簡諧運動的回復力和能量、單擺知識講解提高練習

簡諧運動的回復力和能量、單擺

編稿：張金虎審稿：李勇康

【學習目標】

1.掌握簡諧運動的動力學特征，明確回復力的概念。

2.知道簡諧運動是一種沒有能量損耗的理想情況。

3.理解簡諧運動過程中位移、回復力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況。

4.知道什么是單擺。

5.理解擺角很小時單擺的振動是簡諧運動。

6.知道單擺的周期跟什么因素有關，了解單擺的周期公式，并能用來進行有關的計算。

【要點梳理】

要點一、簡諧運動的回復力、能量

1.回復力

物體振動時受到的回復力的方向總是指向平衡位置，即總是要把物體拉回到平衡位置的力稱為回

復力.

F=一kx.

要點詮釋：(1)負號表示回復力的方向是與位移方向相反.(2)%為尸與x的比例系數(shù)，對于彈

簧振子，女為勁度系數(shù).(3)對水平方向振動的彈簧振子，回復力由彈簧的彈力提供：對豎直方向振

動的彈簧振子，回復力由彈簧的彈力與重力兩力的合力提供.(4)物體做簡諧運動到平衡位置時，回

復力為0(但合力可能不為0).(5)回復力大小隨時間按正弦曲線變化.

2.簡諧運動的能量

(1)彈簧振子運動的任意位置，系統(tǒng)的動能與勢能之和都是一定的，即振動過程中機械能守恒.

(2)水平方向的振子在平衡位置的機械能以動能的形式出現(xiàn)，勢能為零；在位移最大處勢能最大,

動能為零.

E

振子的彈簧的

動能彈性勢能總能量E

(3)簡諧運動中系統(tǒng)的動能與勢能之和稱為簡諧運動的能量，即￡=,加2。

2

(4)簡諧運動中的能量跟振幅有關，振幅越大，振動的能

量越大.

(5)在振動的一個周期內(nèi)，動能和勢能間完成兩次周期性變化，經(jīng)過平衡位置時動能最大，勢能

最小；經(jīng)過最大位移處時，勢能最大，動能最小.

要點二、簡諧運動的特征

1.物體做簡諧運動的三個特征

(1)振動圖像是正弦曲線；

(2)回復力滿足條件歹=一質(zhì);

(3)機械能守恒.

2.簡諧運動的判定方法

（1）簡諧運動的位移一時間圖像是正弦曲線或余弦曲線.

（2）故簡諧運動的物體所受的力滿足/=一日，即回復力E與位移x成正比且方向總相反.

（3）用F=一日判定振動是否是簡諧運動的步驟：

①對振動物體進行受力分析；

②沿振動方向?qū)αM行合成與分解；

③找出回復力，判斷是否符合b=一日.

要點三、簡諧運動的運動特點

1.簡諧運動的加速度分析方法

簡諧運動是一種變加速的往復運動，由。=-七無知其加速度周期性變化，“一”表示加速度的方

m

向與振動位移x的方向相反，即總是指向平衡位置，。的大小跟x成正比.

2.簡諧運動的運動特點

位移X回復力b加速度a速度U勢能動能

物體

方方方方

位置大小大小大小大小E,Ek

向向向向

平衡

零零零零Ekm

位置。

指指指

最大位kA

向A向kA向零Epm零

移處Mm

M00

指指指指

O^M向零一A向零一公向零一一向Vm—零零一Epm零

m

M00M

指指指指

kA中

MfO向Af零向公一零向----＞冬向零一曦EpmT■零工零一4

m

M000

通過上表不難看出：位移、回復力、加速度三者同步變（t,與速度的變4二相反.通過上表可看出

兩個轉(zhuǎn)折點：平衡位置。點是位移方向、加速度方向和回復力方向變化的轉(zhuǎn)折點；最大位移處是速度

方向變化的轉(zhuǎn)折點.還可以比較出兩個過程的不同特點，即向平衡位置?？拷倪^程及遠離平衡位置

。的過程的不同特點：靠近。點時速度大小變大，遠離。點時位移、加速度和回復力大小變大

3.彈簧振子在光滑斜面上的振動

光滑斜面上的小球連在彈簧上，把原來靜止的小球沿斜面拉下一段距離后釋放，小球的運動是簡

諧運動.

分析如下：

如圖所示，小球靜止時彈簧的伸長量為

mgsin0

xo=；，

K

往下拉后彈簧相對于靜止位置伸長X時，物體所受回復力

F=一4(而+x)+777gsine=—kx.

由此可判定物體是做簡諧運動的.

要點四、單擺

1.單擺

單擺指在一條不可伸長的，又沒有質(zhì)量的線的下端系一質(zhì)點所形成的裝置.單擺是實際擺的理想

化的物理模型.實際擺可視為單擺的條件：細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相

比也可以忽略.

實際擺輪看成單把的條件是:

(1)接長遠大于接球的直徑.

⑵排球的質(zhì)量還大于擺蝶

的質(zhì)量.

⑶把長遠大于接動中接線

的最大伸長量.

單接結(jié)構(gòu)的理想模型：

接動中接⑴把線不修伸長.

統(tǒng)的最大⑵擺線質(zhì)量為零.

伸長量(3)接球為質(zhì)點.

一個很輕的細線系著一個有質(zhì)量的質(zhì)點，這個模型叫做單擺.在實驗室里，如果懸掛物體的細線

的伸縮和質(zhì)量可以忽略，細線的長度比物體的直徑大得多，這樣的裝置就叫做單擺.

單擺做簡諧運動的條件：

小球擺到最高點時，細線與豎直方向的夾角叫偏角.偏角很小時，單擺做簡諧運動.

2.單擺做簡諧運動的回復力

單擺做簡諧運動的回復力是由重力沿圓弧切線的分力sin。提供(不要誤認為是擺

Y

球所受的合外力）.當。很小時，圓弧s可以近似地看成直線X,sine=—.切線的分力F可以近似

地看做沿這條直線作用，這時可以證明尸=—等》=-辰.

可見，在偏角很小的情況下，單擺振動時回復力跟位移成正比而方向相反，是簡諧運動.

3.單擺的周期公式

荷蘭物理學家惠更斯發(fā)現(xiàn)在偏角很小的情況下，單擺的周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加速

度的平方根成反比，而跟擺球的質(zhì)量和振幅無關，即

T=2萬

式中/為懸點到擺球球心間的距離，g為當?shù)氐闹亓铀俣?

（1）單擺的等時性：往振幅較小時，單擺的周期與單擺的振幅尤天，單擺的這種性質(zhì)叫單擺的等

時性.

（2）單擺的周期公式：由簡諧運動的周期公式

對于單擺

k=鱉,

I

所以

周期為2s的單擺，叫做秒擺，由周期公式

得秒擺的擺長

T2-g22X9.8

m?1m.

A_24x3.142

要點五、單擺的應用

1.單擺的應用

（1）計時器：利用單擺周期與振幅無關的等時性，制成計時儀器，如擺鐘等.由單擺周期公式知

道，調(diào)節(jié)單擺擺長即可調(diào)節(jié)鐘表快慢.

（2）測定重力加速度：把單擺周期公式變形，得g=4/〃T2,由此可知，只要測出單擺的擺長

和振動周期，就可以測出當?shù)氐闹亓铀俣萭。

2.如何理解單擺的周期公式

(1)等效擺長：擺長是指擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離，而不是一定為擺線的長.如圖中，

擺球可視為質(zhì)點，各段繩長均為/,甲、乙擺球做垂直紙面的小角度擺動，丙擺球在紙面內(nèi)做小角度

擺動，。'為垂直紙面的釘子，而且。0=—,則各擺的周期為

丙

/(sincu+1)

乙：等效擺長/'=/sina+/,T乙=2兀.

g

丙：擺線擺到豎直位置時，圓心就由。變?yōu)椤?，擺球振動時，半個周期擺長為/,另半個周期擺

(I\22//3

長為丁，即為：/，則單擺丙的周期為扁=兀戊/g+K

3Jg

(2)等效重力加速度g,g不一定等于9.8m/s2.

①g由單擺所在的空間位置決定.由g=G亮知,g隨所在地球表面的位置和高度的變化而變

化,高度越高，g的值就越小，另外,在不同星球上g也不同.

同一單擺，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同.

同一單擺，在不同的星球上，其周期也不相同.例如單擺放在月球上時，由于g月＜g地地，所以

同一單擺在月球上的周期比在地球上的周期大，但是水平彈簧振子不受g變化的影響而改變周期.

②g還由單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)決定，如單擺處在向上加速的升降機中，設加速度為。，則擺球處

于超重狀態(tài)，沿圓弧的切向分力變大，則重力加速度的等效值g'=(g+R,若升降機加速下降，則

重力加速度的等效值g'=(g—o).單擺若在軌道上運行的衛(wèi)星內(nèi)，擺球完全失重，回復力為零，等

效值g'=0,擺球不擺動了，周期無窮大.若擺球在擺動過程中突然完全失重，則擺球?qū)⒁阅菚r的速

率相對懸點做勻速圓周運動.

一般情況下，g'的值等于擺球相對于加速系統(tǒng)靜止在平衡位置時，擺球所受的張力戶與擺球質(zhì)量

機的比值.即，〃.

3.圓錐擺

如圖所示，用細線懸吊小球，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，即細線所掃過的面為圓錐面,

通常我們稱為圓錐擺，實質(zhì)上圓錐擺中的小球不是振動，是勻速圓周運動.

設運動過程中細線與豎直方向夾角為。，線長為/,則小球做圓周運動的半徑

r-1-sind,

向心力

耳句=mgtan8.

得圓錐擺的周期

IcosO

T=2i

顯然該周期小于單擺周期，所以在用單擺測重力加速度的實驗中，強調(diào)擺球必須在豎直面內(nèi)擺動.

4.擺鐘快慢問題的分析方法

擺鐘是單擺做簡諧運動的一個典型應用，其快慢不同是由擺鐘的周期變化引起的，分析時應注意:

(1)由擺鐘的機械構(gòu)造所決定，擺鐘每完成一次全振動。擺鐘所顯示的時間為一定值，也就是走

時準確的擺鐘的周期T。

(2)在擺鐘機械構(gòu)造不變的前提下，走時快的擺鐘，在給定時間內(nèi)全振動的次數(shù)多，周期小，鐘

面上顯示的時間快.走時慢的擺鐘，在給定時間內(nèi)全振動的次數(shù)少，周期大，鐘面上顯示的時間就慢.因

鐘面顯示的時間值總等于擺動次數(shù)N乘以準確擺鐘的周期7；,即/顯=可工，所以在同一時間f內(nèi)，

鐘面指示時間之比等于擺動次數(shù)之比.

(3)無論擺鐘走時是否準確，鐘面上顯示的時間值=N-7；,其中7；為走時準確擺鐘的周期，N

為全振動的次數(shù).同時對于走時不準確的擺鐘，要計算其全振動的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時間除

以其周期，而應以準確時間除以其周期，即雙非=〃看『

【例】甲、乙兩只相同的擺鐘同時計時，當甲擺鐘指示45min時，乙擺鐘已指示lh,則甲、乙

兩擺鐘的擺長之比/甲：/乙=。

【解析】設甲、乙兩擺鐘經(jīng)過的時間為r,周期分別為踴,、T乙,標準鐘的周期為則兩鐘在

f時間內(nèi)完成全振動次數(shù)為

N甲=〃琦,N乙=f/7^.

兩鐘顯不的時間為:

T=21

【答案】16:9

【說明】本題兩擺鐘所用時間相同，但顯示的時間各不相同，無法判斷哪只擺鐘準確，也可能都

不準確，但對同一只擺鐘每振動一次所顯示的時間是一樣的.擺鐘所顯示的時間就是擺的振動次數(shù)與

標準鐘的周期的乘積.

【典型例題】

類型-對簡諧運動的理解

例1.如圖所示，水平面的輕彈簧一端與物體相連，另一端固定在墻上P點，已知物體的質(zhì)量為

/〃=2.0kg,物體與水平面間的動摩擦因數(shù)〃=0.4,彈簧的勁度系數(shù)％=200N/m.現(xiàn)用力/拉物

體，使彈簧從處于自然狀態(tài)的。點由靜止開始向左移動10cm,這時彈簧具有彈性勢能=L0J,

物體處于靜止狀態(tài).若取g=10m/s2,則撤去外力F后（）.

/〃/VWWWWWWWWI

A.物體向右滑動的距離可以達到12.5cm

B.物體向右滑動的距離一定小于12.5cm

C.物體回到。點時速度最大

D.物體到達最右端時動能為0,系統(tǒng)機械能不為0

【答案】B、D

【解析】如圖所示，物體加由最大位移處釋放，在彈力作用下向右加速，由于受滑動摩擦力的作

用，物體向右運動時的平衡位置應在。點左側(cè)?！?

J—

AO'OA'

由平衡條件

/jmg=kx?

得

/==0.04m=4cm,

ok

即

OD=4cm

由簡諧運動的對稱性可知到達。點右側(cè)O'A'=6cm的A'點時物體速度減小為零，即

AA=12cm<12.5cm,

A項錯誤，B項正確；在平衡位置。'處速度最大，C項錯誤；物體到達最右端時動能為零，彈簧

處于壓縮狀態(tài)，系統(tǒng)機械能不為零，故D項正確.

類型二、簡諧振動中的牛頓第二定律

例2.（2014江蘇一模）如圖所示，水平面上質(zhì)量相等的兩木塊A、B用一輕彈簧相連，整個系

統(tǒng)處于靜止狀態(tài).時刻起用一豎直向上的力F拉動木塊，使A向上做勻加速直線運動.力時刻彈簧

恰好恢復原長，玄時刻木塊B恰好要離開水平面.以下說法正確的是（）

A.在0~f2時間內(nèi)，拉力尸與時間f成正比

B.在072時間內(nèi)，拉力尸與A位移成正比

C.在072間間內(nèi)，拉力F做的功等于A的機械能增量

D.在Of時間內(nèi)，拉力下做的功等于A的動能增量

【思路點撥】以木塊A為研究對象，分析受力情況，根據(jù)牛頓第二定律得出F與A位移x的關系

式，再根據(jù)位移時間公式，得出F與t的關系.根據(jù)功能關系分析拉力做功與A的機械能增量關系.

【答案】C

【解析】A、8設原來系統(tǒng)靜止時彈簧的壓縮長度為X0,當木塊A的位移為x時，彈簧的壓縮長度

為（刖LX）,彈簧的彈力大小為k（XLX）,根據(jù)牛頓第二定律得：

F+k（Xff—x）—mg=ma

得至！I：F=kx—kxo+ma+mg,

又kxo=mg,則得到：F=kx+ma

可見尸與x是線性關系，但不是正比.

1,,1.

由x=—a廣得：F-k—at"+ma,尸與，不成正比.故AB錯誤.

22

據(jù)題片0時刻彈簧的彈力等于4的重力，女時刻彈簧的彈力等于B的重力，而兩個物體的重力相

等，所以/=0時刻和介時刻彈簧的彈力相等，彈性勢能相等，根據(jù)功能關系可知，在072時間內(nèi)，拉

力F做的功等于A的機械能增量，故C正確.

根據(jù)動能定理可知：在0~fi時間內(nèi)，拉力尸做的功與彈力做功之和等于A的動能增量，故。錯誤.

【總結(jié)升華】對于勻變速直線運動，運用根據(jù)牛頓第二定律研究力的大小是常用的思路.分析功

能關系時，要注意分析隱含的相等關系，要抓住Q0時刻和及時刻彈簧的彈性勢能相等進行研究.

舉一反三：

【高清課堂：簡諧運動的回復力和能量、單擺例1】

【變式】

如圖所示，質(zhì)量為加的物塊A放置在質(zhì)量為M的物塊8上，B與彈簧相連，它們一起在光滑水

平面上做簡諧運動，振動過程中A、3之間無相對運動，設彈簧的勁度系數(shù)為％,當物塊離開平衡位

置的位移為x時，4、8間摩擦力的大小等于（）

'曰

,zzz/zzzzzz//zzzzzzz//zzzzzzz/?/zzzl/zzzz/z/zz/z

A.0B.kx

?m,?m

C.——kxD.-----kx

MM+m

【答案】D

類型振動與物體平衡的綜合運用

例3.如圖所示，一質(zhì)量為M的無底木箱，放在水平地面上，一輕質(zhì)彈簧一端懸于木箱的上邊，

另一端掛著用細線連接在一起的兩物體A和B,/〃八剪斷48間的細線后，A做簡諧運

動，則當A振動到最高點時，木箱對地面的壓力為。

l

i

?■V

.-(

4工

【答案】Mg

【解析】本題考查簡諧運動的特點及物體受力情況的分析.剪斷細線前A的受力情況：

重力：〃歸，向下；

細線拉力：向下；

彈簧對A的彈力：F=2mg,向上.

設彈簧的勁度系數(shù)為％,則此時彈簧的伸長量為

.F2mg

Ax=—=———.

kk

剪斷細線后，A做簡諧運動，其平衡位置在彈簧的伸長量為Ax'=2翌處，最低點即剛剪斷細線

k

時的位置，離平衡位置的距離為整?由簡諧運動的特點知最高點離平衡位置的距離也為螫，所以

kk

最高點的位置恰好在彈簧的原長處.此時彈簧對木箱作用力為零，所以此時木箱對地面的壓力為Mg.

【總結(jié)升華】在一些力學綜合題目的處理中，如果能充分考慮簡諧運動的對稱性，注意彈簧的原

長點、平衡點、最高點、最低點等特殊點，可收到事半功倍的效果.

舉一反三：

【高清課堂：簡諧運動的回復力和能量、單擺例6】

【變式】

如圖所示，彈簧下面掛一質(zhì)量為機的物體，物體在豎直方向上作振幅為A的簡諧運動，當物體振

動到最高點時，彈簧正好為原長。則物體在振動過程中（）

A.物體在最低點時的彈力大小應為2,wg

B.彈簧的彈性勢能和物體動能總和不變

C.彈簧的最大彈性勢能等于2mgA

D.物體的最大動能應等于加gA

【答案】AC

【解析】A、小球做簡諧運動的平衡位置處，1ng=kx,x=詈.當物體振動到最高點時，彈簧

正好為原長，可知x=A.所以在最低點時，形變量為2A.彈力大小為2mg.故A正確.

B、在運動的過程中，只有重力和彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒，彈簧的彈性勢能、物體的動能、

重力勢能之和不變.故B錯誤.

C、從最高點到最低點，動能變化為0,重力勢能減小則彈性勢能增加2，〃g4.而初位置

彈性勢能為0,在最低點彈性勢能最大，為2俏g4.故C正確.

D、在平衡位置動能最大，由最高點到平衡位置，重力勢能減小加gA,動能和彈性勢能增加，所以

物體的最大動能不等于mgA.故D錯誤.

故選AC.

【總結(jié)升華】解決本題的關鍵抓住簡諧運動的對稱性以及靈活運用能量守恒定律和機械能守恒定

律.

名題詮釋

根據(jù)振動周期求擺長

例4.已知單擺。完成10次全振動的時間內(nèi)，單擺b完成6次全振動，兩擺長之差為1.6m,則兩

單擺擺長/“與4分別為（）.

A.la=2.5m,lb=0.9mB.la=0.9m,lb=2.5m

C.'=2.4m,lh=4.0mD.la=4.0m,lh=2.4m

【思路點撥】根據(jù)兩單擺在相同時間內(nèi)擺動的次數(shù)可以求出其周期關系，利用周期公式可以求出

擺長.

【答案】B

【解析】該題考查的是單擺的周期公式.設兩個單擺的周期分別為7；和7；,由題意

107；=67；,

得

TaF=6：10.

根據(jù)單擺周期公式

7=2萬

可知

l=-^—T2

41

由此得

小4=方：葉=36：100.

則

36

xl.6m=0.9m

100-36

100

xl.6m=2.5m.

b100-36

【總結(jié)升華】根據(jù)兩單擺在相同時間內(nèi)擺動的次數(shù)可以求出其周期關系，利用周期公式可以求出

擺長.

舉一反三：

【變式】（2014安徽卷）在科學研究中，科學家常將未知現(xiàn)象同已知現(xiàn)象進行比較，找出其共同

點，進一步推測未知現(xiàn)象的特性和規(guī)律.法國物理學家?guī)靵鲈谘芯慨惙N電荷的吸引力問題時，曾將扭

秤的振動周期與電荷間距離的關系類比單擺的振動周期與擺球到地心距離的關系.已知單擺擺長為I,

引力常量為G,地球質(zhì)量為擺球到地心的距離為八則單擺振動周期T與距離『的關系式為（）

【答案】B

【解析】本題考查單擺周期公式、萬有引力定律與類比的方法，考查推理能力.在地球表面有

MmM

G-p-mg,解得g=Gr。單擺的周期T=2%二=2兀人」一，選項B正確.

r2VgVGM

例5.如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一段光滑圓弧軌道MN,它對應的圓心角小于5°,P是腦V的

中點，也是圓弧的最低點.在NP間的一點Q和P之間搭一光滑斜面并將其固定.將兩個小滑塊（可

視為質(zhì)點）同時分別從。點和M點由靜止開始釋放，則兩個小滑塊第一次相遇時的位置（）.

C.一定在P點D.不知道斜面PQ的長短，無法判斷

【總結(jié)升華】當PMR時，可認為滿足簡諧振動條件，故為單擺模型.

【答案】A

【解析】P點是最低點，P、。是圓弧上兩點，對應圓弧半徑為R,由“等時圓”可知，。到P

歷時

光滑圓弧軌道所對應的圓心角小于5。，小滑塊由M到N做簡諧運動，由單擺周期公式

T=2八即

得

lMP=4=5JR/g,

所以

‘MP<'I，

故相遇時應在PQ上的一點，A項正確.

【總結(jié)升華】圓弧形軌道上的運動時，當PMR時，可認為滿足簡諧振動條件，故為單擺模型.

單擺在加速系統(tǒng)中的振動

例6.在一加速系統(tǒng)中有一擺長為/的單擺.

(1)當加速系統(tǒng)以加速度。豎直向上做勻加速運動時，單擺的周期多大？若豎直向下加速呢?

(2)當加速系統(tǒng)在水平方向以加速度〃做勻加速直線運動時，單擺的周期多大？

【答案】(1)2凡----,27r(2)2萬

Yg+a

【解析】(1)當單擺隨加速系統(tǒng)向上加速時，設在平衡位置相對靜止的擺球的視重力為/，如圖

甲所示，

圖甲圖”乙

則

F-mg=ma，

故

F=m(g+a),

由

F=mg'

得視重力加速度

g'=g+a，

所以單擺周期

工=2*=2萬

同理，當單擺隨加速系統(tǒng)豎直向下加速時，視重力

F-m(g—a)，

則視重力加速度

g'=g-a'

(2)當在水平方向加速時，相對系統(tǒng)靜止時擺球的位置如圖乙所示，視重力

F=myjg2+a2。

故視重力加速度

g'=M+O2,

所以周期

4=2萬

類型六、月球上的擺鐘問題

例7.將在地面上校準的擺鐘拿到月球上去，若此鐘在月球上記錄的時間是1h,那么實際的時間

是多少?若要在月球上使該鐘與地面上時一樣準，應如何調(diào)節(jié)？