數(shù)學 第四章 課件 微商與微分

第四章微商與微分

微商概念來自一個連續(xù)量隨另一個速度量變化的“瞬時”變化率?！?微商的概念及其計算例1變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動求非均勻棒的密度（一點的線密度均勻棒的密度單位長的質量非均勻：建立坐標系0給出質量函數(shù)取棒的一段到這段的質量這段上的平均密度越小，就越接近于點的線密度因而例2定義4.1設函數(shù)在點附近有定義。對于自變量在點的任一改變量，函數(shù)在該點的相應改變量為若極限存在，則稱函數(shù)在點可導，并稱極限值為在點的微商或導數(shù)，記為或或說明，微商是一種特殊的極限1微商的定義

上面兩個例子：雖然問題的具體意義不同，但僅從數(shù)量方面來看，它們都是利用函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比（即函數(shù)的平均變化速度）的極限來刻畫這個函數(shù)在一點的變化速度，抽象化的。求在它們之比為令取極限，即得函數(shù)在的微商給自變量以改變量，函數(shù)有對應的改變量例3的微商。求在點的微商。時，函數(shù)有改變量它們之比為注意到第三章第三節(jié)講到的兩個重要的極限之一，就是因此

當給自變量以改變量例4LQTROAByx為曲線上點在處的法線方程為

處切線（如果存在）的斜率。由此：曲線切線方程為2微商的幾何意義①切線:割線的極限位置——切線位置開始割線的極限位置——切線位置①切線:割線開的極蛋限位斑置—銅—切勻線位體置①志切春線踢:割線頓的極辜限位然置—催—切傻線位霉置①銹切鋸線蠅:割線卡的極邪限位殺置—肆—切岔線位判置①溜切源線疾:割線殺的極牽限位潔置—化—切林線位歇置①煉切蹄線懶:割線煌的極淹限位胡置—元—切亞線位滅置①誦切達線食:割線乓的極掌限位乏置—向—切采線位綁置①趟切茶線恐:割線替的極鎮(zhèn)限位估置—饅—切雪線位威置①省切壤線兵:割線貢的極綢限位遞置—嶼—切告線位坦置①穴切普線艱:割線毫的極俱限位柔置—級—切決線位嫌置①純切幫線浴:割線拴的極勁限位捕置—鴨—切容線位注置①粱切進線油:求曲林線在對川應于處的鞏切線風方程舒和法慶線方播程解：故在對于處的切線方程和法線方程分別為，即，即例5在上窯面的術定義沈4.杏1中疏，考旨慮和便有厲定義逢：或寫撿成和左導數(shù)定義4.1'右導數(shù)函數(shù)在點可導在點的左，右導數(shù)存在且相等。顯然：！給廣出了余證不掩可導自的有起效方臭法定義4.2`若在開區(qū)間內每一點都可導，則稱函數(shù)內可導.在開區(qū)間在內可導。且若都存在，則稱上可導。在注：或上可導，則對每個都唯一對應數(shù)從而定義了一個新函數(shù)，稱為在設的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。另外：3.趨可霉導與倡連續(xù)汗的關農(nóng)系定理寶4.兇1證:設在點x處可艱導,存在反,因此國必有其中故所以削函數(shù)在點x連續(xù)引.注意浩:函數(shù)旅在點x連續(xù)痰未必什可導.反例覆:在x=礎0處連聞續(xù)擠,弱但旨不可帆導.即左極限不等于右極限，即差商的極限所以在點不可導。0xy事實上不存在。不可導點4.韻微動商的朗計算原料加工產(chǎn)品基本稍初等李函數(shù)皂的微朱商公候式四則砍運算復合稍運算微商山法則初等伐函數(shù)晃的微瓦商（1旋）常命值函危數(shù)（2兵）其中是正費整數(shù)（3悅）正弦勵函數(shù)與余慶弦函岔數(shù)特別（4術）對雄數(shù)函家數(shù)基本巷初等狀函數(shù)特的微藍商公扇式微商婦的四垮則運罪算法馬則由定棉理4莖.2蛛可得定理根4.購2反函根數(shù)微根商法餅則若函數(shù)在點附近連續(xù)且嚴格單調，又則其反之數(shù)在點可導，且證明底：由在附近屢連續(xù)起且嚴請格單刺調，釋則反乞函數(shù)在點附醋近連蜻續(xù)且匠嚴格暈單調品。因魯此，侵若則，且嘆當時有故由軋復合辦函數(shù)追求極疫限法楚則得。定理頂4.從3（5松）指數(shù)領函數(shù)：為的反閑函數(shù)陪而（6枝）反揪三角鍛函數(shù)到此剝：第莫一步妥基本業(yè)上完描成（單還差剖一點撒）核心饞，最教重要腳：若函數(shù)在點可導，在

點可導，則復合函數(shù)在點可導，且或定理4.4鏈式法則：推廣到多個。復合快函數(shù)含求導隨法則（7尼）冪躁函數(shù)的微怕商特別謎：總結懶：98罩頁勁微免商公薦式表蒙和運類算法旨則。椅要求青：熟盟記，求解：可視為和的復合，故例7例8，求=解可視為的復合，故設，求例9解可視為的復合，故設（x舅>-鈴1）廈，求兩邊都取對祝數(shù)得解上式廳兩邊臂對x斬求導尋得例1殖0因此設，求解刻兩邊旁取對牢數(shù)再兩茅邊對筒x求槽導得故例1素1例1襲0博和世例1擦1謎采用辭的方丸法也膨稱為塞對數(shù)珠求導兆法，捉它簡晨化求寇導運從算。建例1莊1也守可用低鏈式唱法則陸求得啦。啊因為，所翻以函數(shù)是初吧等函盾數(shù)，懲故在對定義社域內南連續(xù)過，但故點不汗可導送。當時有幾何爹上表卻示曲趙線在金x=卵1處界的切娃線平餐行于涌y軸頓。下面異再舉嚴兩個被說明偽函數(shù)樹在一慈點連械續(xù)但丹并不德可導殺的例所子。例1思2設當時，巴函數(shù)是可蹈導的沖：顯然在連續(xù)恰。由洞于極槐限不存素在，郊故在點不沫可導聽。我刺們知葛道，獅當時，不斷績地在嫩1和村-1葬之間寇擺動叼。從鐮圖形盆上看高就是支當Q如點沿退曲線桃趨于西原點鉛時，悉割線葡OQ擺在直懇線之間徹擺動眠。例1躁3注意逼，并脈不是陪割線川不斷共擺動容就無陵切線頌。例魄如函鑒數(shù)有故可見在點可尼導，期事實摘上在獲0點芬割線左的斜逆率也是卸不斷親擺動旬的，殃但它醉有個券極限拴位置y=隙0.§2允、微計分概圓念及損其計搖算復習1、鏈可導遙和導愿數(shù)（拿微商歐）的斯概念2、加無窮室小的哈比較問此駱薄片奪面積葬改變烈了多卡少?設薄械片邊肯長為x,障面積慘為A,菌則面積蒜的增弊量為關于以△x的線中性主劃部高階無窮小時為故當x在取得增量時,變到一塊挽正方絡形金安屬薄源片受月溫度令變化興的影侮響,引例秘14邊長導由其一.瓶微分婚的概盒念稱為函數(shù)在的微分一般陸：函踢數(shù),給姨自變悔量一擠個改旦變量相應芹地函耗數(shù)改請變量是否屬也可生分成設類似迎的兩省部分從而究有定玻義：腿（可刪微、蛙微分寒）設在有定駝義，驅如果駝對給亡定的，有其中葉A與無關百，則鐮稱在x點可崖微，并弓稱為函厲數(shù)在點x的微途分，插記為面：或上述少定義罷中有侵兩個胸概念愛，一甜個是搶可微龜?shù)母鸥滥?，港另一掙個是轎微分躁的概垂念。注意紹：dy既與x有關已又與程有關頂.定義喪4.嗽2從定挖義可客知，娃微分跪具有擔兩大狀特性營：(1抗)微漫分是偽自變鞏量的裙改變寇量的協(xié)線性錄函數(shù)忘容易紫計算展；(2貴)微提分與鵲函數(shù)林的改熔變量之差祥是比高階給的無對窮小釋量(1)函數(shù)在什么條件下可微？(2)A到底是什么？問題：思路荷（討您論）趨：先喪看在綁可微壓的條項件下刪：可暫推得套什么精結果晶？再爬看：凳反過烈來是蔑否成氣立？恢（當孔然希嫩望成關立）在點可氏微在點可粘導且反之宰：設在點可碗導。討則…從而具有…于是若，則于是即自借變量擔的微搶分等禍于自記變量練的改罵變量蓮。從錢而微商犁就是琴微分母之商定理4.5：函數(shù)在點可微的充要條件是：函數(shù)在點可導。這時微分中的系數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點的可導,且“充分性”已知即在點的可導,則二互微疤分的賴幾何宵意義當很小時,則有從而導數(shù)霧也叫尊作微商切線弱縱坐存標的團增量自變墾量的暢微分,記作記由定科理4析.5宇知從微禿商公腔式表四可得衰微分飾公式球表，從微克商公筍法則崖可得匙微分陡法則騙。當u為自盾變量職時，茫函數(shù)的微滿分為當需不奸是自悼變量證時，博而是x的函羞數(shù)時，席如何鐵？三．掙微分鴨公式忠與運急算法文則：重點擺指出旱：由微及分與匠微商相的關恢系：而，故因此哀：無變論u是自距變量善還是的中間濕變量型，微分中形式保持后不變完，這再一性岔質稱宏為一價掀微分獲形式噸的不傭變性。，當很小沙時特別常用盡：1豆）2）3）四．晃微分嘗在近裕似計傲算中鳳的應傅用§3買．隱奇函數(shù)銷與參訪數(shù)方鹽程微能分法前面輛講過副的函贈數(shù)關響系都刑是用有時賺自變辰量與擴因變酸量的羽對應寺法則至由一袖個方郊程確匯立，低即函茅數(shù)關育系隱藏卻在一蓮個方惹程中攪，例.一般刷地：，確引定了到隱函星數(shù)：例1子．方程可以泰確定娃隱函后數(shù)和它們兩都是香連續(xù)橡函數(shù)肌。但也窯可以解確定盤隱函稼數(shù)它在點不駐連續(xù)華。1、祖隱函盒數(shù)微看分法形式穿給出訂的稱命為顯菠函數(shù)襲，而有拋些隱簡函數(shù)趁卻不繩能簡奸單地偷解出柄，假定倡在一病定條縫件下其，方程可以道確定歇隱函紀數(shù)并且臥是可套導的索：求例2搏：由方互程確定慚隱函程數(shù)，求解：將代入父方程棟，則方傳程為覽恒等鋒式，淘即有將視為接復合朝函數(shù)專，在蜘恒等抹式兩旺邊對品x求怕導，得恒舉等式解得例：也可法以利胡用微保分運蓄算求撓隱函期數(shù)的王導數(shù)滿，在方殼程兩邊軋求微斯分得解得例3襲．已投知，求解：友在方臘程兩愁邊對石x求決導，申并注份意y孝是x波的函太數(shù)，果得解得例4曠．已知，求解：藏在方改程兩程邊取井對數(shù)在方內程兩區(qū)邊對榮x求屯導，塔并注蛙意y忘是x眠的函采數(shù)，杜得解得2．投參數(shù)信方程洪微分錄法設曲蜻線的激參數(shù)欺方程啊為：若有反盲函數(shù)，則臘可得歇復合傾函數(shù)所以也可北以用膨微分階推導棉：所以例5．已知僻橢圓雹參數(shù)唱方程鵲為求解：例6尸．一輪膏子沿懸一直帥線滾消動，鋒輪燒子上浸一定轟點的直軌跡她曲線稱為君旋輪疏線，站其參考數(shù)方挑程為求出冠曲線眠上斜鹽率為觀1的梳切線游。解：辦旋火輪線謊上任輪一點霉切線刊的斜產(chǎn)率為令，解顆得，它逢對應結旋輪齊線上辱的點故斜蛇率為潮1的督切線菌為化簡壯得：§4義．高混階微改商與貨高階握微分1．翻高階務微商浸的概舊念一般灶地函渾數(shù)的導禽數(shù)仍然沸是x稻的函啦數(shù)?？梢酝究紤]的微硬商稱為的二針階微姐商(二蒸階導拜數(shù))號。記沙為:二階多及二朗階以星上的傍微商峽統(tǒng)稱姐為高吸階微喂商。例1臘．（n分是正御整數(shù)延），求y皇的各前階導籍數(shù)?！{…，求解得線：，求解得詳：強調嶺兩點方程冊兩邊歐再對求導附：例3例22、愚高階琴微商懼的運免算法溫則都有n階導潑數(shù)份,尤則(C為常漫數(shù))萊布隙尼茲涼(L婦ei瓜bn筑iz乘)純公式及設函數(shù)與二紅項式甚展開去對比伸記憶楊。函振數(shù)的塊零階沫導數(shù)策理解靠為函著數(shù)本譜身。4.商：設，求解：例4例6高．設，求解得毫：易證賺：，故注意背：用萊豪布尼綱茨公害式當哀然可河以。專但顯樂然是絮自找銹麻煩闊。對3.邊高階懸微分函數(shù)的一其階微膏分是把它圣看成炒是的函姻數(shù)，臟再求愁一次找微分各得稱為的二充階微偉分,盈記為記為，即注意訪：的意伍義不則同。把類似途地定書義：的階微體分為于是這正舒是階導比數(shù)（墓微商話）賭符峽號的嗓由來門。一般脹地：囑若，由一君階微侍分形盈式不抗變性這時是中爸間變考量，