棱錐體積推導

關于棱錐體積推導第1頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三復習：

1、等底面積等高的兩個柱體體積相等。

2、V柱體＝Sh

3、柱體體積公式的推導

第2頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三柱體體積公式的推導：等底面積等高的幾個柱體被平行于平面α的平面所截截面面積始終相等體積相等∵V長方體＝abc∴V柱體＝Sh

α第3頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三問題：對比柱體體積公式的推導及結(jié)論，猜想一下錐體體積是否具有相似的結(jié)論？第4頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。αh1S1h1S2hShS取任意兩個錐體，它們的底面積為S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面積始終相等＝兩個錐體體積相等第5頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。αh1S1h1S2hShS證明：取任意兩個錐體，設它們的底面積為S，高都是h。

把這兩個錐體放在同一個平面α上，這是它們的頂點都在和平面α平行的同一個平面內(nèi)，用平行于平面α的任一平面去截它們，截面分別與底面相似，設截面和頂點的距離是h1，截面面積分別是S1\S根據(jù)祖搄原理，這兩個錐體的體積相等。第6頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三=+=先割后補先補后割第7頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。ABCA1C1B1第8頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。ABCA1C1B1第9頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。BCA’B’CA’C1B1ABCA1第10頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三ABCA1C1B1把三棱錐1以△ABC為底面、AA1為側(cè)棱補成一個三棱柱。猜測三棱錐的體積公式:第11頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三ABCA1C1B1連接B1C,然后把這個三棱柱分割成三個三棱錐。

就是三棱錐1

和另兩個三棱錐2、3。１23猜測三棱錐的體積公式:第12頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

就是三棱錐1

和另兩個三棱錐2、3。BCA1B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CAC1B1ABCA1BCA’B’CA’C1B1ABCA1１23猜測三棱錐的體積公式:第13頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三BCA1B12CA1C1B13ABCA11三棱錐1、2的底△ABA’、△B’A’B的面積相等。第14頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三CA1C1B13ABCA11BCA1B12BCA’B’2ABCA11BCA1B’2ABCA11三棱錐1、2的底△ABA’、△B’A’B的面積相等，高也相等（頂點都是C）。A1BCA1B12BCB’2ABC1BCA1B12ABC1高第15頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三ABCA11CA1C1B13BCA1B12三棱錐2、3的底△BCB’、△C’B’C的面積相等。第16頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三ABCA11CA1C1B13BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCAB12三棱錐2、3的底△BCB1、△C1B1C的面積相等。高也相等（頂點都是A1）。高第17頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三V1＝V2＝V3＝V三棱柱猜測:如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝V三棱柱=ShABCA11CA1C1B13BCA1B12第18頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么

它的體積是V三棱錐＝Sh定理證明：已知：三棱錐1（A1-ABC）的底面積S,高是h.求證:V三棱錐＝Sh證明:把三棱錐1以△ABC為底面、AA1為側(cè)棱補成一個三棱柱，然后把這個三棱柱分割成三個三棱錐，就是三棱錐1和另兩個三棱錐2、3。三棱錐1、2的底△ABA1、△B1A1B的面積相等，高也相等（頂點都是C）；三棱錐2、3的底△BCB1、△C1B1C的面積相等，高也相等（頂點都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱錐?！遃三棱柱＝Sh?！郪三棱錐＝Sh。ABCA1C1B1１23第19頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三猜測:n棱錐的體積公式：Vn棱錐=Vn棱柱第20頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三任意錐體的體積公式：

定理三：如果一個錐體的底面積是S，高是h，那么它的體積是

V錐體＝Sh第21頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三小結(jié)：定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積是

V三棱錐＝Sh定理三：如果一個錐體的底面積是S,高是h，那么它的體積是

V錐體＝Sh第22頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例1.如圖是一石柱,石柱頂上部是一個正四棱錐,下部是一個正四棱柱.已知正四棱柱底面邊長0.5米,高1米,正四棱錐的高是0.3米.石料比重d為每一立方米

2400千克.求這個石柱的重量.第23頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三解:V棱錐=V棱柱=所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱錐)×d=660(千克).0.5米1米0.3米第24頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例2.在三棱錐V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10，三個側(cè)面與底面所成的二面角均為60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.BACVEOFD(2)求三棱錐的高.(3)求三棱錐的體積.

(1)求證：O是△ABC的內(nèi)心.第25頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三OD為VD在平面ABC內(nèi)的射影,根據(jù)三垂線定理,得VD⊥AB.于是∠VDO為側(cè)面VAB與底面所成二面角的平面角.∠VDO=∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）連結(jié)CO并延長交AB于D,過O在平面ABC內(nèi)分別作AC、BC的垂線,F、E為垂足.連結(jié)VD、VF、VE.AEOFDBRETURN因為VO⊥平面ABC,CD⊥AB,

顯然OD=OE=OF=VOctg60o,即點O到△ABC三邊距離相等.因此O是△ABC的內(nèi)心.第26頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三CVEOFDAB第27頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例3.已知正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成二面角為120o,底面邊長a,求它的高、體積.ABCDSEO第28頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三ABCDSEO解：連結(jié)AC、BD交于O，連結(jié)SO，則SO為正四棱錐的高.

過B作BE⊥SC,E為垂足.連結(jié)DE,

則∠DEB為二面角D-SC-EB的平面角,

所以DEB=120o.第29頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三ASBCDEO連結(jié)OE,第30頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例4.如圖三棱錐V-ABC中,D為BC上一點,E為AV上一點,BC⊥ED,BC⊥AV,ED⊥AV,已知BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求:三棱錐的體積.VABCDE第31頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三NEXTRETURNVABCDEBC=6,ED=4,AV=8.解：第32頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三RETURNEVABCDBC=6,ED=4,AV=8.第33頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例5、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,G為A1B1上的點,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若點G在A1B1上滑動,H在C1D1上滑動,線段EF在AB上滑動,則VH-EFG的值有何變化?(2).若點G滑動到B1,E、F滑動到A、B點,H滑動到D1點,則VH-EFG體積為多少?ABCDA1B1C1D1GHEF第34頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三ADBCEθ

證明：在平面BCD內(nèi)，作DE⊥BC，垂足為E，連接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根據(jù)三垂線定理，AE⊥BC。

∴∠AED＝θ。例6：已知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθ＝S△ABC·ADcosθ＝×BC·AEcosθ·ADV三棱錐＝S△BCD·AD＝×BC·DE·AD第35頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例6：已知:三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

問題1、ADcosθ有什么幾何意義？

F

結(jié)論：V三棱錐＝S△ABC·DF

第36頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例6、已知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD，側(cè)面ABC與底面所成的角為θ

求證：V三棱錐＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

結(jié)論：V三棱錐＝VC-AED＋VB-AED

問題2、解答過程中的

×BC·AEcosθ·AD其中

AEcosθ·AD可表示什么意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD

又BE與CE都垂直平面AED，故BE、CE分別是三棱錐B-AED、C-AED的高。

分析：第37頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三練習1：將長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個三棱錐，這個三棱錐的體積是長方體體積幾分之幾？（請列出三棱錐體積表達式）ABCDA’C’B’D’問題1、你能有幾種解法？

問題2、如果這是一個平行六面體呢？或者四棱柱呢？第38頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三練習2:從一個正方體中，如圖那樣截去四個三棱錐，得到一個正三棱錐A-BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？C

DAB

問題2、如果改為求棱長為a的正四面體A-BCD的體積。你能有幾種解法？問題1、你能有幾種解法？解一、補形，將三棱錐補成一個正方體。解二、利用體積公式

V四面體＝S△BCD·h

解三、將四面體分割為三棱錐C-ABE和三棱錐D-ABEE第39頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三小結(jié)：1、錐體體積公式的證明體現(xiàn)了從整體上掌握