高中數(shù)學(xué)-1.3.1　利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)課件設(shè)計(jì)

我們知道正弦曲線是上、下起伏的波浪線，實(shí)際上多數(shù)函數(shù)的圖象都是如此，它們的單調(diào)性交替變化．有些函數(shù)的單調(diào)性通過(guò)我們所學(xué)的基本方法能夠判斷，多數(shù)函數(shù)非常困難甚至無(wú)法解決．問(wèn)題1：如果一條曲線是逐漸上升的，那么曲線上各點(diǎn)的切線的斜率有何特點(diǎn)？提示：從直觀上看切線是上升的，切線的斜率都為正數(shù)．問(wèn)題2：切線斜率的正負(fù)，能說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的符號(hào)嗎？提示：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線斜率的符號(hào)就是導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．問(wèn)題3：可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究較為復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性嗎？提示：可以．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，

(1)如果在(a，b)內(nèi)

，則f(x)在此區(qū)間是增函數(shù)；

(2)如果在(a，b)內(nèi)，

，則f(x)在此區(qū)間是減函數(shù)．f′(x)>0f′(x)<01．區(qū)間(a，b)也可以是(－∞，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b)．

2．在某個(gè)區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f′(x)＝0，不會(huì)影響函數(shù)f(x)在包含這些特殊點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．例如函數(shù)f(x)＝x3在定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足f′(x)>0.3．如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)y＝f(x)是常函數(shù)，不具有單調(diào)性．[例1]判斷y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性．[精解詳析]∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)當(dāng)a>0時(shí)，y′≥0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)a<0時(shí)，y′≤0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；(3)當(dāng)a＝0時(shí)，y′＝0，函數(shù)在R上不具備單調(diào)性．[一點(diǎn)通]

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有兩種：

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，在定義域內(nèi)任取x1，x2，且x1<x2，通過(guò)判斷f(x1)－f(x2)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性；

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：①求f′(x)；②確定f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)；③得出結(jié)論．1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是(

)A．f(x)＝sinx

B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝lnx－x解析：∵x>0，∴(x·ex)′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)>0，∴f(x)＝x·ex

在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．答案：B[一點(diǎn)通]

(1)在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)通過(guò)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

(2)當(dāng)單調(diào)區(qū)間有多個(gè)時(shí)，不要寫(xiě)成并集．答案：C4．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)y＝xex；(2)y＝x3－x.解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令y′>0得x>－1.令y′<0得x<－1，因此y＝xex的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，＋∞)，遞減區(qū)間為(－∞，－1)．[一點(diǎn)通]已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題．一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)遞增(遞減)，轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間Ⅰ上恒成立，然后可借助分離參數(shù)等方法求出參數(shù)的取值范圍．解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)在R上為減函數(shù)，∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.答案：A

1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的方法如下：

(1)求f(x)的定義域；

(2)求出f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)．

2．當(dāng)函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同的區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，不能用“∪”連接，要用“，”分開(kāi)或用“和”連接．