江蘇2023版高三一輪總復習物理第四章曲線運動萬有引力與航天教案

Mr1

弟曲線運動萬有引力與航天

［高考備考指南］

高考（江蘇卷）五年命題情況對照分析

知能考點

2021年命題分

模塊內(nèi)容20172018201920202021

適應考析

第1節(jié)

曲線運

曲線運

動在考

動、運

運動的合題中綜

動的合

成與分解合性較

成與分

強，多

解（年

5與電

?？迹?/p>

場、磁

場、機

T3：T8：械能等

第2節(jié)

T2：平拋平拋T5：平拋進行綜

拋體運

拋體運動平拋運動運動運動的規(guī)合，內(nèi)

動（5年

運動的規(guī)的規(guī)律容涉及

4考）

律律實際生

活、高

科技、

勻速圓周

T7：新能源

運動、角T6：勻

勻速等問

第3節(jié)速度、線Ts：T6：速圓

圓周題。

圓周運速度、向勻速勻速周運

運動萬有引

動（5年心加速度圓周圓周動的

的應力多考

4考）勻速圓周運動運動向心

用選擇

運動的向力

題，一

心力

離心現(xiàn)象般以神

萬有引力舟、天

定律及其宮、嫦

應用T6：Ti：T7：娥系列

第4節(jié)T4：萬

環(huán)繞速萬有萬有萬有飛行器

萬有引有引T4：衛(wèi)星

度、第二引力引力引力的成功

力與航力定運行參量

和第三宇定律定律定律發(fā)射、

天（5年律的的計算

宙速度的原的應的應變軌、

5考）應用

經(jīng)典時空因用用對接、

觀和相對回收以

論時空觀及空間

實驗五探究平拋站問題

運動的特點（5年0作為高

考）考命題

實驗六探究向心的熱

力大小與半徑、角點。

速度、質(zhì)量的關系（5

年?？迹?/p>

物理觀念：合運動、分運動、平拋運動、斜拋運動、圓周

運動、向心力、向心加速度、線速度、角速度、萬有引力、

宇宙速度、經(jīng)典時空觀、相對論時空觀。

科學思維：運動的合成與分解、平拋斜面模型、豎直平面

圓周運動模型、萬有引力定律、開普勒定律、雙星模型、

核心素養(yǎng)

多星運動模型。

科學探究：探究平拋運動的特點；探究向心力大小與半徑、

角速度、質(zhì)量的關系。

科學態(tài)度與責任：離心現(xiàn)象與行車安全、萬有引力與衛(wèi)星

發(fā)射、變軌、回收。

M5LSW曲線運動、運動的合成與分解

［走進教材?夯實基礎］回顧知識.激活技能

?梳理?必備知識

一、曲線運動

i.速度的方向

質(zhì)點在某一點的速度方向，為沿曲線在這一點的切線方向。

2.運動的性質(zhì)

做曲線運動的物體，速度的方囪時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動。

3.曲線運動的條件

物體的加速度方向跟速度

向不在同一條宜線上

合外力的方向跟物體速度

r方向不在同一條宜線上

二、運動的合成與分解

1.遵循的法則

位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則。

2.合運動與分運動的關系

合運動與分運動是等效替代關系,且具有等時性和獨立性。

3.合運動的性質(zhì)判斷

（士心一人N1變化：非勻變速運動

加速度（或合外力）才赤始赤法沖E

I不變：勻變速運動

If共線：直線運動

加速度（或合外力）方向與速度方向才什妞F理一力

II不共線：曲線運動

4.兩個直線運動的合運動性質(zhì)的判斷

兩個互成角度的分運動合運動的性質(zhì)

兩個勻速直線運動勻速直線運動

一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動勻變速曲線運動

兩個初速度為零的勻加速直線運動勻加速直線運動

如果v合與a合共線，

兩個初速度不為零的為勻變速直線運動

勻變速直線運動如果。合與。合不共線，

為勻變速曲線運動

€＞激活?基本技能

一、易錯易誤辨析（正確的打“，錯誤的打“x”）

（1）曲線運動的速度大小可能不變。（v）

（2）曲線運動的加速度可以為零。（X）

（3）合運動的速度一定大于分運動的速度。（X）

（4）只要兩個分運動為直線運動，合運動一定是直線運動。（X）

（5）船的實際運動即為船的合運動，其軌跡與水流速度和船在靜水中的速度

有關。（J）

（6）船頭指向的運動方向為船在靜水中的速度方向。（J）

二、教材習題衍生

1.（對曲線運動的理解）如圖所示，水平桌面上一小鐵球沿直線運動。若在

鐵球運動的正前方A處或旁邊B處放一塊磁鐵，下列關于小球運動的說法正確

的是（）

A.磁鐵放在A處時，小鐵球做勻速直線運動

B.磁鐵放在A處時，小鐵球做勻加速直線運動

C.磁鐵放在5處時，小鐵球做勻速圓周運動

D.磁鐵放在8處時，小鐵球做變加速曲線運動

D［磁鐵放在A處時，小鐵球做變加速直線運動，選項A、B錯誤；磁鐵

放在B處時，小鐵球做變加速曲線運動，選項C錯誤，D正確。］

2.（運動的合成與分解的應用）如圖所示，豎直放置的兩端封閉的玻璃管中

注滿清水，內(nèi)有一個紅蠟塊能在水中勻速上浮。在紅蠟塊從玻璃管的下端勻速上

浮的同時，使玻璃管以速度。水平向右勻速運動。紅蠟塊由管口上升到頂端,

所需時間為A相對地面通過的路程為心則下列說法正確的是（）

A.。增大時，L減小B.。增大時，L增大

C.。增大時，，減小D.。增大時，f增大

B［紅蠟塊沿玻璃管上升的高度和速度不變，運動時間不變，由合運動與分

運動的等時性知，玻璃管勻速運動的速度越大，則合速度越大，合位移越大，選

項B正確。］

［細研考點?突破題型］重難解惑-直擊高考

考點1曲線運動條件與軌跡分析《基本考點通關

L（物體做曲線運動的條件與特點）（2021?江蘇黃橋中學模擬）關于物體的受

力和運動，下列說法中正確的是（）

A.物體在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不變

B.物體做曲線運動時，某點的加速度方向就是通過這一點曲線的切線方向

C.物體受到變化的合力作用時，它的速度大小一定改變

D.做曲線運動的物體，一定受到與速度不在同一直線上的外力作用

D［如果合力與速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一

定改變，故A錯誤；物體做曲線運動時，通過某一點的曲線的切線方向是該點

的速度方向，而不是加速度方向，比如平拋運動，故B錯誤；物體受到變化的

合力作用時，它的速度大小可以不改變，比如勻速圓周運動，故C錯誤；物體

做曲線運動的條件是一定受到與速度不在同一直線上的外力作用，故D正確。］

2.（軌跡、速度與加速度關系）（2021?天一中學模擬）質(zhì)點做曲線運動，從A

到B速率逐漸減小，如圖所示，有四位同學用示意圖表示A到B的軌跡及速度

方向和加速度的方向，其中正確的是（)

A［由于質(zhì)點的速率逐漸減小，則加速度方向與速度方向

夾角大于90。；因為曲線運動中，加速度指向軌跡的“凹側(cè)”，

可知A正確，B、C、D錯誤。］

畬規(guī)律總結

（1）物體做曲線運動時，速度沿軌跡的切線方向，合力指向軌跡凹側(cè)，可以

速記為“無力不彎，力速兩邊”，如圖所示。

（2）因為速度不能發(fā)生突變，所以曲線運動的軌跡也不能突變，除非速度和

加速度同時減小為零并立刻開始沿其他方向加速運動。

（3）若合外力的方向與速度方向夾角成銳角，則物體速率增大，如圖所示，

若兩者夾角為鈍角，則速率減小。

考點2運動的合成與分解A熱門考點突破

1.（合運動軌跡和性質(zhì)的判斷）（2021?江蘇一模）如圖所示，從勻速運動的水

平傳送帶邊緣，垂直彈入一底面涂有墨汁的棋子，棋子在傳送帶表面滑行一段時

間后隨傳送帶一起運動。以傳送帶的運動方向為x軸，棋子初速度方向為y軸，

以出發(fā)點為坐標原點，棋子在傳送帶上留下的墨跡為（）

A［依據(jù)運動的合成與分解，以傳送帶為參考系，棋子在垂直傳送帶方向

做初速度不為零的勻減速直線運動，而在平行傳送帶方向做初速度不為零的勻減

速直線運動，根據(jù)矢量的合成與分解法則，合初速度與合加速度共線，所以棋子

在傳送帶上留下的墨跡是直線，又因為棋子相對于傳送帶往后運動，故A正確，

BCD錯誤。］

威要點歸納

1.合運動軌跡和性質(zhì)的判斷方法

（1）若合加速度的方向與合初速度的方向在同一直線上，則為直線運動，否

則為曲線運動。

（2）若合加速度不變，則為勻變速運動；若合加速度（大小或方向）變化，則為

非勻變速運動。

2.分運動與合運動的關系

各個分運動與合運動總是同時開始，同時結束，經(jīng)歷時間相等（不同時

等時性

的運動不能合成）

等效性各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果

獨立性一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互不影響

2.（由分運動的圖像分析物體的運動規(guī)律）（2021?江蘇鹽城模擬）一質(zhì)量為2kg

的物體在如圖甲所示的xOy平面上運動，在x軸方向上的v-t圖像和在j軸方向

上的s-f圖像分別如圖乙、丙所示，下列說法正確的是（）

甲乙丙

A.前2s內(nèi)物體做勻變速直線運動

B.物體的初速度為8m/s

C.2s末物體的速度大小為4m/s

D.前2s內(nèi)物體所受的合外力為16N

C［由04圖像可知，物體在x方向上做勻減速直線運動，有s4圖像可知，

物體在y方向上做勻速直線運動；兩個方向的合成，物體應該做類平拋運動，即

勻變速曲線運動，故A錯誤；x方向初速度為8m/s,y方向上速度為4m/s,二

者合成，其合速度：v^-=^/82+42m/s=4#m/s,故B錯誤；2s末物體x方

向速度為0,y方向速度為4m/s,二者合成，其速度大小為4m/s,故C正確；

2

有牛頓第二定律產(chǎn)=?1a得：F=2kgX4m/s=8N,故D錯誤。］

畬規(guī)律總結

1.由x方向的of圖像可以確定質(zhì)點在x方向的初速度及加速度。

2.由y方向的y-f圖像可以確定在y方向的速度。

3.由尸=機?？梢源_定質(zhì)點的合外力。

4.根據(jù)孫與尸的方向關系可以判斷質(zhì)點運動的性質(zhì)及運動軌跡。

-~3.（根據(jù)運動軌跡分析物體運動情況）將一物體由坐標原點O以初速度。。拋

出，在恒力作用下軌跡如圖所示，4為軌跡最高點，B為軌跡與水平x軸交點，

假設物體到5點時速度為狽，與x軸夾角為a,0B與x軸夾角為0,已知OA

水平距離xi大于A5水平距離了2,貝（1（）

A.物體在8點的速度狽大于初）

B.物體從。到4時間大于從A到B時間

C.物體在。點所受合力方向指向第三象限

D.a可能等于小

C［從題圖中可知物體在豎直方向上做初速度不為零的勻減速直線運動，

在4點豎直方向速度為零。根據(jù)運動對稱性可得，物體從O到4時間等于從4

到5時間；在水平方向上做初速度不為零的勻變速直線運動，從。到4和4到

5時間相等，位移X1＞X2,則水平方向做勻減速直線運動，故到5點合外力做負

功，物體在B點的速度狽＜如，A、B錯誤；物體在豎直方向的加速度豎直向下，

水平方向加速度水平向左，則合加速度在。點指向第三象限，則合力在。點指

向第三象限，C正確；物體在豎直方向上速度大小相等，方向相反，則vosina

=VBsin0,但是OB＜0O,故D錯誤。］

畬名師點撥運動合成和分解的三要點

(1)由運動的合成與分解知識可知，合運動的位移、速度、加速度是各分運

動的位移、速度、加速度的矢量和。

(2)恒力作用下物體的勻變速曲線運動可分解為沿力的方向的勻變速直線運

動和垂直于力的方向的勻速直線運動。

(3)兩個相互垂直方向的分運動具有等時性，這常是處理運動分解問題的關

鍵點。

考點3小船渡河問題1核心素養(yǎng)提升

1.船的實際運動：是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。

2.三種速度：船在靜水中的速度。船、水的流速。水、船的實際速度

3.兩類問題、三種情景

，/////////////當船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間

渡河時

_d_

間最短Emin一

彩船

如果0船＞。水，當船頭方向與上游河岸夾角0滿足

，、，

。船cose=v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，

渡河位......等于河寬d

移最短如果0船＜0水，當船頭方向(即。船方向)與合速度方

\yf向垂直時，渡河位移最短，等于警

、/

、/0船

［典例］小船在200m寬的河中橫渡，水流速度為2m/s,船在靜水中的航

速是4m/s,求：

⑴若小船的船頭始終正對對岸行駛，它將在何時、何處到達對岸?

⑵要使小船到達河的正對岸，應如何航行？歷時多長？

(3)小船渡河的最短時間為多長？

(4)若水流速度是5m/s,船在靜水中的速度是3m/s,則怎樣渡河才能使船

漂向下游的距離最短？最短距離是多少？

［解析］(1)小船參與了兩個分運動，即船隨水漂流的運動和船在靜水中的運

動。因為分運動之間具有獨立性和等時性，故小船渡河的時間等于垂直于河岸方

向的分運動的時間，即

小船沿水流方向的位移

xa=v*f=2X50m=100m

即船將在正對岸下游100m處靠岸。

(2)要使小船到達正對岸，合速度。應垂直于河岸，如圖甲所示，則

甲

故〃=60°

即船的航向與上游河岸成60。角，渡河時間

d200100^3

/=r=4sin60°s=3So

(3)考慮一般情況，設船頭與上游河岸成任意角如圖乙所示。船渡河的時

間取決于垂直于河岸方向的分速度v±=v軀sinp,故小船渡河的時間為t=

J

——,當4=90。，即船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間加in=50s。

Vasilip

乙

(4)因為。觸=3m/sV0*=5m/s,所以船不可能垂直河岸橫渡，不論航向如

何，總被水流沖向下游。如圖丙所示，設船頭⑦的)與上游河岸成〃角，合速度。

與下游河岸成a角，可以看出：a角越大，船漂向下游的距離/越短。以o本的

矢尖為圓心，以。雅的大小為半徑畫圓，當合速度。與圓相切時，a角最大。

丙

則cos，=①=］,故船頭與上游河岸的夾角6=53。

O水3

又營=&=近三&代入數(shù)據(jù)解得心267m0

Q0船。據(jù)

［答案】見解析

［跟進訓練］

角度1最小速度問題

1.（2021?江蘇南京師大附中高考模擬）如圖所示，船從4處開出后沿直線AB

到達對岸，若4B與河岸成37。角，水流速度為4m/s,則船從A點開出相對水

流的最小速度為（）

C［船參與了兩個分運動，沿船頭指向的分運動和順

B

水流而下的分運動，其中，合速度。合方向已知，大小未7^

知，順水流而下的分運動0*速度的大小和方向都已知，水流二

沿船頭指向的分運動的速度。的大小和方向都未知，合速Av*

度與分速度遵循平行四邊形定則（或三角形定則），如圖，當。令與。麻垂直時，V

冊最小，由幾何關系得到v冊的最小值為v冊=o水sin37°=2.4m/s,故C正確，A、

B、D錯誤。］

角度2最短時間問題

2.如圖所示，河水由西向東流，河寬為d=800m,河中各點的水流速度大

小為。水，各點到較近河岸的距離為X,。水與X的關系為。水=贏（1?/§）（"的單

位為m）。讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船劃水速度大小恒為。船=4m/s。

則下列說法正確的是（）

亡1一1

東I-一

A.小船渡河的軌跡為直線

B.小船在河水中的最大速度是5m/s

C.小船在距南岸200m處的速度小于在距北岸200m處的速度

D.小船渡河的時間是160s

B［由題意可知，小船在南北方向上做勻速直線運動，在東西方向上先加速，

到達河中間后再減速，小船的合運動是曲線運動，即小船渡河的軌跡為曲線，A

3

錯誤；當小船運動到河中間時，東西方向上的分速度最大，為旃X400m/s=3

m/s,此時小船的合速度最大，可得最大值0m=5m/s,B正確；由o*與x的關

系可知，水流在距南岸200m處的速度等于在距北岸200m處的速度，故小船

在距南岸200m處的速度等于在距北岸200m處的速度，C錯誤；小船的渡河

時間t=』*=200s,D錯誤。］

角度3最短位移問題

3.如圖所示，河水流動的速度為。，且處處相同，河寬度為好在船下水

點4的下游距離為。處是瀑布。為了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去），則（）

B

A.小船船頭垂直河岸渡河時間最短，最短時間為

B.小船軌跡垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度為Vmax=

［出+.

b

C.當小船沿軌跡45渡河時，船在靜水中的最小速度為。min=等

D.當小船沿軌跡AB渡河時，船在靜水中的最小速度為。min=4%

D［當小船船頭垂直河岸渡河，時間最短，最短時間為/=9,且f必須小

。船

于或等于今故選項A錯誤；小船軌跡垂直河岸渡河，位移最小，大小為小但

船頭必須指向上游，合速度不是最大，故選項B錯誤；小船沿軌跡A5運動，船

在靜水中的速度最小時，船頭方向與AB垂直，可得0min=,故選項C

^/a2+62

錯誤，D正確。］

段盤拋體運動

［走進教材?分實基礎］回顧知識,激活■技能

齡梳理?必備知識

一、平拋運動

1.定義

將物體以一定的初速度沿水平方向拋出,物體只在重力作用下所做的運動。

2.性質(zhì)

加速度為重力加速度的勻變速曲線運動,軌跡是拋物線。

3.條件：加W0,沿水平方向;只受重力作用。

二'平拋運動的基本規(guī)律

1.研究方法

平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動o

2.基本規(guī)律

(1)位移關系

三、斜拋運動

1.定義：將物體以初速度如斜向上方或斜向下方拋出,物體只在重力作用

下的運動。

2.性質(zhì)：斜拋運動是加速度為。的勻變速曲線運動,運動軌跡是拋物線。

3.研究方法：運動的合成與分解

⑴水平方向：勻速直線運動:

(2)豎直方向：勻變速直線運動。

4.基本規(guī)律(以斜上拋運動為例，如圖所示)

(1)水平方向：vox=rocos0,尸合*=0；

(2)豎直方向：rov=vosin0,F^y=mgo

?激活?基本技能

一、易錯易誤辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)以一定的初速度水平拋出的物體的運動是平拋運動。(X)

(2)平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻

變化。(義)

(3)兩個做平拋運動的物體，初速度大的落地時速度大。(X)

(4)做平拋運動的物體初速度越大，在空中運動的時間越短。(義)

(5)無論初速度是斜向上方還是斜向下方的斜拋運動都是勻變速曲線運動。

(V)

二'教材習題衍生

1.(平拋運動的基本規(guī)律)從距地面h高度水平拋出一小球，落地時速度方

向與水平方向的夾角為伍不計空氣阻力，重力加速度為g,下列結論中正確的

是()

A.小球初速度為癡^?tan，

B.小球著地速度大小為簿

C.若小球初速度減為原來一半，則平拋運動的時間變?yōu)樵瓉淼膬杀?/p>

D.若小球初速度減為原來一半，則落地時速度方向與水平方向的夾角變?yōu)?/p>

20

［答案］B

2.（平拋與斜面的結合）如圖，轟炸機沿水平方向勻速飛行，到達山坡底端

正上方時釋放一顆炸彈，擊中坡上的目標4。已知A點高度為力，山坡傾角為仇

重力加速度為g,由此不能算出的是（）

A.轟炸機的飛行高度

B.轟炸機的飛行速度

C.炸彈的飛行時間

D.炸彈投出時的動能

D［設轟炸機投彈位置高度為“，炸彈水平位移為X,則“一無=；少，x=

0%得因為X=~聯(lián)立解得H=/Z4"^72n,故A

'x2vovotanO'tanO'2tan20,

正確；根據(jù)“一人=；現(xiàn)2可求出炸彈的飛行時間，再由工=。0上可求出轟炸機的飛

行速度，故B、C正確；因不知道炸彈的質(zhì)量，不能求出炸彈投出時的動能，故

D錯誤。］

3.（斜拋運動規(guī)律的應用）由消防帶水龍頭的噴嘴噴出水的流量是0.28

m3/min,水離開噴口時的速度大小為16小m/s,方向與水平面夾角為60°,在

最高處正好到達著火位置，忽略空氣阻力，則空中水柱的高度和水量分別是（重

力加速度g取10m/s2）（）

A.28.8m1.12X10-2m3

B.28.8m0.672m3

C.38.4m1.29XIO-2m3

D.38.4m0.776m3

A［水離開噴口后做斜拋運動，將運動沿水平方向和豎直方向分解，在豎

直方向上：

巧,=osin0代入數(shù)據(jù)可得為=24m/s

故水柱能上升的高度無=%=28.8m

水從噴出到最高處著火位置所用的時間V

代入數(shù)據(jù)可得f=2.4s

故空中水柱的水量為V=^X2.4m3=

1.12X10-2m3,A項正確。］

［細研考點?突破題型］重難解惑?直擊高考

考點1平拋與斜拋運動的基本規(guī)律'基本考點通關

L（對平拋運動的理解）在地面上方某點將一小球以一定的初速度沿水平方

向拋出，不計空氣阻力，則小球在隨后的運動中（）

A.速度和加速度的方向都在不斷改變

B.速度與加速度方向之間的夾角一直減小

C.在相等的時間間隔內(nèi)，速率的改變量相等

D.在相等的時間間隔內(nèi)，動能的改變量相等

B［由于不計空氣阻力，小球只受重力作用，故加速度為g,,

方向不變；小球做平拋運動，速度的方向不斷變化，在任意一段時

間內(nèi)速度的變化量Ao=gAf,如圖所示，選項A錯誤；設某時刻遞VL

度與豎直方向的夾角為0,則tan。=芋=§,隨著時間f的變大，tan

。變小，選項B正確；由圖可以看出，在相等的時間間隔內(nèi)，速度的改變量

相等，但速率的改變量03——磯。磯一00,故選項C錯誤；在豎直方向上

位移k=；g1,可知小球在相同的時間內(nèi)下落的高度不同，根據(jù)動能定理，動能

的改變量等于重力做的功，所以選項D錯誤。］

2.（平拋運動推論的應用）將小球以某一初速度從4點水平向左拋出，運動

軌跡如圖所示，5為軌跡上的一點。改變拋出點位置，為使小球仍沿原方向經(jīng)過

5點，不計空氣阻力，以下做法可能實現(xiàn)的是（）

A.在A點左側(cè)等高處以較小的初速度水平拋出小球

B.在A點右側(cè)等高處以較大的初速度水平拋出小球

C.在4、B兩點間軌跡上某點沿切線向左下方拋出小球

D.在4、5兩點間軌跡上某點以較小的初速度水平向左拋出小球

C［根據(jù)平拋運動的推論，速度反向延長線過水平位移的中點，「二，牙外

如圖，在與4等高處其他位置水平拋出，無論左側(cè)還是右側(cè)，只要

經(jīng)過B點，則不滿足平拋運動的推論，A、B項錯誤；當在A、B

兩點間軌跡上某點沿切線向左下方拋出小球，小球速度等于原小球經(jīng)過該點速

度，則小球軌跡重合，小球能夠沿原方向經(jīng)過5點，C項正確；在4、B兩點間

軌跡上某點以較小的初速度水平向左拋出小球，根據(jù)幾何關系可知：如果沿原方

向經(jīng)過5點，小球速度反向延長線不能過水平位移中點，D項錯誤。］

3.(不同高度平拋后落在同一水平面上的多體平拋問題)如圖所示，小球A、

5分別從2/和/的高度水平拋出后落地，上述過程中A、5的水平位移分別為/

和2/。忽略空氣阻力，貝！|()

B

A.A和B的位移大小相等

B.A的運動時間是B的2倍

C.A的初速度是B的;

D.A的末速度比5的小

A［位移為初位置到末位置的有向線段，如圖所示可得§人=鄧+(21)2=下

I,SB=^/Z2+(2Z)2=-\［5l,A和5的位移大小相等，A正確；平拋運動運動的時

時間是B的6倍，B錯誤；平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，則vxA

0XB=?=巾點,則A的初速度是5的半，C錯誤；小球4、5在豎

直方向上的速度分別為0M=2礪，0yB=6面,所以可得。A='J",=

=、'皿,即VA>VB,D錯誤。］

4.（同一高度平拋后落在同一豎直面上的多體平拋問題）（2021?江蘇七市二模）

如圖所示，在飛鏢比賽中，某同學將飛鏢從。點水平拋出，第一次擊中飛鏢盤

上的。點，第二次擊中飛鏢盤上的方點，忽略空氣阻力，貝！1（）

o........在

I，

■，

I，

■，

,_____________________________/

1,/zz//z///zzz//zz//zzz

A.飛鏢第一次水平拋出的速度較小

B.飛鏢第二次拋出時的動能較小

C.飛鏢兩次在空中運動的時間相等

D.飛鏢兩次擊中飛鏢盤時的速度方向相同

B［飛鏢做平拋運動，在豎直方向上做自由落體運動，有：h=^gt2,得：t

知飛鏢第二次下降的高度大，運動時間較長。由x=vot,X相等，知

飛鏢第二次水平拋出的速度較小，動能較小，故A、C錯誤，B正確。飛鏢擊中

飛鏢盤時的速度方向與水平方向夾角正切為：tan?=^=^,知飛鏢第二次拋出

時運動時間較長，而初速度較小，可知飛鏢第二次拋出時擊中飛鏢盤時的速度方

向與豎直方向的夾角較大，故D錯誤。］

5.（斜拋運動）如圖籃球運動員定點罰球，籃球以與水平面成3的傾角準確

落入籃筐，速度大小為。，不計空氣阻力，籃球從投出到落入籃筐過程中（）

后

A.速度逐漸減小

B.最小速度為osin。

C.速度變化量的方向向上

D.投出時速度與水平方向的夾角大于。

D［投籃過程籃球做斜拋運動，籃球運動到最高點時速度最小，整個過程

速度先減小后增大，故A錯誤；籃球速度的水平方向的分量0x=ocos/籃球

運動到最高點時速度最小且等于水平分速度0x=ocos。，故B錯誤；由Ao=gf

知，速度變化量Av的方向與g的方向相同，即速度變化量的方向豎直向下，故

C錯誤；由tan。=苧，%不變，tan，和馬成正比，根據(jù)題意知，投出時豎直方

vx

向的速度馬1大于籃球落網(wǎng)時豎直方向的速度Vy2,所以投出時速度與水平方向

的夾角大于仇故D正確。］

畬規(guī)僮總結平拋運動的重要結論和推論

(1)飛行時間

由'='借知，飛行時間取決于下落高度R與初速度。。無關。

(2)水平射程

x=zW=o八欄，即水平射程由初速度。。和下落高度力共同決定，與其他

因素無關。

(3)落地速度

v=\jv^+v/=-\lv^+2gh,以〃表示落地速度與水平正方向的夾角，有tan0

=察==^，落地速度與初速度。。和下落高度人有關。

Ux。0

(4)兩個重要推論

①做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水

平位移的中點，如圖所示，即腦=生

②做平拋運動的物體在任意時刻，總有tan8=2tana。

考點2有約束條件的平拋運動《綜合能力提升

1.對平拋運動的約束條件常見的有“斜面”約束和“曲面”約束，解此類

問題的關鍵：

⑴靈活運用平拋運動的位移和速度分解方法。

(2)充分運用斜面傾角，找出斜面傾角與位移偏向角、速度偏向角的關系。

(3)“曲面”約束類要靈活應用平拋運動的推論。

運動員經(jīng)過一段時間的加速滑行后從0點水平飛出，經(jīng)過3s落到斜坡上的A

點。已知。點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角，=37。，運動員的質(zhì)量機

50kg,不計空氣阻力(sin37。=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?)。求:

(1)4點與。點的距離￡；

⑵運動員離開。點時的速度大小;

(3)運動員從0點飛出到離斜坡距離最遠所用的時間。

審題指導：

題干關鍵獲取信息

從0點水平飛出，不計空氣

運動員做平拋運動

阻力

經(jīng)過3s落到斜坡上的A點空中運動時間為3s,可求出豎直分運動的位移

結合豎直分位移可求合位移和水平位移，進而求

斜坡與水平面的夾角。=37。

出水平分速度(即初速度)

［解析］⑴運動員在豎直方向做自由落體運動，有31137。=a1

gt2

L=2sin37O=75m°

(2)設運動員離開0點時的速度為vo,運動員在水平方向的分運動為勻速直

Zcos37°

線運動，有Leos37°=oo￡,即PO=——~—=20m/so

(3)方法一：運動員的平拋運動可分解為沿斜面方向的勻加速運動(初速度為

初)cos37°、加速度為gsin37°)和垂直斜面方向的類豎直上拋運動(初速度為初)sin

37。、加速度為geos37。)。當垂直斜面方向的速度減為零時，運動員離斜坡最遠，

有oosin37°=gcos37°寸，解得f=1.5s。

方法二：當運動員的速度方向平行于斜坡或與水平方向成37。角時，運動員

離斜坡最遠，有辭=tan37。，Z=1.5s0

［答案］(1)75m(2)20m/s(3)1.5s

畬方法技巧與斜面相關平拋問題的兩個分解思路

(1)以分解速度為突破口求解平拋運動問題：若知道某時刻的速度方向，要

從分解速度的角度來研究，tan。=辭(，為，時刻速度與水平方向間的夾角)，從

而得出初速度。。、時間人夾角〃之間的關系，進而求解具體問題。

(2)以分解位移為突破口求解平拋運動問題：若知道某一時刻物體的位移方

向，則可將位移分解到水平方向和豎直方向，然后利用tana=￡1a為f時刻位

移與水平方向間的夾角），確定初速度。。、時間八夾角a之間的關系，進而求

解具體問題。

一i跟曲n臻］

角度1物體從空中拋出垂直打在斜面上

1.（2021?株洲模擬）將一小球以水平速度0o=lOm/s從0點向右拋出，經(jīng)由

s小球恰好垂直落到斜面上的4點，不計空氣阻力，g取10m/s2,5點是小球做

自由落體運動在斜面上的落點，如圖所示，以下判斷正確的是（）

A.斜面的傾角是60。

B.小球的拋出點距斜面的豎直高度是15m

C.若將小球以水平速度/o=5m/s向右拋出，它一定落在A8的中點P

的上方

D.若將小球以水平速度0’o=5m/s向右拋出，它一定落在A5的中點P

處

7?0

C［設斜面傾角為〃，對小球在A點的速度進行分解，有tan〃=萬，解得

〃=30。，A項錯誤；小球距過A點水平面的距離為/i=；gf2=15m,所以小球的

拋出點距斜面的豎直高度肯定大于15m,B項錯誤；若小球的初速度為，o=5

m/s,過A點作水平面，小球落到該水平面的水平位移是小球以初速度vo=10m/s

拋出時的一半，延長小球運動的軌跡線，得到小球應該落在P、A之間，C項正

確，D項錯誤。］

角度2物體從斜面上拋出落在斜面上

7）

2.（2018?全國卷ni）在一斜面頂端，將甲、乙兩個小球分別以◎和5的速度

沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上。甲球落至斜面時的速率是乙球落至

斜面時速率的（）

A.2倍B.4倍

C.6倍D.8倍

A［甲、乙兩球都落在同一斜面上，則隱含做平拋運動的甲、乙的最終位

移方向相同，根據(jù)位移方向與末速度方向的關系，即末速度方向與水平方向夾角

的正切值是位移方向與水平方向夾角的正切值的2倍，可得它們的末速度方向也

相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正確。］

3.如圖所示，從傾角為。且足夠長的斜面的頂點A,先后將同一小球以不

同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為小球落到斜面上前一瞬間的速

度方向與斜面的夾角為例，第二次初速度為。2,小球落在斜面上前一瞬間的速

度方向與斜面間的夾角為夕2,若02＞01,則他和"2的大小關系是（）

A.（p\＞（p2B.（pi＜（p2

C.01=02D.無法確定

C［根據(jù)平拋運動的推論，做平拋（或類平拋）運動的物體在任一時刻或任一

位置時，設其速度方向與水平方向的夾角為a,位移與水平方向的夾角為夕，則

tana=2tan由上述關系式結合題圖中的幾何關系可得：tan”+〃）=2tan〃，

此式表明小球的速度方向與斜面間的夾角9僅與。有關，而與初速度無關，因

此外=”，即以不同初速度平拋的物體，落在斜面上各點的速度方向是互相平

行的。故C正確。］

4.如圖所示，在斜面頂點以大小相同的速度。。同時水平向左與水平向右拋

出兩個小球4和B,兩側(cè)斜坡的傾角分別為37。和53。，小球均落在坡面上，若

不計空氣阻力，則A和8兩小球的運動時間之比為（）

C.3：4D.4：3

B［對于A球有tan37。=勺=瞿，解得人=生啜包；同理，對B球有益

2rotan53由此解得，=白，故選項B正確，A、C、D錯誤。］

gIB-IO

角度3落點在圓弧面上的平拋運動

5.如圖所示，從。點以水平初速度。1、。2拋出兩個小球（可視為質(zhì)點），最

終它們分別落在圓弧上的4點和B點，已知04與。8互相垂直，且04與豎直

方向成a角，不計空氣阻力，則兩小球初速度之比初：3為（）

也0V2

A.tanaB.cosa

C.tanay］tanaD.coson/tana

C［設圓弧半徑為R,兩小球運動時間分別為〃、/2o對球1:Rsina=viti,

Reosa=^gt^,對球2:Reosa=v2t2,Rsin<z=；g以，聯(lián)立可得泰=tanayjtana,

C正確。］

6.（2021?宜興中學模擬）如圖所示，豎直平面內(nèi)平拋的小球恰好與光滑半圓

軌道相切于3點，已知拋出點在半圓軌道左端點（4點）的正上方，半圓軌道半徑

為R,直線。6與水平面成60。角，重力加速度為g,則下列關于小球在空中的

運動的分析正確的是（）

D.小球到達5點時豎直位移為華

B［小球飛行過程中恰好與半圓軌道相切于8點，經(jīng)過5點時速度方向與

水平方向的夾角為30。，則tan30。=總，小球在5點時的位移方向與水平方向的

夾角rz的正切值tana=；tan30。=',又知x=R+Rcos60。=當?，Vy=2gy,聯(lián)

立解得y=￥匕%'=7坐^，名瞥，小球到達5點飛行的時間為f

4=、噤'選項A、C、D錯誤，B正確。］

oV

考點3平拋中的臨界、極值問題?綜合能力提升

平拋中常見的“三種”臨界特征

(1)有些題目中有“剛好恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程

中存在著臨界點。

(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述

的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點。

(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過

程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。

［典例］(排球平拋運動的臨界和極值問題)排球場總長18m,網(wǎng)高2.25m,

如圖所示，設對方飛來一球，剛好在3m線正上方被我方運動員擊回。假設排

球被擊回的初速度方向是水平的，那么可認為排球被擊回時做平拋運動。(g