復(fù)變函數(shù)與積分變換第六章共形映射

第三節(jié)

唯一決定分式線性映射的條件一、分式線性映射的確定二、分式線性映射對圓域的映射三、典型例題四、小結(jié)與思考一、分式線性映射的確定分式線性映射

w

=

az

+

b

(ad

-

bc

?

0)cz

+

d含有三個獨(dú)立的常數(shù),只需給定三個條件就能決定一個分式線性映射.定理在w

平面上也任意給定三個相異的點(diǎn)w1

,w2

,w3

,

那末就存在唯一的分式線性映射,將zk

(k

=1,2,3)依次映射成wk

(k

=1,2,3).在z

平面上任意給定三個相異的點(diǎn)z1

,z2

,z3

,k所以w

-wkw

-

w3證cz

+

dkz

(k

=

1,2,3)

依次映射成

w

=

azk

+

b

(k

=

1,2,3)k

kcz

+

d設(shè)

w

=

az

+

b

(ad

-

bc

?

0)

將相異點(diǎn)由此得w

-

w1

:

w3

-

w1w

-

w2

w3

-

w2(k

=

1,2)=

(z

-

zk

)(ad

-

bc)

,(cz

+

d

)(cz

+

d

)k(k

=

1,2)=

(z3

-

zk

)(ad

-

bc)

,(cz3

+

d

)(czk

+

d

)=

z

-

z1

:

z3

-

z1

.z

-

z2

z3

-

z2重復(fù)上述步驟,仍得到相同形式的結(jié)果.所以三對對應(yīng)點(diǎn)可唯一確定一個分式線性映射.[證畢]唯一性:cz

+

d如果另一映射

w

=

az

+

b

(ad

-

bc

?

0)

也將cz

+

dkk

kz

(k

=

1,2,3)

依次映射成

w

=

azk

+

b

(k

=

1,2,3)二、分式線性映射對圓域的映射1.

問題:

圓域內(nèi)部被映射成什么區(qū)域?CC.z1

,z2為C內(nèi)任意兩點(diǎn).z2.

.z1.

w1.

w2.Q假設(shè):z1z2

fi

圓弧w1w2

,且w1在C

外部,w2在C

內(nèi)部.

C上某點(diǎn)Q

?z1z2上某點(diǎn)與一一對應(yīng)性相矛盾.結(jié)論:

在分式線性映射下,

C的內(nèi)部不是映射成C

的內(nèi)部便映射成

C

的外部.判別方法:方法1

在分式線性映射下,如果在圓周C內(nèi)任取一點(diǎn)

z0

,若

z0的象在

C

內(nèi)部,

則C的內(nèi)部就映為C

的內(nèi)部;

若

z0的象在

C

外部,

則C的內(nèi)部就映為C

的外部.方法2在C上取三點(diǎn)z1

,z2

,z3

,若繞向:z1

fi

z2

fi

z3

,與C

上繞向w1

fi

w2

fi

w3

相同.則C的內(nèi)部就映為

C

的內(nèi)部.3w

..

w1.w2CCz1

..

z2.

z3CCz1

fi

z2

fi

z3

,與C

上繞向w1

fi

w2

fi

w3

相同.則C的內(nèi)部就映為

C

的內(nèi)部.

若繞向相反,

則C的內(nèi)部就映射為

C

的外部.3w

..w2.w1z1

..

z2.

z3方法2在C上取三點(diǎn)z1

,z2

,z3

,若繞向:CC.w2.w13w

.z1

..

z2.

z3z1

fi

z2

fi

z3

,與C

上繞向w1

fi

w2

fi

w3

相同.則C的內(nèi)部就映為

C

的內(nèi)部.

若繞向相反,

則C的內(nèi)部就映射為

C

的外部.方法2在C上取三點(diǎn)z1

,z2

,z3

,若繞向:分式線性映射對圓弧邊界區(qū)域的映射:當(dāng)二圓周上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域.當(dāng)二圓周上有一點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所圍成的區(qū)域.當(dāng)二圓交點(diǎn)中的一個映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.(z)y.

.

.-

1

o

1

x三、典型例題(w)ou分式線性映射.求將上半平面Im(

z)

>

0映射成單位圓

w

<

1的-

1..1v.

i解在

x軸上任取三點(diǎn)

z1

=

-1,

z2

=

0,

z3

=

1

使之依次對應(yīng)于

w

=

1上的三點(diǎn)

w1

=

1,

w2

=

i,

w3

=

-1例1iz

-

1化簡得:

w

=

z

-

i

.注意:本題中如果選取其他三對不同點(diǎn),也能得出滿足要求但不同于本題結(jié)果的分式線性映射.可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不唯一,有無窮多個.由于z1

fi

z2

fi

z3

與w1

fi

w2

fi

w3

繞向相同,所求分式線性映射為w

-1

:-1

-1

=z

+1

:1

+1

,w

-

i

-

1

-

i z

-

0 1

-

0另解:

設(shè)實(shí)軸映射成單位圓周,上半平面某點(diǎn)z

=l

映射成圓心w

=0那么z

=l必映射成w

=￥z

-

l則所求映射具有下列形式:

w

=

k(

z

-

l

)

k為常數(shù).(z)oxyv

(w)o

.u(￥

).

l.

l由于z為實(shí)數(shù)時,

w

=

1,z

-

lz

-

l

=

1,z

-

l

z

-

l

w

=

eiq

z

-

l

, (Im(l)

>

0)上半平面映為單位圓的分式線性映射的一般形式說明:

取

l

=

i,q

=

-π

,

得

w

=

z

-

i

.2

iz

-

1z

+

i若取

l

=

i,q

=

0

,

得

w

=

z

-

i

.所以

w

=

k

z

-

l

=

k

=

1,

即k

=

eiq

(q為任意實(shí)數(shù)).例2

求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓w

<1,且滿足條件w(2i)=0,

arg

w

(2i)=0的分式線性映射.解由條件w(2i)=0

知:z

=2i

映射成w

=0.依上題結(jié)論得z

+

2iw

=

eiq

(

z

-

2i

),,(z

+

2i)24i因?yàn)?/p>

w￠(z)

=

eiq4所以

w￠(2i)

=

eiq

(-

i

).4arg

w￠(2i)

=arg

eiq

+arg(-

i

)z

+

2i從而所求映射為w

=i(z

-2i

).2=

q

+

(-π

)

=

0,2所以

q

=

π

.(w)vu(￥

)o

.oxy(z)解w

=

0,設(shè)z

=a

fiw

=

￥

.a則z

=1

fi.a.

1a式線性映射.求將單位圓

z

<

1

映射成單位圓

w

<

1的分例3az

-

1w

=

k

z

-

aaz

-

1=

ka

z

-

a1

-

az=

k￠z

-

a

, (k￠=

-ka

)因?yàn)?/p>

z

=

1

?

w

=

1,

w

=

k￠

z

-

a

,1

-

az1

-

a1

-

a所以

w

=

k￠=

1.因此可設(shè)所求分式線性映射為:又因?yàn)?/p>

1

-

a

=

1

-

a

，所以

k

=

1,即

k

=

eiq

.故所求分式線性映射為:z

-

a1

-

azw

=

eiq(q為任意實(shí)數(shù))將上半平面映為單位圓的常用映射例4

2

2

w￠

1

>0的分式線性映射.

求將單位圓映射為單位圓且滿足條件w

1

=0,解2由條件w(1)=0

知:2z

=1映射成w

=0.依上題結(jié)論得2

-

zw

=

eiq

2z

-

1.3

2

由此得w￠

1

=eiq

4

,2

-

z所以所求映射為w

=2z

-1.

2

因?yàn)?/p>

w￠

1

>

0,

則

w￠

1

為正實(shí)數(shù),

2

2

故arg

w￠

1

=q

.得q

=0.求將

Im(

z

)

>

0

映射成

w

-

2i

<

2且滿足條件w(2i

)=2i,arg

w￠(2i

)=-π

的分式線性映射.2為將Im(z)>0

映射成分析(z)oo

.(z

).

2iow

-2i

<2可考慮:(w)上半平面Im(

z)

>

0單位圓域z

<

1單位圓域z

-

2i

<

2例5平移伸長解

如圖示(z)o.

2i(z

)z

=

z

+

2iz

-

2iow

=

2(i

+

z

)(w)o

.z

+

2iw

=

2(1

+

i)

z

-

2則所求映射為:.

2iz

=

eiq

z

-