漸近法有力矩分配法

關(guān)于漸近法有力矩分配法第1頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖9-1它表示桿端對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力，在數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)需要施加的力矩。如圖9-1(a)所示單跨梁，A端為鉸結(jié)，B端為固定端，當(dāng)A端(又稱近端)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，需要施加的力矩為4i

，即轉(zhuǎn)動(dòng)剛度,若把A端也改為固定端如圖9-1(d)所示，當(dāng)A支座發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)，引起A端的桿端彎矩仍為4i第2頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三由此可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB的數(shù)值不但與桿件的線剛度i有關(guān)，而且與B端(又稱遠(yuǎn)端)的支承情況有關(guān)。圖9-1給出了遠(yuǎn)端為不同支承時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB的值，遠(yuǎn)端的桿端彎矩也標(biāo)在相應(yīng)的圖上。2．傳遞系數(shù)C

由圖9-1知，當(dāng)近端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角jA=1時(shí)，遠(yuǎn)端也產(chǎn)生桿端彎矩MBA，遠(yuǎn)端桿端彎矩MBA與近端桿端彎矩MAB之比稱為傳遞系數(shù)，用C表示，即。對(duì)于等截面桿件，傳遞系數(shù)C與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)，具體數(shù)值如下：遠(yuǎn)端固定C=1/2

遠(yuǎn)端鉸結(jié)C=0

遠(yuǎn)端定向C=-1第3頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三遠(yuǎn)端彎矩，也稱為傳遞彎矩，用MC表示

3．分配系數(shù)

圖9-2所示剛架，A為剛結(jié)點(diǎn)，B、C、D端分別為固定、定向及鉸結(jié)。設(shè)在A結(jié)點(diǎn)作用一集中力偶M，剛架產(chǎn)生圖中虛線所示變形，匯交于A結(jié)點(diǎn)的各桿端產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角均為jA，各桿桿端彎矩由轉(zhuǎn)動(dòng)剛度定義可知(a)取結(jié)點(diǎn)A為隔離體，見圖9-2(b)，由平衡方程可得第4頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三

M-MAB-MAC-MAD=0M=MAB+MAC+MAD=(SAB+SAC+SAD)=M/(SAB+SAC+SAD)=M/

(c)式中表示匯交于A結(jié)點(diǎn)各桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的總和。將(b)式代入(a)式(b)第5頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三式中mAB、mAC、mAD稱為分配系數(shù),就相當(dāng)于把結(jié)點(diǎn)力矩M按各桿轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的大小比例分配給各桿的近端,所得的近端彎矩稱為分配彎矩，用Mm表示。其中匯交于A結(jié)點(diǎn)各桿端分配系數(shù)之和為1,即。遠(yuǎn)端桿端彎矩MBA=MAB/2、MCA=-MAC、MDA=0，是由分配彎矩乘傳遞系數(shù)而得,即為傳遞彎矩。

4．力矩分配法的基本原理以圖9-3(a)為例進(jìn)行說(shuō)明:

（1）設(shè)想在B結(jié)點(diǎn)加上一個(gè)剛臂阻止B結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖9-3(b)所示。此時(shí)只有AB跨受荷載作用產(chǎn)生變形,相應(yīng)的桿端彎矩MFAB、MFAB即為固端彎矩、,附加剛臂的反力矩可取B結(jié)點(diǎn)為隔離體而得：第6頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三ΣMB=0MB是匯交于B結(jié)點(diǎn)各桿端固端彎矩代數(shù)和,它是未被平衡的各桿固端彎矩的差值,故稱為B結(jié)點(diǎn)上的不平衡力矩,以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。圖9-3第7頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三（2）原連續(xù)梁B結(jié)點(diǎn)并無(wú)附加剛臂,取消剛臂的作用讓B結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),就相當(dāng)于在B結(jié)點(diǎn)加上一個(gè)反向的不平衡力矩如圖9-3(c)所示。這時(shí)匯交于B結(jié)點(diǎn)的各桿端產(chǎn)生的彎矩,,即前面所述的分配彎矩。在遠(yuǎn)端產(chǎn)生的桿端彎矩即傳遞彎矩MC，它是由各近端的分配彎矩乘以傳遞系數(shù)得到的。（3）將圖9-3(b)、(c)兩種情況疊加,就得到圖9-3(a)所示連續(xù)梁的受力及變形。如桿端彎矩以上就是力矩分配法的基本思路,概括來(lái)說(shuō):先在B結(jié)點(diǎn)加上附加剛臂阻止B結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),把連續(xù)梁看作兩個(gè)單跨粱,求出各桿的固端彎矩MF,此時(shí)剛臂承受不平衡力矩MB(各桿固端彎矩的代數(shù)和),然后去掉第8頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三附加剛臂,即相當(dāng)于在B結(jié)點(diǎn)作用一個(gè)反向的不平衡力矩(-MB)，求出各桿端的分配彎矩及傳遞彎矩MC，疊加各桿端彎矩即得原連續(xù)梁各桿端的最后彎矩。連續(xù)梁的M、FS圖及支座反力則不難求出。用力矩分配法作題時(shí),不必繪圖9-3(b)、(c)所示圖,而是按一定的格式進(jìn)行計(jì)算,即可十分清晰地說(shuō)明整個(gè)計(jì)算過(guò)程,舉例如下。例9-1用力矩分配法計(jì)算圖9-4(a)所示連續(xù)梁的M圖。EI=常數(shù)。第9頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖9-4第10頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三

解:(1)計(jì)算分配系數(shù)

m，設(shè)i=EI/24，則

iAB=EI/8=3i

iBC=EI/6=4i

將分配系數(shù)寫在B結(jié)點(diǎn)下方的方框內(nèi)。

(2)計(jì)算各桿端的固端彎矩MF(查表8-1)。

第11頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三寫在各桿端下方MF一行。

(3)B結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩為：MB=64-90=-26kN·m，將其反號(hào)進(jìn)行分配,得各桿端的分配彎矩。

寫在B結(jié)點(diǎn)下方一行,并畫一橫線表示B結(jié)點(diǎn)已放松獲得平衡。

(4)各桿遠(yuǎn)端的傳遞彎矩MC的計(jì)算。寫在對(duì)應(yīng)的桿端下方MC一行,并用箭頭表示彎矩的傳遞方向。第12頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三(5)最后桿端彎矩的計(jì)算。將其寫在各桿端下方M一行,并用雙橫線表示計(jì)算的最后結(jié)果。由于在計(jì)算分配彎矩時(shí),已使結(jié)點(diǎn)保持平衡,在最后M圖校核中,利用ΣMB=0只能校核分配過(guò)程有無(wú)錯(cuò)誤,而對(duì)分配系數(shù)、固端彎矩MF計(jì)算是否有誤則必須考慮變形條件的校核。最后彎矩圖見圖9-4(b)所示。第13頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三為了計(jì)算更加簡(jiǎn)單起見,分配彎矩Mμ,及傳遞彎矩MC的具體算式可不必另寫,而直接在圖9-4表格上進(jìn)行即可.例9-2計(jì)算圖9-5(a)所示剛架的M圖。解:(1)計(jì)算分配系數(shù)m。設(shè)i=EI/4,iAB=EI/4=i,iAC=EI/4=i,iAD=2EI/4=2i。(2)計(jì)算固端彎矩M第14頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三第15頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖9-5第16頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三

(3)分配、傳遞均在圖9-5(b)上進(jìn)行。

(4)繪M圖，如圖9-5(c)所示。A結(jié)點(diǎn)滿足

ΣMA=55.55+11.67-67.22=0

§9-3用力矩分配計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架上節(jié)以只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角說(shuō)明了力矩分配法的基本原理。對(duì)于有多個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角但無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移(如兩跨以上連續(xù)梁、無(wú)側(cè)移剛架),只需依次對(duì)各結(jié)點(diǎn)使用上節(jié)方法便可求解。下面用圖9-6(a)所示三跨連續(xù)梁來(lái)說(shuō)明用逐次漸近的方法計(jì)算桿端彎矩的過(guò)程。第17頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三首先將B、C兩結(jié)點(diǎn)同時(shí)固定,計(jì)算分配系數(shù)：由于各跨及EI均為常數(shù),故線剛度均為,則。分配系數(shù)為:B結(jié)點(diǎn)：mBA=4i/(4i+4i)=1/2,m

BC=4i/(4i+4i)=1/2C結(jié)點(diǎn)：mCB=4i/(4i+3i)=4/7,mCD=3i/(4i+3i)=3/7再計(jì)算各桿的固端彎矩MF：第18頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三將以上數(shù)據(jù)填到圖9-6相應(yīng)欄中,此時(shí)B、C結(jié)點(diǎn)均有不平衡力矩,為消除這兩個(gè)不平衡力矩,位移法中是令B、C同時(shí)產(chǎn)生和原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角,即同時(shí)放松B、C結(jié)點(diǎn)讓它們一次轉(zhuǎn)到實(shí)際的平衡位置,在計(jì)算中就是意味著解聯(lián)立方程,而在力矩分配法中,為了避免解聯(lián)立方程,只能將各結(jié)點(diǎn)輪流放松,用逐次漸近的方法使B、C結(jié)點(diǎn)達(dá)到平衡位置。第一步放松C結(jié)點(diǎn)。C結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，將其反號(hào)分配：第19頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖9-6第20頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三將它們填入圖中對(duì)應(yīng)位置,C結(jié)點(diǎn)暫時(shí)獲得平衡,在分配彎矩下面畫一橫線表示平衡(C結(jié)點(diǎn)雖然轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度,但還未到最后位置),將C結(jié)點(diǎn)暫時(shí)再固定。分配彎矩應(yīng)向各自的遠(yuǎn)端進(jìn)行傳遞,傳遞彎矩為：填入圖中相應(yīng)位置。再看B結(jié)點(diǎn)，它的不平衡力矩應(yīng)為原固端彎矩再加上由結(jié)點(diǎn)C傳遞過(guò)來(lái)的傳遞彎矩之和：MB=80-60+8=+28kN·m。放松B結(jié)點(diǎn)，即將上述不平衡力矩反號(hào)進(jìn)行分配。并同時(shí)向遠(yuǎn)端傳遞第21頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三將上述各數(shù)據(jù)填入圖中相應(yīng)位置，B結(jié)點(diǎn)此時(shí)亦暫告平衡，仍在分配彎矩?cái)?shù)值下面畫一橫線。將B結(jié)點(diǎn)暫時(shí)固定(B結(jié)點(diǎn)此時(shí)也未轉(zhuǎn)到最后位置)。C、B兩結(jié)點(diǎn)各放松一次稱為第一輪計(jì)算。第二步再放松C結(jié)點(diǎn)。C結(jié)點(diǎn)由于傳遞彎矩=-7kN·m又產(chǎn)生了不平衡力矩，放松C結(jié)點(diǎn)，即在C結(jié)點(diǎn)加上一個(gè)反向的不平衡力矩進(jìn)行分配、傳遞，暫時(shí)再將C結(jié)點(diǎn)固定。此時(shí)B結(jié)點(diǎn)由于也產(chǎn)生了不平衡力矩，再放松B結(jié)點(diǎn)進(jìn)行分配、傳遞。

…………第22頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三如此反復(fù)將各結(jié)點(diǎn)輪流進(jìn)行放松、固定，不斷進(jìn)行分配、傳遞，直到傳遞彎矩的數(shù)值小到按計(jì)算精度要求可以不計(jì)時(shí)，即可停止計(jì)算(最后應(yīng)停止在分配彎矩這一步，而不再向遠(yuǎn)端傳遞)。最后彎矩圖見圖9-6(b)所示。由于分配系數(shù)m及傳遞系數(shù)C均不大于1，故在上述計(jì)算中，隨計(jì)算輪次的增加，數(shù)值愈來(lái)愈小。為使計(jì)算收斂的更快，一般首先從不平衡力矩(絕對(duì)值)數(shù)值最大的結(jié)點(diǎn)開始分配、傳遞。當(dāng)結(jié)點(diǎn)多于2個(gè)時(shí)，可同時(shí)放松不相鄰的各結(jié)點(diǎn)，也同樣可加快收斂的速度。第23頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三圖9-7第24頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三例9-3

用力矩分配法計(jì)算圖9-7(a)所示連續(xù)梁的M圖。解：本題的特點(diǎn)是DE為懸臂部分；B結(jié)點(diǎn)有一集中力偶m=6kN·m。如何處理分述如下：右端懸臂部分DE內(nèi)力為靜定，可由靜力平衡條件求出，若將其切去以截面的彎矩和剪力作為外力施加于結(jié)點(diǎn)D上，則D結(jié)點(diǎn)便可作為鉸支端進(jìn)行處理，如圖9-7(b)所示。(1)計(jì)算分配系數(shù)m

：設(shè)，則，

B結(jié)點(diǎn)：第25頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三C結(jié)點(diǎn)：(2)固端彎矩。

(3)進(jìn)行分配、傳遞。結(jié)點(diǎn)B有集中力偶m作用，在計(jì)算B結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩時(shí)，除了固端彎矩、及傳遞彎矩外，還應(yīng)加上結(jié)點(diǎn)荷載——集中力偶m(m是作用在結(jié)點(diǎn)上的荷載，其方向應(yīng)以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，即第26頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三

MB=+12-36-13.82-6=-43.82kN·m將上述不平衡力矩反號(hào)進(jìn)行分配。在圖9-7中用括號(hào)將m值寫在B結(jié)點(diǎn)下方，加括號(hào)是防止在計(jì)算最后彎矩時(shí)，把這個(gè)結(jié)點(diǎn)荷載m加到某根桿的桿端彎矩中。分配、傳遞的過(guò)程為CBCBCBCB。

(4)最后M圖，見圖9-7(c)所示。例9-4

用力矩分配法作圖9-8(a)所示剛架M圖。EI=常數(shù)。圖9-8第27頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三

解：用力矩分配法計(jì)算剛架的桿端彎矩時(shí)，對(duì)于簡(jiǎn)單的剛架，可直接在計(jì)算簡(jiǎn)圖上進(jìn)行，如例9-2。但當(dāng)結(jié)構(gòu)桿件比較多時(shí)，采用表格的形式比較方便。表格的格式有多種，現(xiàn)推薦下面的格式供讀者參考。

(1)計(jì)算分配系數(shù)。

B結(jié)點(diǎn)：同理，mBD=1/3,mBC=1/3C結(jié)點(diǎn)：同理，mCB=1/2

(2)固端彎矩。第28頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三

(3)分配傳遞過(guò)程CBCBC，見表9-1。

(4)最后M圖，如圖9-8(b)所示。第29頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三表9-1桿端彎矩的計(jì)算本章介紹的力矩分配法只適應(yīng)于無(wú)結(jié)點(diǎn)結(jié)線位移且各結(jié)點(diǎn)均為剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。第30頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三§

9-4無(wú)剪力分配法1．適用范圍無(wú)剪力分配法適合計(jì)算某些特定條件下的有側(cè)移剛架，即剛架是由兩類桿件組成：（1）無(wú)側(cè)移桿，兩桿端無(wú)相對(duì)線位移，（2）剪力靜定桿。2．計(jì)算步驟（1）固定結(jié)點(diǎn)。只加剛臂阻止結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，而不加鏈桿阻止結(jié)點(diǎn)的移動(dòng)，如圖9-9b所示。對(duì)剪力靜定桿來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于一端固定、一端滑動(dòng)的梁，計(jì)算固端彎矩（9-6）第31頁(yè)，講稿共37頁(yè)，2023年5月2日，星期三結(jié)點(diǎn)B的不平衡力矩暫時(shí)由剛臂承受。（2）放松結(jié)點(diǎn)。為了消除剛臂上的不平衡力矩，現(xiàn)在來(lái)放松結(jié)點(diǎn)，