[推論1]在任何圖中，度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)數(shù)必為偶數(shù)。[推論2]在有向圖中，所有結(jié)點(diǎn)的入度之和等于所有結(jié)點(diǎn)的出度之和。例題1：已知圖G中有1個(gè)1度結(jié)點(diǎn)，2個(gè)2度結(jié)點(diǎn)，3個(gè)3度結(jié)點(diǎn)，4個(gè)4度結(jié)點(diǎn)，則G的邊數(shù)是

。解：例題2：設(shè)圖G=<V,E>，則下列結(jié)論成立的是

。A)B)C)D)例題3：設(shè)簡(jiǎn)單連通無(wú)向圖G有12條邊，G中有2個(gè)1度結(jié)點(diǎn),2個(gè)2度結(jié)點(diǎn)，3個(gè)4度結(jié)點(diǎn)，其余結(jié)點(diǎn)度數(shù)為3，求G中有多少個(gè)結(jié)點(diǎn)。試作一個(gè)滿足該條件的簡(jiǎn)單無(wú)向圖。解:設(shè)G中有x個(gè)結(jié)點(diǎn)，則3度的結(jié)點(diǎn)有x-7。根據(jù)握手定理有，解得,故G中有9個(gè)結(jié)點(diǎn)。滿足條件的圖如下：2。簡(jiǎn)單圖不含平行邊和環(huán)(自回路)的圖稱為簡(jiǎn)單圖。在簡(jiǎn)單圖中，任何結(jié)點(diǎn)的度數(shù)都小于等于n-1。這是判斷一個(gè)度數(shù)序列能否構(gòu)成簡(jiǎn)單圖的主要依據(jù)。3。二部圖若將無(wú)向圖G的結(jié)點(diǎn)集分為兩部分，而每一部分中任何兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間都沒有邊相連，則G稱為二部圖。4。完全圖每一對(duì)結(jié)點(diǎn)之間都有邊相連的無(wú)向簡(jiǎn)單圖稱為無(wú)向完全圖，每一對(duì)結(jié)點(diǎn)之間都有方向相反的兩條邊相連的有向簡(jiǎn)單圖稱為有向完全圖。具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的無(wú)向完全圖Kn的邊數(shù)為：例題4：設(shè)圖G是有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的無(wú)向完全圖，則G的邊數(shù)為

。A)n(n-1)B)n(n+1)C)D)C5。正則圖若無(wú)向簡(jiǎn)單圖G中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)都為k，則G稱為k-正則圖。6。賦權(quán)圖若圖G中的每一條邊都有一個(gè)表示長(zhǎng)度的實(shí)數(shù)，則圖G稱為賦權(quán)圖或網(wǎng)絡(luò)。圖G為無(wú)向圖稱為無(wú)向賦權(quán)圖，圖G為有向圖稱為有向賦權(quán)圖。7。補(bǔ)圖由圖G中的所有結(jié)點(diǎn)和構(gòu)成完全圖需添加的邊所組成的圖稱為G的補(bǔ)圖，記作。例題5：已知圖的結(jié)點(diǎn)集以及圖G和圖D的邊集合分別為：試作圖G和圖D，寫出各結(jié)點(diǎn)的度數(shù)，回答圖G、圖D是簡(jiǎn)單圖還是多重圖？

解：adad

bcbc

圖G圖D圖G：圖D：圖G不是簡(jiǎn)緊單無(wú)租向圖肚，圖D是簡(jiǎn)應(yīng)單有信向圖蔽。8、子懲圖1。已籌知圖G=邀<V輩,E粉>，如果則G’系=<娃V’瓜,E辮’>稱為G的子激圖。2。如蘭果識(shí)，則感稱G’為G的真桑子圖排。3。如辜果雷，則注稱G’為G的生仁成子勵(lì)圖。三、鄰圖的腐同構(gòu)如果體圖G中的勉結(jié)點(diǎn)揪集V與圖G’中的宰結(jié)點(diǎn)穿集V’具有一一駱對(duì)應(yīng)立的關(guān)芝系，洞并且眼對(duì)應(yīng)偵的邊劍都具偷有相玻同的績(jī)重?cái)?shù)唱，則稱G與G’同構(gòu)宰，記澇作輛。因此踏，兩懸圖同父構(gòu)必末須滿辜足下尼列條悔件：⑴結(jié)點(diǎn)筑數(shù)相責(zé)同，⑵邊數(shù)杏相同征，⑶度數(shù)竹相同惑的結(jié)屆點(diǎn)數(shù)末相同釋。上述斗條件慌是兩拋圖同固構(gòu)的紀(jì)必要展條件秋，但營(yíng)不是對(duì)充分算條件，塘也就瘡是說幻玉，兩蟲個(gè)圖抓即使鄭滿足丈上述辣條件線也不孝一定飾同構(gòu)。寶如果命把其杯中一體個(gè)圖瀉中的硬結(jié)點(diǎn)理重新丑排列摩，邊腫跟著懷結(jié)點(diǎn)移為動(dòng)，庸并且搜可以邀任意聰彎曲罷，能悲夠與葵另一匯圖完毛全重合稻，那澆么這洗兩個(gè)五圖是禁同構(gòu)麗的。四、那通路牌與回暈路1。通菠路、義回路在G=涉<V倡,E遇>中，漿如果慌從結(jié)伯點(diǎn)v0依次單經(jīng)過至邊和鼻結(jié)點(diǎn)可嚷以到僚達(dá)vn，則稱v0與vn間存擱在通祥路，厘或v0與vn連通，府記作v0～vn，如v0＝vn則稱筒為回走路。柱通路溉經(jīng)過的邊昏數(shù)稱瞎為通茶路的您的長(zhǎng)梳度。2。簡(jiǎn)某單通苦路、算簡(jiǎn)單累回路沒有儲(chǔ)重復(fù)本邊的筒通路戶稱為通簡(jiǎn)單驅(qū)通路企，沒閱有重射復(fù)邊的回苦路稱絞為簡(jiǎn)獻(xiàn)單回騙路。3?；卤就▽Ｂ?、牽基本驚回路沒有盟重復(fù)花結(jié)點(diǎn)季的通斬路稱青為基有本通皇路，妻沒有怎重復(fù)結(jié)點(diǎn)賊的回壓路稱酸為基壁本回團(tuán)路。例題6：設(shè)G如圖賽，已廣知通個(gè)路⑴⑵⑶⑷試回懼答它弟們各蜂是簡(jiǎn)乘單通騾路、迫簡(jiǎn)單鋸回路孟、基右本通阿路和基袖本回方路。解：⑴是簡(jiǎn)波單通援路，西基本叢通路沙，⑵是簡(jiǎn)猜單回次路，跨但不是基佳本回袋路，⑶是簡(jiǎn)傻單回陶路，不基本假回路嗽，⑷是簡(jiǎn)率單通路，放但不悅是基刪本通喊路。v1v2穴v括5v3鐵v4一、促連通錫性若在社無(wú)向?qū)DG中，王任何絮兩個(gè)楚不同致的結(jié)南點(diǎn)都賭是連諒?fù)ǖ膭t稱G是連導(dǎo)通圖窗。無(wú)向有圖中盯結(jié)點(diǎn)爭(zhēng)的連關(guān)通關(guān)辦系具代有自笑反性賢、對(duì)薪稱性玻和傳遞錫性，孤所以扯結(jié)點(diǎn)頃的連勵(lì)通關(guān)絡(luò)系是脅等價(jià)堵關(guān)系沈。若圖G不是同連通錢圖，好但如逼果把G分成魯幾個(gè)溜部分步，每一個(gè)響部分糾都是界連通噸的，介則每俱一個(gè)靠部分護(hù)稱為錄一個(gè)塌連通曬子圖，燙每一凍個(gè)連揚(yáng)通子簡(jiǎn)圖G’稱為G的一范個(gè)連煩通分辦支。G中相矮互連糾通的礙結(jié)點(diǎn)顛一定沿在同溉一連餐通分鼻支中百。無(wú)向伙圖G的連尊通分懷支數(shù)臭記作W(管G)。3.華2圖的蔥連通耐性例如G：G不是犯連通們圖，庫(kù)但可劇以劃均分為遇三個(gè)疾連通傅分支哭。是一社個(gè)連麗通分獎(jiǎng)支，泊是一燦個(gè)連通分衣支，臺(tái)是一妄個(gè)連嫂通分擁支。稱為V的一嬸個(gè)劃價(jià)分。二、挎有向這連通獄圖1。強(qiáng)純連通賺圖、書單側(cè)揀連通克圖、孫弱連腿通圖在有攻向簡(jiǎn)常單圖D中，(1司)若任強(qiáng)何兩稱個(gè)結(jié)澇點(diǎn)間挖都可奸以到腿達(dá)則領(lǐng)稱為淹強(qiáng)連撿通圖(2趙)若任第何兩籠個(gè)結(jié)撒點(diǎn)間鉤，總杏有一向個(gè)結(jié)贏點(diǎn)可快以到祥達(dá)另良一個(gè)結(jié)摘點(diǎn)，糟則稱蹤蝶為單任側(cè)連盼通圖袋，(3剛)若在弓不考霸慮邊寄的方阿向的當(dāng)情況煮下圖鈔是連貨通的危，則走稱為片弱連伴通圖債。連通呈圖舉虎例強(qiáng)連對(duì)通圖綱單維側(cè)連矛通圖初弱連聚通圖2。兩喘個(gè)定豬理[定理6]一個(gè)平有向棋圖是瘡強(qiáng)連魂通的老充分稻必要召條件態(tài)是存宵在一拿條至揀少經(jīng)鑰過每喝個(gè)結(jié)丟點(diǎn)一志次的拘回路梯。[定理7]在有夜向圖央中，巷它的援每個(gè)贈(zèng)結(jié)點(diǎn)足必位墳于且胞僅位扎于一店個(gè)強(qiáng)善分圖消中。例題7：設(shè)V＝{a,b,c,d},與V能構(gòu)垮成強(qiáng)找連通涼圖的仆邊集E＝(振)(A莖)鐵{<a,b>,做<a,c>,扮<d,a>,捕<b,d>,皺<c,d>}(B份)清{<a,d>,劈燕<b,a>,棵<b,c>,臥<b,d>,堪<d,c>}(C宵)概{<a,c>,嶺<b,a>,燥<b,c>,屈<d,a>,案<d,c>}(D懷)愁{<a,d>,艘<b,a>,弓<b,d>,攏<c,d>,冤<d,c>}三、生連通塑度1。點(diǎn)寫割集在無(wú)營(yíng)向連黃通圖G=類<V創(chuàng),E怠>中，風(fēng)若刪慎除結(jié)察點(diǎn)集V’紹(包括所有滅與V’中的圍結(jié)點(diǎn)慨關(guān)聯(lián)盾的邊)，得趟到子涌圖G－V’。若V’是使G－V’不連姓通的戚最小本點(diǎn)集兩，則仿稱V’是G的一撤個(gè)點(diǎn)割集己。若V’中只形有一息個(gè)結(jié)晨點(diǎn)則段稱為譯割點(diǎn)堅(jiān)。換句詞話說刮，點(diǎn)進(jìn)割集箏是指摔使圖G從連拴通圖地變成藍(lán)不連通圖禿需要修刪除驗(yàn)的最受小點(diǎn)遷集。例如聯(lián)，G：刪除v1后G1刪除v3后G2刪除v1,v3后G3因此段，{v1}不是惡點(diǎn)割肝集，W(末G1)=輸1，{v3}是點(diǎn)雨割集劇，又憂是割雨點(diǎn)，W(垃G2)=色2{v1,v3}不是杠點(diǎn)割溫集，豈因?yàn)檗q它不享是最呼小點(diǎn)放集。例題8：給定罩圖G，則圖G的點(diǎn)然割集是。2。邊扇割集在無(wú)放向連乞通圖G=注<V拋,E莖>中，哪若刪焰除邊手集E’，得到子圖G－E’。若E’是使G－E不連宗通的干最小栽邊集敬，則飄稱E’是G的一蓋個(gè)邊其割集肥。若E’中僅英一條剩邊則執(zhí)稱為咳割邊步。換句物話說映，邊衛(wèi)割集表是指獵使圖G的從辛連通胸圖變卷成不連通組圖需現(xiàn)要?jiǎng)h貸除的備最小區(qū)邊集碌。例如龍，G：刪除信邊(v1,v2)后G1刪除(v1,v2),醉(v2,v3)后G2刪除(v3,v5)后G3因此判，{(破v1,v2)}不是練邊割節(jié)集，W(攤G1)=燈1，{(沖v1,v2),奸(v2,v3)}是邊大割集徐，W(傳G2)=致2，{(康v3,v5)}是邊靈割集氏，也語(yǔ)是割屈邊，W(把G3)=最2。3。連獻(xiàn)通度(一)點(diǎn)連城通度若G是無(wú)航向連恐通圖泰，V’是G的結(jié)肺點(diǎn)數(shù)本最少罪的點(diǎn)截割集或G－V’是平厲凡圖(孤點(diǎn))，則V’中的箏結(jié)點(diǎn)城數(shù)稱跟為G的點(diǎn)連通皂度，蔑記作森。因此彎，(1甘)若G是平炮凡圖向，則V’功=φ，，(2姓)若G是完禍全圖不，去禮掉n-套1個(gè)結(jié)郊點(diǎn)才畝能成階為平寺凡圖，舌所以會(huì)，(3鬼)若G存在醉割點(diǎn)釀，則似，(4賴)若G是非顧連通替圖，縣則戰(zhàn)。(二)邊連廳通度若G是無(wú)虜向連泉通圖莫，E’是G的邊腦數(shù)最嘩少的屬邊割蓮集，則E’中的半邊數(shù)摟稱為G的邊舒連通陜度，歌記作竊。因此訓(xùn)，(1活)若G是平看凡圖覺，則E’須=φ，，(2辱)若G存在雙割邊硬，則祖，(3敗)若G是非灣連通糕圖，趣則喉。(三)之間末的關(guān)撿系在無(wú)抖向圖G中，忽一定工有：即點(diǎn)返連通孫度不居大于坐邊連唐通度洪，邊孤連通幕度不赴大于惡結(jié)點(diǎn)的顫最小上度數(shù)查。3.擺3圖的究矩陣歡表示一、引無(wú)向烈圖的愧鄰接躺矩陣對(duì)于有無(wú)向誘圖G=裙<V烘,E顧>，若|V勵(lì)|=各n，作n階方多陣A(奴G)其中塌的杏表即示擔(dān)相黃關(guān)聯(lián)瀉的邊帽數(shù)。例如春圖G如下盟，可以記看出與，A(柔G)是對(duì)矩稱矩盼陣。主對(duì)透角線混上的導(dǎo)元素北表示謠各結(jié)美點(diǎn)的酒自回原路數(shù)歸。二、丹有向漫圖的寧鄰接齡矩陣對(duì)于昂有向歡圖D=兼<V紋,E德>，若|V鉗|=組n，作n階方疤陣A(促D)其中格的部表搞示從局的邊腳數(shù)。從下貝例中煤可以斷看出A(偵D)不再墳是對(duì)日稱矩丸陣。矩陣點(diǎn)中所瓜有元聞素之裕和等獅于有泰向圖弄中的管邊數(shù)禮。第革行元所素之碼和表凝示結(jié)說點(diǎn)桿的瓶出度扛，第蜂列元材素之創(chuàng)和表馬示結(jié)道點(diǎn)澤的春入度療，圖D：例題9：設(shè)有燦向圖D＝<V,E>的鄰布接矩盼陣為A(D