微積分下2第十章

思考題1.寫出微分方程

y

-

4

y

+

4

y

=

6

x2

+

8e2

x的待定特解的形式.2.寫出微分方程y￠+

4

y￠=

2

cos2

(2

x)的待定特解的形式.思考題解答2.設

y

-

4

y的特解為2+

4

y

=

6

x*1y2

xy

-

4

y

+

4

y

=

8e設 的特解為*2y21則所求特解為

y*

=

y*

+

y*

r

2

-

4r

+

4

=

0=

21,2特征根r\

y*

=

Ax2

+

Bx

+

C12y*

=Dx2e2

x（重根）21y*

=

y*

+

y*=

Ax

2

+

Bx

+

C

+

Dx

2

e

2

x

.思考題解答3.原方程可化為

y

+

4

y

=

1

+

cos

4

x21則所求特解為

y*

=

y*

+

y*

r

2

+

4r

=

0特征根

r1

=

0，r2

=

－4\

y*

=

Ax1y*

=

B

cos

4

x

+

C

sin

4

x2=

Ax

+

B

cos

4

x

+

C

sin

4

x設 的特解為1y*y

+

4

y

=

1設

y

+

4

y

=

cos

4

x*的特解為

2y21\

y*

=

y*

+

y*一、差分的概念二、差分方程的概念三、常系數(shù)線性差分方程解的結構四、小結第六節(jié)差分與差分方程的概念

常系數(shù)線性差分方程解的結構一、差分的概念1.差分的定義設函數(shù)y

=f

(x).當x取非負整數(shù)時，函數(shù)值可以排成一個數(shù)列:f

(0)，f

(1)，，f

(

x)，f

(

x

+

1)，將之簡記為y0，y1，y2，，y

x，yx

+1

,稱函數(shù)的改變量

yx

+1

-

yx

為函數(shù)y的差分，也稱為一階差分，記為

Δ

yx

=

yx

+1

-

yx

.函數(shù)y

=f

(x)的二階差分為函數(shù)y的一階差分的差分,即Δ2

y

=

Δ(Δ

y

)

=

Δ(

y

-

y

)x

x x

+1

x=

(

yx

+2

-

yx

+1

)

-

(

yx

+1

-

yx

)=

yx

+2

-

2

yx

+1

+

yx同樣可定義三階、四階差分：D3

y

=

D(D2

y

),

D4

y

=

D(D3

y

)x

x

x

x高階差分：二階及二階以上的差分.例1求D(x

2

),D2

(x

2

),D3

(x

2

).解設y

=x

2，則2

2

2Dyx

=

D(

x

)

=

(

x

+

1)

-

x

=

2

x

+

1D2

y

=

D2

(

x

2

)

=

D(2

x

+

1)x=

[2(

x

+

1)

+

1]-

(2

x

+

1)

=

2D3

y

=

D3

(

x

2

)

=

2

-

2

=

0x解

(1)Dyx

=

yx

+1

-

yx例2求下列函數(shù)的差分(1)

y

=

loga

x;

(2)

y

=

sinax=

loga

(

x

+

1)

-

loga

xxa=

log

(1

+

1

);.a22=

2

cos

a(

x

+

1

)

sin=

sin

a(

x

+

1)

-

sin

ax(2)Δ

yx解Dyx

=

yx

+1

-

yx=

(

x

+

1)!-

x!=

x

x!D2

y

=

D(Dy

)=

D(x

x!)x

x=

(x

+

1)

(x

+

1)!-

x

x!=

x

2

+

x

+

1)x!例3

求y

=

x!

的一階差分，二階差分

.解(

n) (

n)Dyx

=

(

x

+

1)

-

x=

(

x

+

1)

x(

x

-1)(

x

+

1

-

n

+

1)

-

x(

x

-1)(

x

-

n

+

2)(

x

-

n

+

1)=

(

x

+

1)

-(

x

-

n

+

1)]x(

x

-1)(

x

-

n

+

2)=

nx(

n-1)(

n)=

1，求Δ

yx

(即Δ(

x

)).x

(0)例4

設y

=

x

(

n)

=

x(

x

-

1)(

x

-

2)(

x

-

n

+

1),（公式）2.差分的四則運算法則D(Cyx

)=CDyx

(C為常數(shù))D(

yx

+

zx

)

=

Dyx

+

DzxD

yx

zx

)=

yx

+1Dzx

+

zx

Dyx

=

yx

Dzx

+

zx

+1Dyxx x

+1x x

+1=zx

Dyx

-

yx

Dzx

=

x

(4)Dz

yx

z

zzx

+1Dyx

-

yx

+1Dzxz

z參照導數(shù)的四則運算法則學習D

yx

zx

)zxzx

+1

+

yx

zx

+1

-

yxzx

+1

-

yxzx

+1

-

yx=

yx

+1=

yx

+1zxyx

+1

-

yx

)zx

+1

+

yx

zx

+1

-

zx

)==

z

x

+1Δ

yx

+

yxΔ

z

x證明（3）zx

)zxzx

+1

-

yxD

yx=

yx

+1=

yx

+1zx

-

yx

zxzx

+1

-

yx

+1

zx

+

yx

+1又證明（3）zx

+1

-

zx

)+

yx

+1

-

yx

)

zx=

yx

+1=

yx

+1Δ

z

x

+

z

xΔ

yx分析設y

=

x

3，求Δ3

y

.xy

=

x

3=

x(

x

-

1)(

x

-

2)

+

3

x(

x

-

1)

+

x例5=

x(3)

+

3

x(2)

+

x(1)Dx(

n)

=

nx(

n-1)借助公式和差分的運算法則可求解D3

y

=

DD(Dy

)x

x=

DD(Dx(

3)

+

3Dx(

2)

+

Dx(1)

)=

DD[3

x(

2)

+

6

x(1)

+

x(0)

]=

D[3Dx(2)

+6Dx(1)

+D1]=

6Dx(1)

+

6Dx(0)

=

6.解設y

=

e

2

x，求Δ2

y

.xDyx

=

yx

+1

-

yx=

e2(x

+1)

-

e2

x例6e

2

-

1);=

e

2

x=

D

e

e2

-1)2

x(

)xxD2

y

=

D

Dy=

e2

-1)De2

x

=

e

2

x

(e

2

-

1)2

.二、差分方程的概念1.差分方程與差分方程的階定義1含有未知函數(shù)的差分

Δ

y

,Δ2

y

,的函數(shù)方程x

x稱為差分方程.形式：F

(

x,

y

,

Dy

,

D2

y

,,

Dn

y

)

=

0x

x

x

x定義2含有未知函數(shù)兩個或兩個以上時期的符號y

x

,y

x

+1

,的方程，稱為差分方程.形式：F

(x,yx

,yx

+1

,,yx

+n

)=0或G(

x,

yx

,

yx

-1

,,

yx

-n

)

=

0

(n

?

1)方程中未知數(shù)下標的最大值與最小值的差稱為差分方程的階.注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。如yx

+5

-4

yx

+3

+3

yx

+2

-2

=0是三階差分方程；D3

y

+y

+1

=0，雖然含有三階差分，x

x但實際上是二階差分方程，由于該方程可以化為yx

+3

-3

yx

+2

+3

yx

+1

+1

=0因此它是二階差分方程，事實上，作變量代換t

=x

+1，即可寫成yt

+2

-

3

yt

+1

+

3

yt

+

1

=

0.例

7

下列等式是差分方程的有(

).C

.D2

y

=

y

-

2

y

+

yx x

+2

x

+1

xD.

yx

-

2

yx

-1

+

3

yx

-2

=

4解由差分方程的定義有：A,D是差分方程.B的左端

-

3Dyx

=

-3(

yx

+1

-

yx

)

=

-3

yx

+1

+

3

yx，x則等式實為-3

yx

+1

=a

，僅含一個時期的函數(shù)xB.

-

3Dyx

=

3

yx

+

aA.2Dyx

=

yx

+

x值y

，故不是差分方程

.而C的左端D2

y

=D(yx

+1

-yx

)=Dyx

+1

-Dyx

=yx

+2

-2

yx

+1

+yx，恰好等于右端，故不是差分方程.x

+1

x例8確定下列方程的階2(1)

yx+3

-

x

yx+1

+

3

yx

=

2(2)

yx-2

-

yx-4

=

yx+2解(1)

x

+

3

-

x

=

3，\(1)是三階差分方程；(2)

x

+

2

-

(

x

-

4)

=

6，\(2)是六階差分方程.2.差分方程的解如果函數(shù)y

=φ(x)代入差分方程后，方程兩邊恒等，則稱此函數(shù)為該差分方程的解.差分方程的通解含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相同的差分方程的解.為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時刻所處狀態(tài)，對差分方程所附加的條件.差分方程的特解通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解.例9

yx

,Ux

,Zx分別是下列差分方程的解

yx

+1

+ayx

=f1

(x),yx

+1

+ayx

=f2

(x),yx

+1

+ayx

=f3

(x)初始條件證明

由題設知：yx+1

+

ayx

=

f1

(

x)Ux+1

+

aU

x

=

f2

(

x)Zx+1

+

aZ

x

=

f3

(

x)\

Vx+1

+

aVx

=

yx+1

+

ayx

+

Ux+1

+

aUx

+

Zx+1

+

aZ

x=

f1

(

x)

+

f2

(

x)

+

f3

(

x)\

Vx

是所給差分方程的解

.求證Vx

=

yx

+

Ux

+

Zx是差分方程yx

+1

+ayx

=f1

(x)+f2

(x)+f3

(x)的解.三、常系數(shù)線性差分方程解的結構n階常系數(shù)齊次線性差分方程的標準形式y(tǒng)x

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1yx

+1

+

an

yx

=

0n階常系數(shù)非齊次線性差分方程的標準形式y(tǒng)x

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f

(x)f

(x)?

0(1)(2)注：(1)為(2)所對應的n階常系數(shù)齊次線性差分方程.yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1yx

+1

+

an

yx

=

01.

n階常系數(shù)齊次線性差分方程解的結構(1)無法顯示該圖片。定理

1

如果函數(shù)

y1

(

x),

y2

(

x),

，y

k

(

x

)

是方程(1)的k

個解,那末

y

=

C1

y1

+

C2y2

++

Ck

yk

也是(1)的解.（

C1

,

C2，，Ck

是任意常數(shù)）問題:若k

=n，則y

=C1y1

+C2y2

++Ck

yk

一定是通解嗎？是任意常數(shù)）（

C1

,

C2，，Cn注：設y1

,y2

,

,yn

為定義在區(qū)間I

內(nèi)的n個函數(shù)．如果存在n個不全為零的常數(shù)，使得當x

在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立k1

y1

+

k2

y2

+

+

kn

yn

=

0那么稱這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關；否則稱線性無關.定理2：如果y1

(x),y2

(x)，，yn

(x)是方程(1)的n個線性無關的特解,那么y

=C1

y1

+C2

y2

+

+Cn

yn就是方程(1)的通解.例如當x

?

(-￥

,+￥

)時，e

x，e-

x

,

e2

x線性無關1，cos2

x, sin2

x

線性相關由此可見，要求出n階常系數(shù)齊次線性差分方程（1）的通解，只需求出其n個線性無關的特解.2.

n階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的結構*定理

3

設

yx

是n

階常系數(shù)非齊次線性差分方程*yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f

(x)(2)的一個特解,

Yx

是與(2)對應的齊次方程(1)的通解,

那么

yx=

Yx

+

yx

是n

階常系數(shù)非齊次線性差分方程(2)的通解.由此可見，要求出n階常系數(shù)非齊次線性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個特解即可.定理

4

設非齊次方程(2)的右端

f

(

x)是幾個函數(shù)之和,

如yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f1

(x)+

f2

(x)而*

與1

2y

y*

分別是方程,*

*1

2y

+

y的特解,

那么

就是原方程的特解.yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f1

(x)

yx

+n

+

a1

yx

+n-1

+

+

an-1

yx

+1

+

an

yx

=

f2

(x)證明

把函數(shù)y

=

C

+

2

x代入差分方程yx

+1

-

yx

=

2，則左邊

=

[C

+

2(x

+

1)]-

(C

+

2

x)=

2

=

右邊，所以y

=

C

+

2

x是差分方程yx

+1

-

yx

=

2的解，它又含有一個任意常數(shù)，而所給差分方程又是一階的，故y

=C

+2

x是該差分方程的通解.例10驗證：y

=C

+2

x是差分方程

y

x

+1

-

y

x

=

2的通解.四、小結差分的定義差分方程與差分方程的階差分方程的解、定解條件和通解4.常系數(shù)線性差分方程解的結構練習題1.設y

=a

x，求Dy

x.2.設y

=x

2

+2

x，求D2

y.下列等式是差分方程的

有（）A、-

3

yx

=

3

yx

+

a

x

,

B、D2

yx