代數(shù)方程【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級(jí) 下冊(cè)重難點(diǎn)突破（含答案解析）

核心考點(diǎn)02代數(shù)方程目錄考點(diǎn)一：高次方程考點(diǎn)二：無(wú)理方程考點(diǎn)三：分式方程的增根考點(diǎn)四：由實(shí)際問題抽象出分式方程考點(diǎn)五：分式方程的應(yīng)用考點(diǎn)六：含字母系數(shù)的一元一次方程考點(diǎn)七：二元二次方程組考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、整式方程：1字母系數(shù)：關(guān)于x的方程中，把用字母表示的已知數(shù)m、n、a、b、c叫做字母系數(shù).2.含字母系數(shù)的一元一次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的含字母系數(shù)的方程；求解步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1；注意：系數(shù)化為1時(shí)視情況討論！3．含字母系數(shù)的一元二次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的含有字母系數(shù)的方程；解法：因式分解法，開平方法；配方法，公式法；當(dāng)用含字母系數(shù)的式子去乘或除方程兩邊時(shí)，要討論.4.一元整式方程：如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；一元n次方程與一元高次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是n；其中n大于2的方程稱為一元高次方程.5.二項(xiàng)方程：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零.一般形式為：.二項(xiàng)方程的解法：將方程變形為，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果，；如果，那么方程沒有實(shí)數(shù)根.二、分式方程：6.可化為一元二次方程的分式方程解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解；解分式方程的一般步驟：①方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，去分母，化成整式方程；②解這個(gè)整式方程；③檢驗(yàn)，是否有增根.三、無(wú)理方程1.無(wú)理方程：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式；無(wú)理方程也叫根式方程.2.無(wú)理方程、有理方程、代數(shù)方程三者之關(guān)系有理方程：整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程；代數(shù)方程：有理方程和無(wú)理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡(jiǎn)稱代數(shù)方程.3.無(wú)理方程的解法（1）基本思路：解簡(jiǎn)單的無(wú)理方程，可以通過去根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解；（2）一般步驟：四、二元二次方程組與列方程（組）解應(yīng)用題1.二元二次方程2.二元二次方程組3.二元二次方程組的解法(1)解二元二次方程組的基本思想：是消元和降次.(2)題型一：解方程組即方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.方法：代入消元法；一般步驟：①將方程組中二元一次方程的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；②將這個(gè)未知數(shù)所表示的代數(shù)式代入二元二次方程中，得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程；③解這個(gè)一元二次方程；④將求得的兩個(gè)解分別代入二元一次方程，求相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤把相應(yīng)的兩組解寫出來(lái)，即是原方程組的解.(3)題型二：解方程組（其中一個(gè)方程可以分解為兩個(gè)一次因式積等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程組化為兩個(gè)分別由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組，然后分別求解.4.列方程（組）解應(yīng)用題考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．高次方程（共3小題）1．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于二項(xiàng)方程axn+b＝0（a≠0，b≠0），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么ab一定（）A．a(chǎn)b＜0 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)b≥0 D．a(chǎn)b≤0【分析】根據(jù)偶數(shù)次方的非負(fù)性求解．【解答】解：∵axn+b＝0（a≠0，b≠0），∴xn＝﹣，∵n為偶數(shù)時(shí)，已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴﹣＞0，∴ab＜0．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查高次方程的解，注意偶數(shù)次方的非負(fù)性是求解本題的關(guān)鍵．2．（2022春?上海期中）下列方程中，二項(xiàng)方程是（）A．x2+2x+1＝0 B．x5+x2＝0 C．x2＝1 D．+x＝1【分析】根據(jù)二項(xiàng)方程的定義判斷求解．【解答】解：∵x2+2x+1＝0有三項(xiàng)，不符合二項(xiàng)方程定義，∴A不合題意．∵x5+x2＝0左邊是二項(xiàng)式，右邊為0，不符合二項(xiàng)方程的定義．∴B不符合題意，∵x2＝1，可得x2﹣1＝0，符合二項(xiàng)方程定義．∴C符合題意．∵+x＝1是分式方程，∴D不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)方程的定義，掌握二項(xiàng)方程的定義是求解本題的關(guān)鍵．3．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x4﹣16＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先移項(xiàng)得出x4＝16，再根據(jù)四次方根的定義求出方程的解即可．【解答】解：x4﹣16＝0，x4＝16，x＝＝±2，即方程x4﹣16＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程，能求出x＝±是解此題的關(guān)鍵．二．無(wú)理方程（共4小題）4．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣x+2＝0 B．＝ C．＝﹣1 D．x4﹣1＝0．【分析】根據(jù)根的判別式即可判斷選項(xiàng)A；方程兩邊乘x﹣1得出x＝1，即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷選項(xiàng)C；求出方程的解，即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：A．x2﹣x+2＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；B．＝，方程兩邊都乘x﹣1，得x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x﹣1＝0，所以x＝1是增根，即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；C．＝﹣1，∵算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；D．x4﹣1＝0，x4＝1，x＝±＝±1，即方程有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解分式方程，解無(wú)理方程，解高次方程等知識(shí)點(diǎn)，能熟記根的判別式的內(nèi)容、把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程、能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．5．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）方程（x﹣2）＝0的根是x＝1．【分析】根據(jù)已知方程得出＝0或x﹣2＝0，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：∵（x﹣2）＝0，∴＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是原方程的根，x＝2不是原方程的根，即原方程的根是x＝1，故答案為：x＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵，注意：解無(wú)理方程一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．6．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）解方程：+2x＝1．【分析】移項(xiàng)后兩邊平方得出x+1＝1﹣4x+4x2，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：+2x＝1，移項(xiàng)，得＝1﹣2x，兩邊平方，得x+1＝1﹣4x+4x2，解得：x1＝0，x2＝，經(jīng)檢驗(yàn)x＝0是原方程的解，x＝不是原方程的解，所以原方程的解是x＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵，注意：解無(wú)理方程一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．7．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）解方程：．【分析】通過方程兩邊分別平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，再求解．【解答】解：移項(xiàng)得：＝9﹣，兩邊都平方得：x+2＝81﹣18+x﹣7，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：18＝72，∴＝4，兩邊再平方得：x﹣7＝16，∴x＝23，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝23時(shí)，左邊＝+＝5+4＝9＝右邊，所以x＝23是原方程的解，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程，兩邊平方轉(zhuǎn)化為有理方程是解題的關(guān)鍵．三．分式方程的增根（共2小題）8．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）方程﹣3＝有增根，則m的值為（）A． B．±3 C．﹣3 D．3【分析】根據(jù)題意可得x＝3，然后把x的值代入整式方程中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：﹣3＝，x﹣3（x﹣3）＝m，解得：x＝，∵方程有增根，∴x＝3，把x＝3代入x＝中，3＝，解得：m＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的分式方程＝有增根，則m＝﹣10．【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡(jiǎn)公分母x﹣4＝0，得到x＝4，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘x﹣4，得m＝﹣6﹣x∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母x﹣4＝0，解得x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，m＝﹣10，故答案為：﹣10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根．增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．四．由實(shí)際問題抽象出分式方程（共3小題）10．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成比乙單獨(dú)完成多用6天，若甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成，若設(shè)甲單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則下列方程正確的是（）A．+＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【分析】設(shè)甲單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需（x﹣6）天，根據(jù)“甲、乙合作3天后，乙需再用7天才能全部完成”，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：設(shè)甲單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需（x﹣6）天，依題意得：+＝1，即+＝1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期中）今日，上海疫情防控形勢(shì)嚴(yán)峻，某工廠計(jì)劃生產(chǎn)1000套防護(hù)服，由于工人加班加點(diǎn)，實(shí)際每天比計(jì)劃多制作20%，結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天制作x套防護(hù)服，則可列方程為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)原計(jì)劃每天制作x套防護(hù)服，則實(shí)際每天制作為（1+20%）x，根據(jù)結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，列出方程即可．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天制作x套防護(hù)服，可列方程為：﹣＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．12．（2022春?上海期中）某工人要完成1000個(gè)零件，起初機(jī)器出現(xiàn)故障，每分鐘比原計(jì)劃少加工4個(gè)零件，加工320個(gè)零件后，換了一臺(tái)新機(jī)器，每分鐘比原計(jì)劃多加工8個(gè)零件．已知用新機(jī)器加工零件的時(shí)間比前面用舊機(jī)器加工零件的時(shí)間少6分鐘，設(shè)原計(jì)劃每分鐘加工x個(gè)零件，則可列方程為：．【分析】根據(jù)題意可知：用新機(jī)器加工零件的時(shí)間比前面用舊機(jī)器加工零件的時(shí)間少6分鐘，即可列出相應(yīng)的分式方程．【解答】解：由題意可得，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．五．分式方程的應(yīng)用（共3小題）13．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）上海市政府計(jì)劃年內(nèi)改造3.6萬(wàn)個(gè)分類垃圾箱房，把原有的分類垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、濕垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四類垃圾的新型環(huán)保垃圾箱房．環(huán)衛(wèi)局原定每月改造相同數(shù)量的分類垃圾箱房，為確保在年底前順利完成改造任務(wù)，環(huán)衛(wèi)局決定每月多改造500個(gè)分類垃圾箱房，提前一個(gè)月完成任務(wù)，求環(huán)衛(wèi)局每個(gè)月實(shí)際改造分類垃圾箱房的數(shù)量．【分析】設(shè)環(huán)衛(wèi)局每個(gè)月實(shí)際改造分類垃圾箱房的數(shù)量為x個(gè)，則環(huán)衛(wèi)局每個(gè)月原定改造分類垃圾箱房的數(shù)量為（x﹣500）個(gè)，利用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前一個(gè)月完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)環(huán)衛(wèi)局每個(gè)月實(shí)際改造分類垃圾箱房的數(shù)量為x個(gè)，則環(huán)衛(wèi)局每個(gè)月原定改造分類垃圾箱房的數(shù)量為（x﹣500）個(gè)，根據(jù)題意得：﹣＝1，整理得：x2﹣500x﹣18000000＝0，解得：x1＝4500，x2＝﹣4000，經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝4500，x2＝﹣4000均為所列分式方程的解，x2＝﹣4000不符合題意，舍去，∴x＝4500．答：環(huán)衛(wèi)局每個(gè)月實(shí)際改造分類垃圾箱房的數(shù)量為4500個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．14．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）若A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，且甲比乙早出發(fā)2小時(shí)，如果乙比甲每小時(shí)多行2千米，那么兩人恰好在AB中點(diǎn)相遇．求甲、乙兩人的速度各是每小時(shí)多少千米？【分析】設(shè)甲的速度是每小時(shí)x千米，則乙的速度是每小時(shí)（x+2）千米，由題意：甲比乙早出發(fā)2小時(shí)，兩人恰好在AB中點(diǎn)相遇．列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)甲的速度是每小時(shí)x千米，則乙的速度是每小時(shí)（x+2）千米，根據(jù)題意，得：﹣＝2，整理，得：x2+2x﹣15＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣5，經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝3，x2＝﹣5都是原方程的解，但x＝﹣5不符合題意，舍去．∴原方程的解是x＝3，則x+2＝5，答：甲的速度是每小時(shí)3千米，乙的速度是每小時(shí)5千米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．15．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）某工程隊(duì)承擔(dān)了修建地鐵兩個(gè)站點(diǎn)間2400米的隧道工程任務(wù)，由于采用了新技術(shù)，現(xiàn)在每個(gè)月比原計(jì)劃多掘進(jìn)了180米，因而比原計(jì)劃提前3個(gè)月完成任務(wù)．（1）求完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)多少米？（2）如果每天的施工費(fèi)用為2.5萬(wàn)元，那么該工程隊(duì)現(xiàn)在完成此項(xiàng)工程共需多少萬(wàn)元？（每個(gè)月按30天算）【分析】（1）設(shè)完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)x米，則現(xiàn)在每個(gè)月掘進(jìn)（x+180）米．由題意：現(xiàn)在每個(gè)月比原計(jì)劃多掘進(jìn)了180米，因而比原計(jì)劃提前3個(gè)月完成任務(wù)．列出分式方程，解方程即可；（2）由每天的施工費(fèi)用×天數(shù)，列式計(jì)算即可．【解答】解：（1）設(shè)完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)x米，則現(xiàn)在每個(gè)月掘進(jìn)（x+180）米．根據(jù)題意，得：﹣＝3，整理，得：x2+180x﹣144000＝0．解得：x1＝﹣480，x2＝300．經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合題意，舍去．答：完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)300米．（2）×2.5×30＝375（萬(wàn)元）．答：該工程隊(duì)現(xiàn)在完成此項(xiàng)工程共需375萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．六．含字母系數(shù)的一元一次方程（共1小題）16．（2018春?浦東新區(qū)期末）如果是方程mx2+y2＝xy的一個(gè)解，那么m＝﹣．【分析】依據(jù)方程的解概念，將方程的解代入方程進(jìn)行計(jì)算，即可得到m的值．【解答】解：把方程的解代入方程mx2+y2＝xy，可得4m+1＝﹣2，∴4m＝﹣3，解得m＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，方程的解就是滿足方程的未知數(shù)的值，把解代入方程即可．七．二元二次方程組（共4小題）17．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）將方程組：轉(zhuǎn)化成兩個(gè)二元二次方程組分別是和．【分析】方程組中，方程x2﹣5xy+6y2＝0的左邊可因式分解，根據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，則其中至少有一個(gè)因式為0，將原方程組轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元二次方程組．【解答】解：由方程x2﹣5xy+6y2＝0得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，即x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，所以，原方程組可化為，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元二次方程組的定義．關(guān)鍵是將方程組中的某個(gè)方程左邊因式分解，使其積為0，可將較復(fù)雜的高次方程組轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的高次方程組．18．（2021春?閔行區(qū)期中）已知二元二次方程組有一組解是，寫出一個(gè)符合上述條件的二元二次方程組為．【分析】分別列兩個(gè)方程代入x，y的值就可以．【解答】解：把x，y的值代入符合要求；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考察二元一次方程組定義，方程組得解，解題關(guān)鍵x，y都能使兩個(gè)方程左右值相等．19．（2022春?上海期中）解方程組：．【分析】由第一個(gè)方程可得y＝，然后再代入到第二個(gè)方程中，進(jìn)行計(jì)算求出一元二次方程的解，從而求出y的值，即可解答．【解答】解：，由①得：2y＝4﹣x，y＝③，把③代入②得：x2﹣2x?＝0，x2﹣x（4﹣x）＝0，x2﹣4x+x2＝0，2x2﹣4x＝0，x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x＝2，把x＝0代入③得：y＝2，把x＝2代入③得：y＝1，∴原方程組的解為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元二次方程組，把二元二次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．（2022春?靜安區(qū)校級(jí)期中）解方程組：【分析】把原方程組轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程組，再利用加減消原法求解即可．【解答】解：原方程組可化為或，②﹣①，得5y＝2，解得y＝，把y＝代入①，得x＝，所以；③﹣④，得4y＝2，解得y＝，把y＝代入③，得x＝，所以綜上所述，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）以下方程是無(wú)理方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】無(wú)理方程就是根號(hào)下含有未知數(shù)的方程．【詳解】解：根據(jù)無(wú)理方程的概念可知：選項(xiàng)D為無(wú)理方程，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理方程的概念，解題的關(guān)鍵是正確理解無(wú)理方程的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知方程：①，②，③，④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】利用分式方程的定義判斷即可．【詳解】解：①，是分式方程；②，是分式方程；③，是分式方程；④，不是分式方程，則分式方程的個(gè)數(shù)是3．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵．3．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則k的值為（

）A． B．－1 C．1 D．【答案】D【分析】先令分母為零求增根，在把分式方程化為整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出答案．【詳解】解：分式方程無(wú)解解得原方程化為：把代入得解得故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的增根，掌握增根產(chǎn)生的原因并求出增根，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·上海黃浦·八年級(jí)上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）A． B．與是同類二次根式C．是分式方程的增根 D．一元二次方程可能沒有實(shí)根，可能有一個(gè)實(shí)根，可能有兩個(gè)實(shí)根【答案】B【分析】根據(jù)二次根式、分式增根以及一元二次方程的知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A，當(dāng)，時(shí)，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，，被開方數(shù)相同，是同類二次根式選項(xiàng)正確，符合題意；C、將轉(zhuǎn)化為整式方程為化簡(jiǎn)可得：不是方程的根，∴也不是的增根，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、一元二次方程可能沒有實(shí)根，可能有兩個(gè)相等的實(shí)根，可能有兩個(gè)不相等的實(shí)根，說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式運(yùn)算、同類二次根式、分式增根以及一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．二、填空題5．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）方程組的解是______．【答案】【分析】由得出，代入得到方程，求出方程的解，，將的值分別代入求出即可．【詳解】，由得：，把代入得：，即，，解得：，，代入得：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程和解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把方程組轉(zhuǎn)化成解一元二次方程，題型較好，難度適中．6．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）把方程化為兩個(gè)二元一次方程，它們是_____和_____．【答案】

【分析】先把方程左邊分解得到，則原方程可轉(zhuǎn)化為或．【詳解】解：∵，∴，∴或．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法，解題的關(guān)鍵是通常利用換元法或因式分解法把高次方程化為一元二次方程求解．7．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解關(guān)于的方程有增根，則的值為___________【答案】##【分析】根據(jù)分式方程增根的產(chǎn)生，即使其最簡(jiǎn)公分母為0，但適合其轉(zhuǎn)化為的整式方程進(jìn)行求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得該分式方程的增根是，該分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，得，把代入，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，即適合分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但卻使分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0．8．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）下列方程：，，，無(wú)實(shí)數(shù)根的方程有________個(gè)．【答案】3【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷；移項(xiàng)后得出方程，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷；兩邊平方，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷；【詳解】解：，由二次根式有意義條件得：，解得：不等式組無(wú)解，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；，移項(xiàng)得：，∵不論x為何值，的值不能為負(fù)數(shù)，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；，方程兩邊平方，得，解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1不是原方程的解，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方等知識(shí)點(diǎn)，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）小李家離某書店12千米，他從家中出發(fā)步行到該書店，由于返回時(shí)步行速度比去時(shí)步行速度每小時(shí)慢了1千米，結(jié)果返回時(shí)多用了一小時(shí)，求小李去書店時(shí)的步行速度【答案】小李去書店時(shí)的速度為4千米/小時(shí)．【分析】設(shè)小李去書店時(shí)的速度為每小時(shí)x千米，根據(jù)他從家中出發(fā)步行到該書店，由于返回時(shí)步行速度比去時(shí)步行速度每小時(shí)慢了1千米，結(jié)果返回時(shí)多用了1小時(shí)列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)小李去書店時(shí)的速度為每小時(shí)x千米，根據(jù)題意得整理得解得，（不合題意舍去）經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意答：小李去書店時(shí)的速度為4千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)出速度，以時(shí)間作為等量關(guān)系列方程求解．10．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程組：【答案】方程組的解為：或．【分析】先把方程①變形可得或，再把原方程組化為兩個(gè)二元一次方程組，再解兩個(gè)二元一次方程組即可．【詳解】解：，由①得：，∴或，∴原方程組化為：或，由可得：，由可得：，∴方程組的解為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元二次方程組的解法，掌握“把二元二次方程組化為二元一次方程組的方法解題”是解本題的關(guān)鍵．11．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）外出佩戴口罩可以有效防控新冠病毒，某藥店用元購(gòu)進(jìn)若干包醫(yī)用外科口罩很快售完，該店又用元錢購(gòu)進(jìn)第二批同種口罩，而且數(shù)量比第一批多，第二批每包的進(jìn)價(jià)比第一批每包的進(jìn)價(jià)多元，請(qǐng)解答下列問題：(1)求購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有多少包？(2)政府采取限價(jià)措施，要求在這兩批醫(yī)用口罩的銷售中售價(jià)保持不變，而且售完這兩批口罩的總利潤(rùn)不高于元，那么藥店銷售該口罩每包的最高售價(jià)是多少元？【答案】(1)購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有包(2)該藥店銷售該醫(yī)用口罩每包最高售價(jià)為元【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有包，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)該醫(yī)用口罩每包的售價(jià)為元，根據(jù)利潤(rùn)不高于3500元，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有包，根據(jù)題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：購(gòu)進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有包．（2）解：設(shè)該醫(yī)用口罩每包的售價(jià)為元，由題意得：第一次進(jìn)價(jià)為元每包，第二次進(jìn)價(jià)為元每包，購(gòu)進(jìn)的第二批醫(yī)用口罩為包，根據(jù)題意得：，解得：答：該藥店銷售該醫(yī)用口罩每包最高售價(jià)為元．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程和一元一次不等式解應(yīng)用題，理解題意，找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的方程無(wú)解，求實(shí)數(shù)的值．【答案】或或【分析】方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出的表達(dá)式，根據(jù)分式方程無(wú)解可得或或的表達(dá)式中分母為0，再代入的表達(dá)式中即可求出的值．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以，得：，解得：，當(dāng)時(shí)，此方程無(wú)解，原分式方程也無(wú)解，解得：，當(dāng)時(shí)，原分式方程無(wú)解，，或，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上，的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解的特點(diǎn)，并能分情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）用換元法解方程：x2﹣x﹣=4．【答案】【分析】方程的兩個(gè)部分是倒數(shù)關(guān)系，所以可設(shè)，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程，先求y，再求x，最后檢驗(yàn)一下結(jié)果．【詳解】設(shè)，則原方程變形為，即，解得，當(dāng)y=-2時(shí)，，因?yàn)?，所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，當(dāng)y=6時(shí)，，解方程得：，檢驗(yàn)：把分別代入原方程的分母，分母都不等于0，所以原方程的根是：．【點(diǎn)睛】換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡(jiǎn)，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．14．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，射線上有一點(diǎn)分別為點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，則______，______．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)．根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并探究是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，直接寫出滿足條件時(shí)的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)補(bǔ)全圖形見解析，5【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后結(jié)合圖形即可即可；（2）先根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)補(bǔ)全圖形；再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PB=BM，PC=CN，設(shè)，則或，，利用和線段的和差列出方程求解即可．【詳解】（1）解：，，，，分別為點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)，，，，，．故答案為，．（2）解：補(bǔ)全圖形如圖所示．存在點(diǎn)P，使得．設(shè)，則或，，或，或5．經(jīng)檢驗(yàn)或5為方程的解，∵線段不可能為負(fù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)、角度的計(jì)算、分式方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，理解題意、熟練掌握運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2022春·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋海敬鸢浮俊痉治觥坑^察可得最簡(jiǎn)公分母是，方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，整理，得，∴，．經(jīng)檢驗(yàn)是增根，是原方程的解，∴原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解可以化為一元二次方程的分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程和一元二次方程的步驟和方法．16．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)?？计谀┙夥匠探M：．【答案】【分析】將方程轉(zhuǎn)化為或，再次聯(lián)立方程，得到兩個(gè)方程組，然后逐一求解，即可解決問題．【詳解】解：，由得：或原方程組化為或；解得：，原方程組的解是．【點(diǎn)睛】本題考查了二元高次方程的求解問題；解題的一般策略是降次轉(zhuǎn)化，化高次方程組為低次方程組，然后求解．17．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程：【答案】無(wú)解【分析】通過去去分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最簡(jiǎn)公分母進(jìn)行檢驗(yàn)即可解答．【詳解】解：兩邊同乘得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并得：，解得：．檢驗(yàn)：經(jīng)檢驗(yàn)是方程的增根，原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．求出解后的檢驗(yàn)是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．18．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）解方程：．【答案】【分析】移項(xiàng)得出＝1+，兩邊平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2