全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題

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全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(一)

（命題人：吳偉朝）

第一試

一、選擇題：（每小題6分，共36分）

1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2滿足c≤20的正整數(shù)解(a,b,c)的個(gè)數(shù)是

（A）1（B）3（C）4（D）5

2、函數(shù)（x∈R，x≠1）的遞增區(qū)間是

（A）x≥2（B）x≤0或x≥2

（C）x≤0（D）x≤或x≥

3、過定點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使△AOB（O為原點(diǎn)）的面積最小，則l的方程為

（A）x＋y－3＝0（B）x＋3y－5＝0

（C）2x＋y－5＝0（D）x＋2y－4＝0

4、若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x，則參數(shù)a的取值范圍是

（A）0≤a＜1（B）－3≤a＜1

（C）a＜1（D）0＜a＜1

5、數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項(xiàng)是

（A）42（B）45（C）48（D）51

6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，滿足條件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的個(gè)數(shù)是

（A）8（B）10（C）14（D）16

二、填空題：（每小題9分，共54分）

1、[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則方程×[x2＋x]＝19x＋99的實(shí)數(shù)解x是（）．

2、設(shè)a1＝1，an+1＝2an＋n2，則通項(xiàng)公式an＝（）．

3、數(shù)799被2550除所得的余數(shù)是（）．

4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，則cosC＝（）．

5、設(shè)k、是實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的兩個(gè)根為sin和cos，則的取值范圍是（）．

6、數(shù)（n∈N）的個(gè)位數(shù)字是（）．

三、（20分）

已知x、y、z都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且x＋y＋z＝1．

求證：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并確定等號(hào)成立的條件．

四、（20分）

（1）求出所有的實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程x2＋(a＋2023)x＋a＝0的兩根皆為整數(shù)．

（2）試求出所有的實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三個(gè)整數(shù)根．

五、（20分）

試求正數(shù)r的最大值，使得點(diǎn)集T＝{(x,y)x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一個(gè)點(diǎn)集S＝{(x,y)x、y∈R，且對(duì)任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中．

第二試

一、（50分）

設(shè)a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是復(fù)數(shù)，且z2－(a－c)z－b＝0．

求證：的充分必要條件是(a－c)2＋4b≤0．

二、（50分）

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是銳角，D是BC邊上的內(nèi)點(diǎn)，且AD平分∠BAC，過點(diǎn)D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交與點(diǎn)K．求證：

（1）AK⊥BC；

（2），其中表示△ABC的面積．

三、（50分）

給定一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)n個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,…,an滿足下列n個(gè)方程：

．

確定和式的值（寫成關(guān)于n的最簡(jiǎn)式子）．

參考答案

第一試

一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

C

C

D

A

B

D

二、填空題：

1、或；2、7×2n-1－n2－2n－3；

3、343；4、；

5、{＝2n＋或2n－，n∈Z}；6、1（n為偶數(shù)）；7（n為奇數(shù)）．

三、證略，等號(hào)成立的條件是或或或．

四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．

五、rmax＝．

第二試

一、證略（提示：直接解出，通過變形即得充分性成立，然后利用反證法證明必要性）．