ADF檢驗中滯后長度的選擇-基于ARIMA(0-1-q)過程的模擬證據(jù)

ADF檢驗中滯后長度的選擇——基于ARIMA(0,1,q)過程的模擬證據(jù)

【摘要】在進行ADF檢驗時如何確定一個最優(yōu)的滯后長度一直是研究者們關注的問題。最近的研究表明，不同的滯后長度選擇方法對ADF檢驗的統(tǒng)計推斷影響很大。本文在已有研究的基礎上，模擬了更為一般的ARIMA(0,1,q)過程，分析了在不同的數(shù)據(jù)生成過程、檢驗式以及樣本容量下，各種滯后長度選擇方法對ADF檢驗功效和實際檢驗水平的影響，最后認為修正的信息準則通常具有較合理的實際檢驗水平，而從一般到特殊法具有更為穩(wěn)健的ADF檢驗性質。

關鍵詞ADF檢驗滯后長度信息準則修正的信息準則從一般到特殊法

Abstract:TheoptimallaglengthinestimatingAugmentedDickey-Fullerstatisticshavebeenconcentratedonforyears.PreviousresearchindicatedthatdifferentleglengthselectionmodelsaffectalotonthestatisticalinferenceofADFtest.Basedonalltheresearchesavailable,thispapersimulatesamoregeneralARIMA(0,1,q)processandanalyzestheinfluenceoflaglengthselectioncriterionstothesizeandpoweroftheADFtestwithdifferentdatageneratingprocesses,ADFregressions,andsamplesizes.Finally,itisprovedthattheModifiedInformationCriteriaalwaysshowsamorepropersizeandtheGeneraltoSpecialCriteriahasmorerobustpropertiesinADFtest.

Keywords:ADFtestLagLengthInformationCriteriaModifiedInformationCriteriaGeneraltoSpecific

一、引言

隨著時間序列非平穩(wěn)問題的提出，單位根檢驗目前已經(jīng)成為宏觀數(shù)據(jù)建模前首先要進行的工作。為此，Dickey和Fuller(1979,1981)[1]提出了著名的ADF檢驗，并推導了當時間序列yt是ARIMA(p,1,0)過程且滿足檢驗式中滯后差分項長度k≥p時ADF檢驗統(tǒng)計量的極限分布。然而，在實際運用ADF檢驗時，真實的p是不知道的，因此需要研究者自己確定k?？偟膩碚f滯后長度的選擇方法主要分為兩類。一類是經(jīng)驗法(ruleofthumb)。這種方法是研究者任意選擇k，或將k表示為樣本容量的函數(shù)。另外一類就是根據(jù)數(shù)據(jù)來選擇k。這種方法主要有Akaike(1973)信息準則(AkaikeInformationCriteria，以下簡寫為AIC)、Schwarz(1978)信息準則(SchwarzInformationCriteria，以下簡寫為SIC)、Hannan和Quinn(1979)信息準則(HannanandQuinnInformationCriteria，以下簡寫為HQIC)、從一般到特殊法則(GeneraltoSpecialCriteria，以下簡寫為GSC)、從特殊到一般法則(SpecialtoGeneralCriteria，以下簡寫為SGC)等。此外，在后來的研究中，Weber(1998)又提出了非自相關法則(NoAutocorrelationCriteria)，即從一個比較簡化的模型開始，逐漸增加滯后差分項直到殘差不能拒絕非自相關的原假設。2001年他又提出了一種考慮滯后長度k在特定區(qū)間[kmin,kmax]內(nèi)的從特殊到一般法，該方法運用了一系列F檢驗，確定的最優(yōu)滯后長度是使得比其大的直到kmax的所有滯后差分項對應參數(shù)的聯(lián)合檢驗均不顯著的最小的k。

然而很多學者都指出，ADF檢驗的結論對滯后長度k的選擇非常敏感。Phillips和Perron(1988)模擬發(fā)現(xiàn)當真實數(shù)據(jù)生成過程為隨機游走時，隨著檢驗式中差分項滯后長度的增加，會導致ADF檢驗的功效和水平都降低。另外，Schwert(1989)、Agiakloglou和Newbold(1992)以及Harris(1992)等也指出不同的滯后長度選擇方法對ADF檢驗的實際水平和功效有明顯影響。這就引發(fā)了關于不同方法確定滯后長度是否以及如何影響ADF統(tǒng)計量極限分布的討論。

其實早在ADF檢驗提出不久，Said和Dickey(1984)就證明了對階數(shù)未知的ARMA過程檢驗單位根時，只要檢驗式中的滯后長度k滿足一定的上界條件和下界條件，仍可以用ADF統(tǒng)計量來檢驗原過程中單位根的存在。緊接著，Lewis和Reinsel(1985)提出了一個與Said和Dickey(1984)下界條件等價的條件，并證明當滿足該下界條件和Said和Dickey(1984)上界條件時檢驗式中滯后差分項的參數(shù)估計量具有一致性和漸近正態(tài)性。Hannan和Deistler(1988)則提出了各信息準則確定一個平穩(wěn)可逆的ARMA過程滯后長度的若干性質。

隨后，Ng和Perron(1995)明確解答了哪些滯后長度選擇方法滿足這些上界與下界條件，以及運用它們確定滯后長度如何影響ADF檢驗統(tǒng)計量極限分布的問題。首先，該文討論了檢驗式中滯后長度k不滿足Said和Dickey(1984)或Lewis和Reinsel(1985)下界條件對ADF檢驗統(tǒng)計量極限分布的影響。他們認為這時仍漸近服從標準DF分布，同時滯后差分項的參數(shù)估計量仍具有一致性，但其向真值收斂的速度要小于(T為樣本容量，下同)。接著，Ng和Perron(1995)將滯后長度的選擇準則與上述極限分布條件相比較，證明了在ADF檢驗中，利用各信息準則確定的滯后長度時不滿足下界條件，但統(tǒng)計量仍服從標準DF分布。而當運用GSC時，如果我們確定的滯后長度最大值滿足上界條件和Lewis和Reinsel(1985)下界條件，則滯后差分項的參數(shù)估計量具有一致性和漸近正態(tài)性，可以用t統(tǒng)計量、F統(tǒng)計量和Wald統(tǒng)計量檢驗其顯著性。最后通過模擬重點討論了當數(shù)據(jù)生成過程為ARIMA(0,1,1)時各方法確定的滯后長度以及對ADF檢驗功效和實際檢驗水平的影響。

類似地，Hall(1994)還從一個純自相關過程入手，給出了當真實數(shù)據(jù)生成過程是一個ARIMA(p,1,0)過程時，ADF統(tǒng)計量服從DF分布應滿足的假設條件。并討論了不同滯后長度選擇準則對ADF統(tǒng)計量極限分布的影響。他認為當運用AIC、SIC、HQIC以及GSC確定滯后長度時，滿足上述條件，因此ADF統(tǒng)計量仍服從標準DF分布，而運用SGC時不能滿足上述條件，從而ADF統(tǒng)計量的極限分布發(fā)生變化，不再服從標準DF分布。最后對于不同的ARIMA(p,1,0)過程，模擬了基于各種準則的ADF檢驗功效與實際檢驗水平。

此外，隨著研究的不斷深入，學者們又從一些新的角度對滯后長度選擇的問題進行了探討。比如Ng和Perron(2001)將Elliott、Rothenberg、和Stock(1996)以及Dufour和King(1991)提出的局部GLS退勢法與Perron和Ng(1996)提出的修正的單位根檢驗統(tǒng)計量相結合，提出了一系列MGLS統(tǒng)計量來檢驗單位根。在這種檢驗中，他們首度運用了一系列修正的信息準則(ModifiedInformationCriteria，以下簡寫為MIC)來確定滯后長度，并給出了其局部漸近性質。MIC與一般信息準則的本質區(qū)別就在于它考慮到檢驗式中一階滯后項參數(shù)估計量的偏差與滯后長度是高度相關的，進而通過加入一個包含一階滯后項參數(shù)估計量的修正項對信息準則擬和不足的問題進行了一定的校正。Ng和Perron(2005)又重點探討了在運用各種信息準則時，可用觀測值個數(shù)(即調整的樣本容量)、計算均方誤差時的自由度、以及計算懲罰因子(penaltyfactor)時使用的觀測值個數(shù)對滯后長度選擇的影響。結果表明在有限樣本下AIC與SIC選擇的滯后長度對上述三個因素非常敏感。

綜上所述，已有的研究主要集中在對ARIMA(p,1,0)和ARIMA(0,1,1)過程進行單位根檢驗時，各方法確定的滯后長度以及相應的單位根檢驗的功效與實際水平上。而對ARIMA(0,1,q)即含有單位根的高階移動平均過程的研究則比較少。另外，也鮮見MIC與其他方法比較的相關研究。針對這些問題，本文對Hall(1994)，Ng和Perron(1995,2001)的方法和結論進行擴展，在接下來的部分中用蒙特卡羅模擬的方法在有限樣本下研究一個更一般的ARIMA(0,1,q)過程，對模擬結果中不同滯后期選擇方法尤其是MIC的優(yōu)劣進行比較，以期找到一種能應用在更一般的數(shù)據(jù)生成過程中，并使ADF檢驗推斷更真實可靠的滯后長度選擇方法。最后一部分是對全文的總結，并提出了一些滯后項選擇及ADF檢驗中需要注意的問題。

二、模擬結果

根據(jù)Hall(1994)，Ng和Perron(1995,2001)文章中的結論，運用信息準則和GSC確定滯后長度時，ADF統(tǒng)計量仍服從標準DF分布。其中運用GSC時滯后差分項以的速度收斂于真值，從而使ADF檢驗有一個更優(yōu)的有限樣本性質。MIC是對通常信息準則的修正。因此本文選取AIC、SIC、MAIC、MSIC以及GSC五種方法來確定ADF檢驗式中的滯后長度。重點考察小樣本下當誤差項為高階移動平均過程時基于各準則的ADF檢驗功效和實際檢驗水平的特征，以及MIC與其他方法相比對ADF檢驗統(tǒng)計推斷的影響和滯后長度選擇的異同。各方法確定滯后長度的原理

首先，AIC與SIC具有相似的形式，選擇的滯后長度k滿足使(1)式的值最小。其中AIC準則中CT=2，SIC準則中CT=logT，表示估計方程的誤差均方，它往往隨著滯后長度的增加而下降。是ADF檢驗式中的解釋變量個數(shù)，它等于滯后差分項個數(shù)k加上常數(shù)項以及時間趨勢項，會隨滯后長度的增加而變大，代表了對過度擬和的懲罰。因此選擇k使(1)最小意味著在較少參數(shù)和較小的殘差平方和之間做出選擇。

(1)

另外，Ng和Perron(2001)提出了一系列的修正的信息準則即MIC。其選擇的滯后長度是使得目標方程(2)的值最小的k，依據(jù)CT的表達式不同MIC又分別稱為MAIC與MSIC。

(2)

它與一般的信息準則的不同就是增加了一個修正因子，其表達式為：

(3)

其中是ADF檢驗式中一階滯后項的參數(shù)估計量。Ng和Perron(2001)證明會隨著ADF檢驗式中滯后差分項個數(shù)k的增加而減小，尤其當數(shù)據(jù)生成過程的移動平均部分含有負根時，這種減小更加明顯，因此可以有效地校正一般信息準則擬和不足的問題。

GSC則是在ADF檢驗式中選取r=j+m個滯后差分項，并通過對最后m個參數(shù)(i=1,…,m)的顯著性進行聯(lián)合檢驗來完成的，其中j∈[0,jmax]。該檢驗的Wald形式為：

(4)

其中(5)

(6)

它代表所有解釋變量的方差協(xié)方差矩陣，是中右下方m×m階的塊矩陣。

代表該檢驗式回歸函數(shù)的誤差均方，其中代表回歸式的殘差。

檢驗規(guī)則為：j從最大的取值jmax開始，依次降低其取值直到(4)式表示的統(tǒng)計量顯著。該統(tǒng)計量服從自由度為m的χ2分布?；陲@著性水平α，滯后長度k的取值為①k=j+1，當是統(tǒng)計量所有值中第一個大于臨界值的值時。②k=0，當統(tǒng)計量所有值均小于臨界值時。

為了考察誤差項為高階移動平均過程時ADF檢驗中滯后長度的選擇問題，我們對形如(7)式的數(shù)據(jù)生成過程共10種情況運用上述五種方法選擇滯后長度繼而進行ADF檢驗。

(7)

其中L是滯后因子，ut是白噪聲，y0=0。

10種數(shù)據(jù)生成過程①θ1=,θ2=,θ3=,θ4=;②θ1=,θ2=,θ3=,θ4=;③θ1=-,θ2=,θ3=,θ4=;④θ1=-,θ2=,θ3=,θ4=;⑤θ1=,θ2=,θ3=,θ4=;⑥θ1=,θ2=,θ3=,θ4=;⑦θ1=-,θ2=,θ3=,θ4=;⑧θ1=-,θ2=,θ3=,θ4=;⑨θ1=-,θ2=-,θ3=,θ4=;⑩θ1=,θ2=,θ3=,θ4=。這10種情況描述了誤差項移動平均部分的根在個數(shù)、大小、正負等方面的不同情形。

ADF檢驗的原假設H0:ρ=1；備擇假設H1:ρ1。ADF檢驗式

(a)

(b)

為考察不同情形下ADF檢驗的功效和實際檢驗水平，我們對每種數(shù)據(jù)生成過程分別取β=1、、，用模擬樣本容量T=100時基于兩種檢驗式(a)和(b)的上述檢驗過程以及T=250時基于檢驗式(a)的上述檢驗過程。對每種情況重復10000次，計算ADF統(tǒng)計量小于臨界值的概率，同時記錄每次選擇的滯后長度，最后計算滯后長度的均值和標準差。當真實數(shù)據(jù)生成過程是單位根過程即β=1時，ADF統(tǒng)計量小于臨界值的概率就是犯棄真錯誤的概率，即實際檢驗水平。而當真實數(shù)據(jù)生成過程為平穩(wěn)過程即β1時，ADF統(tǒng)計量小于臨界值的概率則是1-犯取偽錯誤的概率，即檢驗功效。這里運用GSC確定滯后長度時取m=1，即計算單個參數(shù)的t統(tǒng)計量，顯著性水平取5%，各準則的最大滯后長度取kmax=20。

根據(jù)模擬結果，我們重點比較了各方法在滯后長度選擇及其相應的ADF檢驗功效和實際檢驗水平方面的異同，并考察了誤差項為高階移動平均時的各種數(shù)據(jù)生成過程、不同檢驗式以及樣本容量對滯后長度選擇及ADF檢驗統(tǒng)計推斷的影響，從而對Hall(1994)，Ng和Perron(1995)的結論做了一定的補充。

1.不同準則的比較

滯后長度及其標準差方面(見表1、3、5)，總得來說，GSC、AIC與MAIC選擇的滯后長度通常要高于SIC與MSIC，前者往往傾向于過度擬和。具體來說，當DGP中移動平均部分的根為正時，AIC與MAIC、SIC與MSIC選擇的平均滯后長度很接近。當移動平均部分含有負根時，修正的信息準則往往比相應的原準則選擇更大的平均滯后長度，并且這一差距隨著根更接近于-1或負根個數(shù)增加而更加明顯，同時滯后長度的標準差也隨之增加。

表1滯后長度的均值和標準差檢驗式(a)T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AICSICMAICMSICGSC

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)--

ARIMA(0,1,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

注：表中所列和分別代表模擬10000次時各準則確定的(1-βL)yt滯后長度的均值及其標準差。

對同一數(shù)據(jù)生成過程而言，基于各種信息準則的實際檢驗水平由小到大分別為：MAIC、MSIC、AIC、SIC。尤其是當DGP的移動平均部分含有較大負根時，AIC與SIC的檢驗尺度扭曲非常嚴重，在樣本容量為100時甚至達到了50%以上(見表2)。而這時MAIC犯第一類錯誤的概率都能保持在10%以下。此時基于GSC的檢驗尺度扭曲要小于一般的信息準則，但仍大于修正的信息準則，在其他情況下通常介于AIC與SIC之間。從檢驗功效來看，基于SIC的檢驗功效最高，在移動平均部分中含有較大負根時其檢驗功效非常接近于1。其次是基于AIC與GSC的檢驗功效，且前者的略高?；谛拚男畔蕜t的檢驗功效最低，尤其是在樣本容量為100時更加明顯(見表2)。

表2ADF檢驗的功效和實際檢驗水平檢驗式(a)T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AICSICMAICMSICGSC

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)--

ARIMA(0,1,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

注：表中所列數(shù)值為模擬10000次時按照各種準則得到的ADF統(tǒng)計量小于Fuller(1976,表,第373頁)5%顯著性水平下臨界值的概率。

2.不同DGP的影響

滯后長度方面，當數(shù)據(jù)生成過程(DataGeneratingProcedure,以下簡寫為DGP)中移動平均部分根的絕對值向1趨近或根的個數(shù)增加時，各準則選擇的滯后長度都會增加，標準差也相應增加。另外，當數(shù)據(jù)生成過程的移動平均部分相同時，是否含有單位根對平均滯后長度的選擇影響不大。同時，基于AIC、SIC與GSC得到的滯后長度標準差也很穩(wěn)健，而基于MIC的滯后長度標準差隨著數(shù)據(jù)生成過程逐漸平穩(wěn)有增加的趨勢(見表1、3、5)。

檢驗功效方面，當DGP的移動平均部分含有負根時，基于各準則的ADF檢驗功效通常會大于只含有正根的情況。大多數(shù)情況下，原過程移動平均部分中正根個數(shù)的增加會使檢驗功效降低，而負根個數(shù)的增加會使檢驗功效增加。當根的個數(shù)相同時，絕對值較大的正根會降低檢驗功效，而絕對值較大的負根反而會增加檢驗功效。這一點在樣本容量為250時表現(xiàn)的更為明顯(見表6)。

表3滯后長度的均值和標準差檢驗式(b)T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AICSICMAICMSICGSC

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)--

ARIMA(0,1,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

注：表中所列和分別代表模擬10000次時各準則確定的(1-βL)yt滯后長度的均值及其標準差。

表4ADF檢驗的功效和實際檢驗水平檢驗式(b)T=100

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AICSICMAICMSICGSC

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)--

ARIMA(0,1,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

注：表中所列數(shù)值為模擬10000次時按照各種準則得到的ADF統(tǒng)計量小于Fuller(1976,表,第373頁)5%顯著性水平下臨界值的概率。

3.不同檢驗式的影響

在滯后長度的選擇方面(見表1與表3)，對于同一數(shù)據(jù)生成過程而言，SIC選擇的滯后長度對不同檢驗式表現(xiàn)的非常穩(wěn)健，而其他準則對應不同檢驗式選擇的滯后長度往往不盡相同。用AIC選擇滯后長度時，若移動平均部分的根為正，檢驗式(b)比檢驗式(a)更傾向于選擇較大的平均滯后長度。而當移動平均部分的根為負時，情況恰好相反。對于MIC，當真實過程為單位根過程或非常接近單位根過程(β=)時，檢驗式(b)確定的平均滯后長度通常都較大，而當β=時，情況恰好相反。用GSC選擇滯后長度時，大多數(shù)情況下基于檢驗式(b)選擇的平均滯后長度較大。

在滯后長度的標準差方面，與用(a)檢驗時相比，檢驗式(b)中的標準差略大。其中當使用AIC、SIC與GSC時，二者很接近。當運用MIC時這種差距更加明顯，但在β=時減小。這也說明了AIC、SIC與GSC確定的滯后長度相對穩(wěn)健。

在檢驗功效方面，運用AIC，SIC與GSC確定滯后長度時，隨著檢驗式中確定性成分的加入(如加入常數(shù)項)，ADF檢驗的功效降低，檢驗尺度扭曲增加。而運用MIC確定滯后長度時，基于檢驗式(b)的檢驗功效降低更加明顯，尤其是當真實數(shù)據(jù)生成過程很接近一個單位根過程(β=)時，ADF檢驗的功效甚至低于5%。但這時檢驗式(b)中犯棄真錯誤的概率也往往更小(見表2與表4)。

表5滯后長度的均值和標準差T=250檢驗式(a)

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AICSICMAICMSICGSC

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)--

ARIMA(0,1,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

注：表中所列和分別代表模擬10000次時各準則確定的(1-βL)yt滯后長度的均值及其標準差。

表6ADF檢驗的功效和實際檢驗水平檢驗式(a)T=250

βARIMA(p,d,q)θ1θ2θ3θ4AICSICMAICMSICGSC

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,1)-

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)-

ARIMA(0,1,2)--

ARIMA(0,1,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,1)-

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)-

ARIMA(1,0,2)--

ARIMA(1,0,4)

注：表中所列數(shù)值為模擬10000次時按照各種準則得到的ADF統(tǒng)計量小于Fuller(1976,表,第373頁)5%顯著性水平下臨界值的概率。

4.不同樣本容量的影響

對于同一數(shù)據(jù)生成過程和滯后長度選擇準則，T=250時選擇的滯后長度明顯增加，大多數(shù)情況下增加了1，而滯后長度的標準差除了修正的信息準則在真實生成過程平穩(wěn)時標準差有所增加外，在其余情況下均變小，即滯后長度表現(xiàn)出比樣本容量為100時更加穩(wěn)健的特征(見表1與表5)。

另外，當樣本容量為100時，應用各準則進行檢驗犯棄真錯誤的概率略大。當樣本容量為250時，除MIC導致更大的檢驗尺度扭曲外，應用各準則進行ADF檢驗的實際檢驗水平都低于樣本容量較小時的水平，即犯第一類錯誤的概率明顯下降。另外，應用各準則進行ADF檢驗的功效與T=100時相比都有很大提高，且基于各準則的檢驗功效之間的差距也有所減小。例如，當β=時，基于不同DGP和準則的檢驗功效絕大部分都大于70%，當β=時的檢驗功效更是均大于90%甚至更高(見表2與表6)。這與我們通常的結論相一致。

三、結論

當數(shù)據(jù)生成過程的移動平均部分含有負根時，一般的信息準則會傾向于選擇較小的滯后長度，而MIC通過加入了修正因子能夠在一定程度上修正一般信息準則擬和不足的問題，繼而得到較為合理的檢驗尺度，其犯棄真錯誤的概率往往能保持在，然而代價往往是檢驗功效的降低。

總之，修正的信息準則通常擁有較好的實際檢驗水平，尤其是在移動平均部分含有較大的負根時，檢驗尺度的扭曲較小，即犯棄真錯誤的概率較小。而AIC、SIC與GSC通常具有較高的檢驗功效，即犯取偽錯誤的概率較小。因此，如果一個時間序列運用MIC進行ADF檢驗時，不能拒絕單位根原假設，那么我們可以認為，該序列是一個單位根過程的可能性很大。反過來，如果運用另外三個準則進行ADF檢驗，結果拒絕了單位根原假設，那么我們就有充分的理由相信原序列平穩(wěn)。

在實際操作中，由于AIC與SIC往往擁有較高的檢驗功效，但相應的檢驗尺度的扭曲也較大；而修正的信息準則雖然擁有較合理的實際檢驗水平，但要以付出檢驗功效為代價。因此我們建議選用GSC，它恰好是信息準則與修正的信息準則的一個折中，即犯棄真錯誤的概率不會太大，同時檢驗功效也不至于太低。因此利用t檢驗或F檢驗選擇滯后長度k的方法優(yōu)于其他選擇法，因為其擁有相對較為穩(wěn)健ADF檢驗性質。

此外還有幾個需要注意的問題：①誤差項中的高階移動平均過程會影響滯后長度的選擇及相應的ADF檢驗功效、實際檢驗水平。移動平均部分中根的個數(shù)尤其是正根的增加往往會使檢驗功效下降，較大的負根則會造成檢驗尺度的扭曲。而這兩種情況都會使選擇的滯后長度及其標準差增加。②隨著確定性成分的加入，基于各種準則的ADF檢驗功效均有所下降，而檢驗尺度的扭曲(除MIC外)也相應增加，這時MIC仍具有較優(yōu)的檢驗尺度，但檢驗功效非常低，有的甚至低于。而加入漂移項對滯后長度的影響則因選擇方法不同而不同。③建議選擇大樣本進行ADF檢驗，模擬表明樣本容量為250時各準則在滯后長度的選擇方面更加穩(wěn)健，檢驗尺度的扭曲有所減小，同時檢驗功效都大幅提高(接近于1)，并且各準則在檢驗功效之間的差距也縮小。

本文在運用一般到特殊法則時，實際是運用t統(tǒng)計量檢驗滯后差分項的參數(shù)顯著性，即取m=1。那么當取m1時，檢驗結果是否隨m的不同而改變？對不同的數(shù)據(jù)生成過程是否存在一個最佳的m使得檢驗功效和實際檢驗水平都最優(yōu)？在實際操作中，如何確定一個先驗的m？這些問題都值得進一步研究。另外，研究表明，滯后長度的上界與下界也直接影響最終滯后長度的選擇，進而影響ADF檢驗的統(tǒng)計推斷，如何確定最優(yōu)的上界與下界也是一個值得研究者繼續(xù)探討的問題。

參考文獻

[1]Akaike,H.,1973,InformationTheoryandanExtensionoftheMaximumLikelihoodPrinciple.[C]in2ndInternationalSymposiumonInformationTheory,eds.B.N.PetrovandF.Csaki,Budapest:AkademiaiKiado,pp.267-281.

Agiakloglou,C.,andP.Newbold,1992,EmpiricalEvidenceonDickey-FullerTypeTests.[J]JournalofTimeseriesAnalysis,13,471-483.

Hall,A.,1994,TestingforaUnitRootinTimeSeriesWithPretestDataBasedModelSelection.[J]JournalofBusiness&EconomicStatistics,12,461-470.

Harris,R.I.D.,1992,TestingforUnitRootsUsingtheAugmentedDickey-FullerTest.[J]EconomicLetters,38,381-386.

Hannan,E.andB.Quinn,1979,TheDeterminationoftheOrderofanAutoregression.[J]JournaloftheRoyalStatisticalSociety,Ser.B,41,190-195.

Lewis,R.,andG.C.Reinsel,1985,PredictionofMultivariateTimeSeriesbyAutoregressiveModelFitting.[J]JournalofMultivariateAnalysis,16,393-411.

Ng,S.,andP.,Perron1995,UnitRoottestsinARMAModelsWithData-DependentMethodsfortheSelectionoftheTruncationLag.[J]JournaloftheAmericanStatisticalAssociation,90,268-281.

Ng,S.,andP.,Perron2001,LagLengthSelectionandtheConstructionofUnitRootsTestsWithGoodSizeandPower.[J]Econometrica,69,1519-1554.

Ng,S.,andP.,Perron2005,Practitioners’Corner:ANoteontheSelectionofTimeSeriesModels.[J]OxfordBulletinofEconomicsandStatistics,67,115-134.

[10]Phillips,P.C.B.,andP.Perron,1988,TestingforaUnitRootinTimeSeriesRegression.[J]Biometrika,75,335-346.

[11]Weber,C.E.,1998,Data-DependentCriteriaforLagLengthSelectioninAugmentedDickey-FullerRegressions:aMonteCarloAnalysis.[J]UnpublishedWorkingPaper,SeattleUniversity.

[12]Weber,C.E.,2001,F-testsforLagLengthSelectioninAugmentedDickey-FullerRegressions:SomeMonteCarloEvidence.[J]AppliedEco