數(shù)理方程分離變量法

關(guān)于數(shù)理方程分離變量法第1頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三§2.1齊次發(fā)展方程的分離變量法一分離變量法簡(jiǎn)介研究?jī)啥斯潭ǖ睦硐胂业淖杂烧駝?dòng)，即定解問(wèn)題

設(shè)代入上述波動(dòng)方程和邊界條件得

方程、邊界條件均齊次用遍除第2頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)記作------

這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程，且邊界條件也同樣進(jìn)行分離稱為固有值（本征值）問(wèn)題第3頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

特征根通解求方程的通解的步驟為：

(1)寫(xiě)出微分方程的特征方程

(2)求出特征根，

(3)根據(jù)特征根的情況按下表寫(xiě)出所給微分方程的通解。二階常系數(shù)齊次線性微分方程第4頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

1、在λ<0時(shí)，方程的解是

積分常數(shù)和由邊界條件確定

由此解出=0,=0，從而

2、λ=0

時(shí)方程的解是則仍然解出第5頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

3、λ>0的情況

方程的解是

只有才能保證，方程有非零解

此時(shí)再看關(guān)于T的方程

于是或

稱為固有值，

稱為固有函數(shù)第6頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

這個(gè)方程的解

分離變量的形式解

(n=1,2,3,…)

由疊加原理，一般解為：

現(xiàn)在要求出疊加系數(shù)和

滿足初始條件

第7頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

方程左邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù),這就提示我們把右邊的展開(kāi)為傅里葉正弦級(jí)數(shù)，然后比較傅里葉系數(shù)，得第8頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三，則可得原問(wèn)題的解：

按上述公式計(jì)算出系數(shù)和注：該解稱為古典解，在求解中我們假設(shè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的。

如上的方法稱為分離變量法，是齊次發(fā)展方程求解的一個(gè)有效方法。下面對(duì)該方法的步驟進(jìn)行總結(jié)。

第9頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三分離變量流程圖固有值（特征值）問(wèn)題第10頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三偏微分方程

第11頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三【解】桿上溫度滿足下列泛定方程和定解條件

試探解

代入方程和邊界條件得固有值問(wèn)題

【例題1】研究細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題,初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度,另一端跟外界絕熱，桿上初始溫度為,試求無(wú)熱源時(shí)細(xì)桿上溫度的變化。和常微分方程分析：方程與邊界條件均為齊次，用分離變量法，根據(jù)分離變量法流程，分析如下第12頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三分離變量流程圖固有值（特征值）問(wèn)題第13頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三經(jīng)討論知，僅時(shí)有非零解，且只有由得由得于是得固有值和固有函數(shù)為由此得第14頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三下面求解得由疊加原理，得第15頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三確定系數(shù),由初值條件知

于是如取，則第16頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

從而下列問(wèn)題

的解為圖形如下:(程序:my1)第17頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三(a)精確解圖(b)瀑布圖第18頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三§2.2穩(wěn)定場(chǎng)齊次問(wèn)題的分離變量法1矩形區(qū)域上拉普拉斯方程

【例題1】散熱片的橫截面為矩形。它的一邊處于較高溫度，邊處于冷卻介質(zhì)中而保持較低的溫度,其他兩邊，溫度保持為零，求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布.【解】先寫(xiě)出定解問(wèn)題定解問(wèn)題

方程齊次這組邊界條件齊次用分離變量法第19頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三分離變量流程圖固有值（特征值）問(wèn)題第20頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)形式解為：

代入上述泛定方程,得到得到固有值問(wèn)題和常微分方程得固有值：

第21頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三固有函數(shù)：

而于是有疊加得第22頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三為確定疊加系數(shù)，將代入非齊次邊界條件

將等式右邊展開(kāi)為傅里葉正弦級(jí)數(shù),并兩邊比較系數(shù)，得

第23頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三聯(lián)立求解得第24頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三故原問(wèn)題的解為小結(jié)：對(duì)矩形域上拉普拉斯方程，只要一組邊界條件是齊次的，則可使用分離變量法求解。圖形如下：（程序：my2）第25頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三(a)精確解圖(b)瀑布圖第26頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三【例2】求解下列問(wèn)題特點(diǎn)：邊界條件均非齊次

讓和分別滿足拉普拉斯方程,并各有一組齊次邊界條件，即則，而上面兩個(gè)定解問(wèn)題分別用例1的方法求解。稱為定解問(wèn)題的分拆。第27頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

【例題3】帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)的，水平架設(shè)的輸電線處在這個(gè)靜電場(chǎng)之中，導(dǎo)線看成圓柱型，求導(dǎo)線外電場(chǎng)的電勢(shì)。

【解】先將物理問(wèn)題表為定解問(wèn)題。取圓柱的軸為z軸，物理問(wèn)題與Z軸無(wú)關(guān)。圓柱面在平面的剖口是圓柱外的空間中沒(méi)有電荷，故滿足拉普拉斯方程

（在柱外）

可以看出，邊界條件無(wú)法分離變量，只能另辟蹊徑。在極坐標(biāo)下研究該問(wèn)題，在極坐標(biāo)下，上述問(wèn)題可表示成2圓形區(qū)域問(wèn)題第28頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)分離變數(shù)形式的試探解為

代入拉普拉斯方程，得令此條件是根據(jù)電學(xué)原理加上的移項(xiàng)、整理后得：第29頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三分離為兩個(gè)常微分方程

（自然邊界條件，附加）得固有值和固有函數(shù)為和固有值問(wèn)題解得第30頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三將本征值代入常微分方程，得到歐拉型常微分方程

作代換則，方程化為：

于是通解是

解得即第31頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)等于零,意味著所有傅里葉系數(shù)為零,即：

由此得：

由條件得第32頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三主要部分是項(xiàng),可見(jiàn)在表達(dá)式中不應(yīng)出現(xiàn)高次冪，于是

最后得柱外的靜電勢(shì)為：由知結(jié)合前面系數(shù)關(guān)系，有習(xí)題6、8第33頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

§2.3非齊次方程的求解

設(shè)該問(wèn)題的解為：例1求解有界弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題（Ⅰ）我們已經(jīng)知道，對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的固有函數(shù)系為又設(shè)因已知，所以

固有函數(shù)展開(kāi)法（又稱傅立葉級(jí)數(shù)法）第34頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三代入非齊次方程和初始條件得：用Laplace變換求解得：∴

方法總結(jié)：將未知函數(shù)和非齊次項(xiàng)按照對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題的固有函數(shù)展開(kāi)，其展開(kāi)系數(shù)為另一變量的未知函數(shù)，代入非齊次方程和初始條件確定該未知函數(shù)。第35頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)：【解】對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的固有函數(shù)系為代入泛定方程，得于是有例2求解有界弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題（Ⅱ）第36頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三代入初始條件

于是：

第37頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三當(dāng)時(shí)：

的解為

解釋第38頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三推導(dǎo)：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

設(shè)非齊次方程的特解為，解得

于是非齊次方程的通解為由定解條件得代入整理即得。第39頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三故原問(wèn)題的解為解釋第40頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三

§2.4非齊次邊界條件問(wèn)題

上一節(jié)研究了非齊次偏微分方程，齊次邊界條件的情況?，F(xiàn)在討論非齊次邊界條件下的情況?！纠?】長(zhǎng)為、側(cè)面絕熱的均勻細(xì)桿，在的一端保持恒溫，另一端有熱流為的定常熱流進(jìn)入。設(shè)桿的初始溫度分布是，求桿上的溫度變化.【解】物理問(wèn)題的定解問(wèn)題按照疊加原理，將的定解問(wèn)題分解為兩部分之和，第41頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三滿足定解問(wèn)題即解得滿足定解問(wèn)題解釋為什么？第42頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三由分離變量法知，其解為由初值條件知故第43頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三與t無(wú)關(guān)，設(shè)v=v(x)小結(jié)：滿足定解問(wèn)題即可邊界條件齊次化。第44頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三§2.5固有值問(wèn)題

常微分方程的本征值問(wèn)題是由齊次邊界條件決定的。

用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題時(shí)，會(huì)得到含有參數(shù)

些參數(shù)稱為固有值，其對(duì)應(yīng)的方程解稱為固有函數(shù)。

的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。這類問(wèn)題中的參數(shù)依據(jù)邊界條件只能取某些特定值才會(huì)使方程有非零解。這固有值及固有函數(shù)：一、第45頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三固有函數(shù)系：在區(qū)間上正交，即其固有值和固有函數(shù)分別為

二、第46頁(yè)，講稿共51頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、其固有值和固有函數(shù)分別為

固有函數(shù)系：在區(qū)間上正交，即第47頁(yè)，講