概率論第概率的公理化定義及概率的性質(zhì)

關(guān)于概率論第概率的公理化定義及概率的性質(zhì)第1頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三發(fā)生的概率定義為如果樣本空間為有界區(qū)間、空間有界區(qū)域，則“面積”改為“長(zhǎng)度”、“體積”幾何概型的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為有界區(qū)域事件試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域

中的面積的面積稱(chēng)為幾何概型注：①②事件

發(fā)生的概率與位置無(wú)關(guān),只與

的面積有關(guān)，這體現(xiàn)了某種“等可能性”

第2頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三

(約會(huì)問(wèn)題)兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)離去。試求這兩人能會(huì)面的概率。這是一個(gè)幾何概型，所求概率是

設(shè)

分別表示兩人達(dá)到的時(shí)間，則兩人能會(huì)面的充要條件是解例第3頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3蒲豐投針問(wèn)題平面上畫(huà)有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l的針，求針與平行線相交的概率.第4頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三解：以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間滿足：0x

d/2;0

.形成x-平面上的一個(gè)矩形，其面積為：S=d(/2).

第5頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

l

sin(/2).

針是任意投擲的，所以這個(gè)問(wèn)題可用幾何方法求解得第6頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三由蒲豐投針問(wèn)題知：長(zhǎng)為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實(shí)際去做N次試驗(yàn)，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：2lN/(dn).歷史上有一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).的隨機(jī)模擬第7頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三(三)概率的基本性質(zhì)性質(zhì)①證因?yàn)楦怕蕿閷?shí)數(shù),故性質(zhì)②若是兩兩不相容的事件,則證故由可列可加性，有有限可加性第8頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三性質(zhì)③若則證因互不相容,故由有限可加性有再由概率非負(fù)性得事件解釋為區(qū)域概率解釋為區(qū)域面積事件與概率的圖示第9頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三性質(zhì)④性質(zhì)⑤性質(zhì)⑥對(duì)任何事件有(加法公式)對(duì)于三事件有挖挖挖補(bǔ)由定義第10頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三挖補(bǔ)原理多事件的加法公式對(duì)于

個(gè)事件，有全加減二加三挖補(bǔ)規(guī)律:加奇減偶減四第11頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三

AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求B

的對(duì)立事件的概率。解：由P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例4

得P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，

所以P()=10.2=0.8.第12頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5解：因?yàn)镻(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1

所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求

P(AB).

第13頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例6解：因?yàn)锳、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.第14頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例7口袋中有n1個(gè)黑球、1個(gè)白球，每次從口袋中隨機(jī)地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對(duì)立事件解：記A為“第k次取到黑球”，則A的對(duì)立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k1次取到黑球，而第k次取到白球”第15頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例8解：用對(duì)立事件進(jìn)行計(jì)算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)的概率.第16頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三甲參加有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)猜活動(dòng)，他能答出第一道題的概率是0.8，能答出第二道題的概率是0.3，例9兩道題都能答出的概率是0.2，試求：（1）能答出第一道題而答不出第二道題的概率（2）至少有一道題能答不出的概率（3）兩道題都答不出的概率解已知？？0.80.3（1）（2）（3）第17頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三因?yàn)楦怕适鞘录?集合)的函數(shù)，所以先討論事件(集合)的“極限”.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4

概率的連續(xù)性第18頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三若事件序列{Fn}滿足：F1F2

…

Fn

…

則稱(chēng){Fn}為單調(diào)不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列{Fn}滿足：F1F2

…

Fn

…

則稱(chēng){Fn}為單調(diào)不增事件序列，其極限事件為第19頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三

設(shè)P(·)是一個(gè)集合函數(shù)，

(1)

若任對(duì)單調(diào)不減集合序列{Fn}，有

則稱(chēng)P(·)是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性

(2)若任對(duì)單調(diào)不增集合序列{Fn}，有

則稱(chēng)P(·)是上連續(xù)的.

第20頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三

性質(zhì)1.3.7

若P(·)是事件域F上的一個(gè)概率函數(shù)，

則P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性第21頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三性質(zhì)1.3.8若P(·)是事件域F上滿足：非負(fù)、正則的集合函數(shù)，則P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件第22頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三N個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、NM個(gè)合格品.(口袋中有M個(gè)白球，NM個(gè)黑球)常見(jiàn)模型(1)——

不返回抽樣從中不返回任取n個(gè),則此n個(gè)中有m個(gè)不合格品的概率為：此模型又稱(chēng)超幾何模型.

nN,mM,

nmNM.第23頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三口袋中有5

個(gè)白球、7個(gè)黑球、4個(gè)紅球.從中不返回任取3

個(gè).求取出的3

個(gè)球?yàn)椴煌伾那虻母怕?思考題第24頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三N個(gè)產(chǎn)品，其中M個(gè)不合格品、NM個(gè)合格品.

從中有返回地任取n個(gè).則此n個(gè)中有m個(gè)不合格品的概率為：常見(jiàn)模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.第25頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三n個(gè)不同球放入N個(gè)不同的盒子中.每個(gè)盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n個(gè)盒子中各有一球的概率(nN)

常見(jiàn)模型(3)——

盒子模型第26頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三求n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中.P(至少兩人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問(wèn)題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

第27頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三n個(gè)人、n頂帽子，任意取，至少一個(gè)人拿對(duì)自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個(gè)人拿對(duì)自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用對(duì)立事件公式.用加法公式：常見(jiàn)模型(4)——

配對(duì)模型第28頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1A2……An)=

配對(duì)模型(續(xù))