上海市新高二暑期成果評(píng)價(jià)卷（測(cè)試范圍：空間直線與平面、簡單幾何體）（解析版）

上海市新高二暑期成果評(píng)價(jià)卷測(cè)試范圍：空間直線與平面、簡單幾何體一、填空題1．若兩球的表面積之比是，則它們的體積之比是______.【答案】【分析】利用兩球表面積之比計(jì)算出半徑之比，再利用球體的體積公式可計(jì)算出答案.【詳解】設(shè)兩球半徑分別為、，表面積分別為、，體積分別為、，則，，因此，兩球體積之積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由兩球的表面積之比計(jì)算兩球的體積之比，計(jì)算出半徑之比是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．若圓柱的軸截面面積為，則它的側(cè)面積為________．【答案】【分析】設(shè)出圓柱的底面半徑和母線長，由此根據(jù)圓柱的軸截面面積，求得它的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，依題意可知，故其側(cè)面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓柱側(cè)面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3．空間兩個(gè)平面最多將空間分成___________部分.（填數(shù)字）【答案】4【分析】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)可得答案.【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，可講空間分成最多的部分，分成4部分.故答案為：4.4．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的邊長為4的正方形的直觀圖，則這個(gè)直觀圖的面積為_________;【答案】【分析】由斜二測(cè)畫法畫出正方形的直觀圖，計(jì)算可得.【詳解】方法一：如圖，由直觀圖的斜二測(cè)畫法知，邊長為4的正方形的直觀圖為平行四邊形，且，，，其高，所以其面積為.方法二：由斜二測(cè)畫法的直觀圖的面積是原圖面積的倍，因此，直觀圖面積為.故答案為：.5．下列四個(gè)命題：①任意兩條直線都可以確定一個(gè)平面；②在空間中，若角與角的兩邊分別平行，則；③若直線l上有一點(diǎn)在平面內(nèi)，則l在平面內(nèi)；④同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線平行．其中不正確的命題是______．（填序號(hào)）【答案】①②③④【分析】按照點(diǎn)線面的位置關(guān)系依次判讀四個(gè)命題即可.【詳解】對(duì)于①，兩條異面直線不能確定平面，錯(cuò)誤；對(duì)于②，角與角還可能互補(bǔ)，錯(cuò)誤；對(duì)于③，應(yīng)該是l與平面相交，錯(cuò)誤；對(duì)于④，同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線也可能相交、平行或異面，錯(cuò)誤.故答案為：①②③④.6．如圖，正方體，請(qǐng)寫出一條與邊異面的邊為__________．【答案】(,答案不唯一【分析】根據(jù)異面直線的定義，即可寫出答案.【詳解】正方體，一條與邊異面的邊可以是，故答案為：7．若四棱錐的底面是一個(gè)矩形，且，，，，，則二面角的大小為________．【答案】【分析】過作，過作,先證平面，利用三垂線定理得，即得為二面角的平面角，解三角形得結(jié)果.【詳解】過作交延長線于，過作交延長線于,連因?yàn)樗睦忮F的底面是一個(gè)矩形，所以,又，所以平面,因此，而,所以平面，因?yàn)?，所以由三垂線定理得，從而為二面角的平面角，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二面角、線面垂直判定定理、三垂線定理，考查基本分析論證與求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，是母線上一點(diǎn)，且公里.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路.這條鐵路從出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則下坡段鐵路的長度為______________公里.【答案】18【分析】先展開圓錐的側(cè)面，確定觀光鐵路路線，再根據(jù)實(shí)際意義確定下坡段的鐵路路線，最后解三角形得結(jié)果.【詳解】如圖，展開圓錐的側(cè)面，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，記點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光鐵路為圖中的，，上坡即到山頂?shù)木嚯x越來越小，下坡即到山頂?shù)木嚯x越來越大，∴下坡段的鐵路，即圖中的，由，得.故答案為：18【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面展開圖、解三角形，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法以及基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．長方體為不計(jì)容器壁厚度的密封容器，里面盛有體積為V的水，已知，，，如果將該密封容器任意擺放均不能使水面呈三角形，則V的取值范圍為__________．【答案】【分析】分別計(jì)算水量較少和水量較多時(shí)，水面呈三角形時(shí)的水的體積，然后可得答案.【詳解】水量較少，水面恰好為長方體的截面時(shí)，;水量較多，水面恰好為長方體的截面時(shí)，;因?yàn)樵撁芊馊萜魅我鈹[放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范圍為.故答案為：.10．如圖，已知正三棱柱中，，，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著正三棱柱的表面，經(jīng)過棱運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路程為______.【答案】【分析】如圖所示：將翻折到與共面，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路程為，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：將翻折到與共面，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路程為.在中，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的最短距離，余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.11．如圖所示，已知五面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AB＝4，CD＝8，EF＝3，CD與EF的距離為8，點(diǎn)A到平面CDEF的距離為6，則該五面體的體積為________．【答案】120【詳解】如圖所示，在五面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AB＝4，CD＝8，EF＝3，延長FE到G，使得EG＝1，過點(diǎn)B作BH∥AD，交CD于H，連接AG，DG，HF，則多面體ADGFBH為三棱柱，則V三棱柱ADG-BHF＝S四邊形DHFG·d，其中d為點(diǎn)A到平面CDEF的距離，即d＝6.因?yàn)镃D與EF的距離為8，所以S四邊形DHFG＝4×8＝32，所以V三棱柱ADG-BHF＝S四邊形DHFG·d＝×32×6＝96，V三棱錐BHCF＝S△HFC·d＝××4×8×6＝32，V三棱錐ADEG＝S△DEG·d＝××1×8×6＝8，所以V五面體ABCDEF＝V三棱柱ADG-BHF＋V三棱錐B-HCF－V三棱錐AGDE＝96＋32－8＝120.故答案為：120.12．有下列命題：①在圓柱的上?下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的直線距離是圓柱的母線長；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長；③側(cè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱；④體對(duì)角線相等的平行六面體是長方體.共中正確命題是___________（填號(hào)）.【答案】②④【分析】通過反例可確定①③錯(cuò)誤；由圓錐母線定義知②正確；利用線面垂直的判定和性質(zhì)可證得體對(duì)角線相等的平行六面體各個(gè)側(cè)面均為矩形，由此可知④正確.【詳解】對(duì)于①，若上下底面上的兩點(diǎn)連線與底面不垂直，則不是圓柱的母線，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由圓錐母線的定義可知②正確；對(duì)于③，若一個(gè)直四棱柱與一個(gè)斜四棱柱底面大小相同，將其上下底面相接構(gòu)成一個(gè)組合體，如下圖所示，此時(shí)滿足側(cè)面都是平行四邊形，但該多面體不是棱柱，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若平行六面體的體對(duì)角線相等，則對(duì)角面為矩形，如下圖所示，此時(shí)四邊形與均為矩形，，，又，，，平面，平面；又平面，，，四邊形，，，均為矩形，同理可得：平面，又平面，，四邊形，均為矩形，該平行六面體為長方體，④正確.故答案為：②④二、單選題13．在長方體中，，若此長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球面上，則此長方體的表面積為（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】A【分析】根據(jù)題意，先得到長方體外接球直徑等于長方體體對(duì)角線的長，由此求出長方體的側(cè)棱長，再由表面積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可得，長方體外接球直徑等于長方體體對(duì)角線的長，因?yàn)殚L方體外接球的體積為，設(shè)外接球半徑為，則，解得，因此，因?yàn)?，所以，解得：，因此長方體的表面積為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查長方體外接球的相關(guān)計(jì)算，以及長方體表面積的計(jì)算，屬于?？碱}型.14．關(guān)于不同的直線與不同的平面，下列四個(gè)選項(xiàng)正確的是（

）A．，且，則； B．，且，則；C．，且，則； D．，且，則；【答案】A【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A．，且，可得，故正確；B．，且，則可能相交、異面或平行，故錯(cuò)誤；C．，且，則可能異面、相交、平行，故錯(cuò)誤；D．，且，則可能異面、平行，故錯(cuò)誤；故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷符號(hào)語言描述的空間中位置關(guān)系的命題的真假：（1）利用定理、定義、公理等直接判斷；（2）作出簡單圖示，利用圖示進(jìn)行說明；（3）將規(guī)則幾何體作為模型，取其中的部分位置關(guān)系進(jìn)行分析.15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是A．20 B．15 C．10 D．5【答案】C【分析】由三視圖可知：該幾何題是由一個(gè)長方體截取后剩下的一個(gè)三棱錐，直接利用錐體體積公式計(jì)算即可．【詳解】由三視圖可知：該幾何題是由一個(gè)長方體截取后剩下的一個(gè)三棱錐A-BCD，如圖：∴該幾何體的體積．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的有關(guān)計(jì)算、三棱錐與四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16．一個(gè)長方體的盒子內(nèi)裝有部分液體（液體未裝滿盒子），以不同的方向角度傾斜時(shí)液體表面會(huì)呈現(xiàn)出不同的變化，則下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①當(dāng)液面是三角形時(shí)，其形狀可能是鈍角三角形②在一定條件下，液面的形狀可能是正五邊形③當(dāng)液面形狀是三角形時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是④當(dāng)液面形狀是六邊形時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由余弦定理判斷三角形形狀即可判斷①；由截面五邊形必有兩組平行的邊，而正五邊形的任意兩邊都不平行即可判斷②；求得最大液面是長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，計(jì)算出棱錐與長方體體積比即可判斷③；作長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，液面六邊形必在兩個(gè)平面之間，計(jì)算出體積比即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)液面是三角形時(shí)，則液體所在平面必和長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面相交，和另外三個(gè)平面不相交，設(shè)相交形成的三角形為如圖所示，則兩兩垂直，設(shè)，則有，由余弦定理得，則為銳角，同理可得為銳角，則當(dāng)液面是三角形時(shí)，該三角形必是銳角三角形，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)液面是五邊形時(shí)，液面只與長方體的五個(gè)面只有交線，而一個(gè)平面與長方體的五個(gè)平面相交，必有兩組相對(duì)面，又長方體的每一組相對(duì)面平行，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)知，截面五邊形必有兩組平行的邊，因正五邊形的任意兩邊都不平行，則一平面截長方體所得截面不可能是正五邊形，即液面的形狀不可能是正五邊形，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)液面形狀是三角形時(shí)，液面只與長方體的三個(gè)面相交，最大液面是長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，如圖中，液面三角形頂點(diǎn)在棱上任意移動(dòng)（除點(diǎn)外），長方體體積，，則當(dāng)三棱錐盛滿液體時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是，當(dāng)長方體去掉三棱錐余下部分盛滿液體時(shí)，液體體積與長方體體積之比的范圍是，所以液體體積與長方體體積之比的范圍是，③正確；對(duì)于④，作長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，如圖中和，易得平面∥，在長方體棱上任取一點(diǎn)（除外），過點(diǎn)作出與平面平行的平面截長方體可得六邊形，長方體體積，三棱錐體積，令三棱錐部分有液體，當(dāng)液面形狀是六邊形時(shí)，液面六邊形必在平面和平面之間，即液面漫過所在平面但不能到所在平面，則液體體積滿足；當(dāng)液面六邊形在兩個(gè)平行平面與平面之間任意變換，不管與平面平行還是相交均滿足，即液體體積與長方體體積之比的范圍是，④錯(cuò)誤.則錯(cuò)誤個(gè)數(shù)有3個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于命題③④的判斷，命題③求出最大液面是長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面對(duì)角線圍成的三角形，再求出棱錐和長方體的體積比即可判斷；命題④由液面六邊形必在平面和平面之間即可求得液體與長方體體積比的范圍.三、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)．可得，再由線面平行的判定可得平面；（2）先證明平面，結(jié)合三棱錐的體積公式求出其體積即可．【詳解】（1）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示：是正方形對(duì)角線交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，由已知為線段的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；（2）證明：，為線段的中點(diǎn)，，平面，，在正方形中，，又，平面，又平面，，又，平面；平面，故三棱錐的體積．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．18．如圖，在長方體中，、分別是和的中點(diǎn)．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面；(2)對(duì)角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；(3)證明：、、三線共點(diǎn)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）證明，即可說明、、、四點(diǎn)共面.（2）先證明點(diǎn)面和面，即點(diǎn)在面與面的交線上在證明面面，即點(diǎn)，即可得到答案.（3）延長交于,由于面面，則在交線上.【詳解】（1）連接在長方體中、分別是和的中點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面（2）確定一個(gè)平面面面對(duì)角線與平面交于點(diǎn)面在面與面的交線上面且面面面即點(diǎn)共線.（3）延長交于面面面面面面、、三線共點(diǎn).19．如圖，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長為2的菱形，，是的中點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的平面交于為的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面；(3)求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由題設(shè)條件證得和，根據(jù)，得到，，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）由（1）知平面，得到，再由，證得平面，進(jìn)而得到平面平面.（3）根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面是正三角形，且，為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)椋酌媸沁呴L為2的菱形，所以是正三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕?因?yàn)?，平面，所以平?（2）證明：由（1）知平面，所以，又由，所以，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又由平面，所以平面平?（3）解：在四棱錐中，側(cè)面是邊長為正三角形，且與底面垂直，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以面，且，由底面是邊長為2的菱形，，